定理 5.2.2（マイヤー・ヴィートリス完全系列）（i）特異コホモロジー群間に次の完全系列が成り立つ：
⋯ → δ k − 1 ∗ H sing k ( M , F ) → ( ι U V ) sing ∗ H sing k ( U , F ) ⊕ H sing k ( V , F ) → ( ι U V ) sing ∗ H sing k ( U ∩ V , F ) → δ k ∗ H sing k + 1 ( M , F ) → ( ι U V ∗ ) sing ∗ ⋯ ⋯ → δ k − 1 ∗ H sing  k ( M , F ) → ι U V sing  ∗ H sing  k ( U , F ) ⊕ H sing  k ( V , F ) → ι U V sing  ∗ H sing  k ( U ∩ V , F ) → δ k ∗ H sing  k + 1 ( M , F ) → ι U V ∗ sing  ∗ ⋯ {:[cdotsrarr"delta_(k-1)^(**)"H_("sing ")^(k)(M","F)rarr"(iota_(UV))_("sing ")^(**)"H_("sing ")^(k)(U","F)o+H_("sing ")^(k)(V","F)rarr"(iota^(UV))_("sing ")^(**)"],[H_("sing ")^(k)(U nn V","F)rarr"delta_(k)^(**)"H_("sing ")^(k+1)(M","F)rarr"(iota_(UV)^(**))_("sing ")^(**)"cdots]:}\begin{aligned} \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}^{*}} & H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\iota_{U V}\right)_{\text {sing }}^{*}} H_{\text {sing }}^{k}(U, \mathbb{F}) \oplus H_{\text {sing }}^{k}(V, \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\iota^{U V}\right)_{\text {sing }}^{*}} \\ & H_{\text {sing }}^{k}(U \cap V, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}^{*}} H_{\text {sing }}^{k+1}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\iota_{U V}^{*}\right)_{\text {sing }}^{*}} \cdots \end{aligned}⋯→δk−1∗Hsing k(M,F)→(ιUV)sing ∗Hsing k(U,F)⊕Hsing k(V,F)→(ιUV)sing ∗Hsing k(U∩V,F)→δk∗Hsing k+1(M,F)→(ιUV∗)sing ∗⋯
ここで, ( ι U V ) sing ∗ ι U V sing  ∗ (iota_(UV))_("sing ")^(**)\left(\iota_{U V}\right)_{\text {sing }}^{*}(ιUV)sing ∗ は ( ι U ) sing ∗ ⊕ ( ι V ) sing ∗ ι U sing  ∗ ⊕ ι V sing  ∗ (iota_(U))_("sing ")^(**)o+(iota_(V))_("sing ")^(**)\left(\iota_{U}\right)_{\text {sing }}^{*} \oplus\left(\iota_{V}\right)_{\text {sing }}^{*}(ιU)sing ∗⊕(ιV)sing ∗ を表し, ( ι U V ) sing ∗ ι U V sing  ∗ (iota^(UV))_("sing ")^(**)\left(\iota^{U V}\right)_{\text {sing }}^{*}(ιUV)sing ∗ は ( ι U ) sing ∗ − ι U sing  ∗ − (iota^(U))_("sing ")^(**)-\left(\iota^{U}\right)_{\text {sing }}^{*}-(ιU)sing ∗− ( ι V ) sing ∗ ι V sing  ∗ (iota^(V))_("sing ")^(**)\left(\iota^{V}\right)_{\text {sing }}^{*}(ιV)sing ∗ を表し, δ . ∗ δ . ∗ delta_(.)^(**)\delta_{.}^{*}δ.∗ は連結準同型写像とよばれる準同型写像を表す.
(ii) ド・ラームコホモロジー群間に次の完全系列が成り立つ：
⋯ → δ k − 1 ∗ H DR k ( M ) → ( ι U V ) DR ∗ H DR k ( U ) ⊕ H DR k ( V ) → ( ι U V ) PR ∗ H DR k ( U ∩ V ) → δ k ∗ H DR k + 1 ( M ) → ( ι U V ) DR ∗ ⋯ ⋯ → δ k − 1 ∗ H DR k ( M ) → ι U V DR ∗ H DR k ( U ) ⊕ H DR k ( V ) → ι U V PR ∗ H DR k ( U ∩ V ) → δ k ∗ H DR k + 1 ( M ) → ι U V DR ∗ ⋯ {:[ cdotsrarr"delta_(k-1)^(**)"H_(DR)^(k)(M)rarr"(iota_(UV))_(DR)^(**)"H_(DR)^(k)(U)o+H_(DR)^(k)(V)rarr"(iota^(UV))_(PR)^(**)"],[H_(DR)^(k)(U nn V)rarr"delta_(k)^(**)"H_(DR)^(k+1)(M)rarr"(iota_(UV))_(DR)^(**)"cdots]:}\begin{aligned} & \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}^{*}} H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) \xrightarrow{\left(\iota_{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}} H_{\mathrm{DR}}^{k}(U) \oplus H_{\mathrm{DR}}^{k}(V) \xrightarrow{\left(\iota^{U V}\right)_{\mathrm{PR}}^{*}} \\ & H_{\mathrm{DR}}^{k}(U \cap V) \xrightarrow{\delta_{k}^{*}} H_{\mathrm{DR}}^{k+1}(M) \xrightarrow{\left(\iota_{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}} \cdots \end{aligned}⋯→δk−1∗HDRk(M)→(ιUV)DR∗HDRk(U)⊕HDRk(V)→(ιUV)PR∗HDRk(U∩V)→δk∗HDRk+1(M)→(ιUV)DR∗⋯
ここで, ( ι U V ) DR ∗ ι U V DR ∗ (iota_(UV))_(DR)^(**)\left(\iota_{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}(ιUV)DR∗ は ( ι U ) DR ∗ ⊕ ( ι V ) DR ∗ ι U DR ∗ ⊕ ι V DR ∗ (iota_(U))_(DR)^(**)o+(iota_(V))_(DR)^(**)\left(\iota_{U}\right)_{\mathrm{DR}}^{*} \oplus\left(\iota_{V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}(ιU)DR∗⊕(ιV)DR∗ を表し, ( ι U V ) DR ∗ ι U V DR ∗ (iota^(UV))_(DR)^(**)\left(\iota^{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}(ιUV)DR∗ は ( ι U ) DR ∗ − ι U DR ∗ − (iota^(U))_(DR)^(**)-\left(\iota^{U}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}-(ιU)DR∗− ( ι V ) DR ∗ ι V DR ∗ (iota^(V))_(DR)^(**)\left(\iota^{V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}(ιV)DR∗ を表し, δ . ∗ δ . ∗ delta_(.)^(**)\delta_{.}^{*}δ.∗ は連結準同型写像とよばれる準同型写像を表す.
注意 ( A , B ) ( A , B ) (A,B)(A, B)(A,B) を位相空間 X X XXX の部分集合の対とする. A A AAA から X X XXX への包含写像を ι A ι A iota_(A)\iota_{A}ιA とし, B B BBB から X X XXX への包含写像を ι B ι B iota_(B)\iota_{B}ιB として, 0 以上の任意の整数 k k kkk に対し,
{ [ σ 1 + σ 2 ] ( ∈ H k sing ( A ∪ B , Z ) ) ∣ σ 1 ∈ C k ( A , Z ) , σ 2 ∈ C k ( B , Z ) s.t. σ 1 + σ 2 ∈ Z k ( A ∪ B , Z ) } σ 1 + σ 2 ∈ H k sing ( A ∪ B , Z ) ∣ σ 1 ∈ C k ( A , Z ) , σ 2 ∈ C k ( B , Z )  s.t.  σ 1 + σ 2 ∈ Z k ( A ∪ B , Z ) {:[{[sigma_(1)+sigma_(2)](inH_(k)^(sing)(A uu B,Z))∣sigma_(1)inC_(k)(A,Z),sigma_(2)inC_(k)(B,Z):}],[" s.t. "{:sigma_(1)+sigma_(2)inZ_(k)(A uu B,Z)}]:}\begin{array}{r} \left\{\left[\sigma_{1}+\sigma_{2}\right]\left(\in H_{k}^{\operatorname{sing}}(A \cup B, \mathbb{Z})\right) \mid \sigma_{1} \in C_{k}(A, \mathbb{Z}), \sigma_{2} \in C_{k}(B, \mathbb{Z})\right. \\ \text { s.t. } \left.\sigma_{1}+\sigma_{2} \in Z_{k}(A \cup B, \mathbb{Z})\right\} \end{array}{[σ1+σ2](∈Hksing(A∪B,Z))∣σ1∈Ck(A,Z),σ2∈Ck(B,Z) s.t. σ1+σ2∈Zk(A∪B,Z)}
が H k sing ( A ∪ B , Z ) H k sing  ( A ∪ B , Z ) H_(k)^("sing ")(A uu B,Z)H_{k}^{\text {sing }}(A \cup B, \mathbb{Z})Hksing (A∪B,Z) に等しいとき, 対 ( A , B ) ( A , B ) (A,B)(A, B)(A,B) は, 切除可能な対 (excisive couple) とよばれる。 A , B A , B A,BA, BA,B が X X XXX の開集合であるとき, 対 ( A , B ) ( A , B ) (A,B)(A, B)(A,B) は切除可能な対になる.一般に, 定理 5.2.2 の（i)における完全系列は, ( U , V ) ( U , V ) (U,V)(U, V)(U,V) が ( C ∞ C ∞ (C^(oo):}\left(C^{\infty}\right.(C∞ 多様体に限らず) 一般 の位相空間 X X XXX の切除可能な対であれば, 成り立つことに注意する.
切除可能な例と切除可能でない例を一組挙げておこう.
X = R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } , U = { ( x , y ) ∈ X ∣ x < ε } , V = { ( x , y ) ∈ X ∣ x > − ε } A = { ( x , y ) ∈ X ∣ x ≤ 0 } , B = { ( x , y ) ∈ X ∣ x > 0 } X = R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } , U = { ( x , y ) ∈ X ∣ x < ε } , V = { ( x , y ) ∈ X ∣ x > − ε } A = { ( x , y ) ∈ X ∣ x ≤ 0 } , B = { ( x , y ) ∈ X ∣ x > 0 } {:[X=R^(2)\\{(0","0)}","U={(x","y)in X∣x < epsi}","V={(x","y)in X∣x > -epsi}],[A={(x","y)in X∣x <= 0}","B={(x","y)in X∣x > 0}]:}\begin{gathered} X=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}, U=\{(x, y) \in X \mid x<\varepsilon\}, V=\{(x, y) \in X \mid x>-\varepsilon\} \\ A=\{(x, y) \in X \mid x \leq 0\}, B=\{(x, y) \in X \mid x>0\} \end{gathered}X=R2∖{(0,0)},U={(x,y)∈X∣x<ε},V={(x,y)∈X∣x>−ε}A={(x,y)∈X∣x≤0},B={(x,y)∈X∣x>0}
とする. ここで, ε ε epsi\varepsilonε は十分小さな正の数とする. 明らかに, U ∪ V = A ∪ B = U ∪ V = A ∪ B = U uu V=A uu B=U \cup V=A \cup B=U∪V=A∪B= X X XXX である. { U , V } { U , V } {U,V}\{U, V\}{U,V} は X X XXX の開被覆なので, 対（U,V）は，切除可能な対である. 一方, 対 ( A , B ) ( A , B ) (A,B)(A, B)(A,B) は, 切除可能でない対である。 実際, σ o : D 1 ( 1 ) → X ( D 1 ( 1 ) = σ o : D 1 ( 1 ) → X D 1 ( 1 ) = sigma^(o):D^(1)(1)rarr X(D^(1)(1)=:}\sigma^{o}: D^{1}(1) \rightarrow X\left(D^{1}(1)=\right.σo:D1(1)→X(D1(1)= [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][−1,1] に注意）を σ o ( t ) := ( cos ⁡ t π , sin ⁡ t π ) ( t ∈ D 1 ( 1 ) ) σ o ( t ) := ( cos ⁡ t π , sin ⁡ t π ) t ∈ D 1 ( 1 ) sigma^(o)(t):=(cos t pi,sin t pi)(t inD^(1)(1))\sigma^{o}(t):=(\cos t \pi, \sin t \pi)\left(t \in D^{1}(1)\right)σo(t):=(cos⁡tπ,sin⁡tπ)(t∈D1(1)) によって定義する. α = α = alpha=\alpha=α= [ σ o ] ∈ H 1 sing ( X , Z ) ( ≡ Z ) σ o ∈ H 1 sing  ( X , Z ) ( ≡ Z ) [sigma^(o)]inH_(1)^("sing ")(X,Z)(-=Z)\left[\sigma^{o}\right] \in H_{1}^{\text {sing }}(X, \mathbb{Z})(\equiv \mathbb{Z})[σo]∈H1sing (X,Z)(≡Z) は, H 1 sing ( X , Z ) H 1 sing  ( X , Z ) H_(1)^("sing ")(X,Z)H_{1}^{\text {sing }}(X, \mathbb{Z})H1sing (X,Z) の生成元である. σ 1 o ∈ C 1 ( U , Z ) , σ 2 o ∈ σ 1 o ∈ C 1 ( U , Z ) , σ 2 o ∈ sigma_(1)^(o)inC_(1)(U,Z),sigma_(2)^(o)in\sigma_{1}^{o} \in C_{1}(U, \mathbb{Z}), \sigma_{2}^{o} \inσ1o∈C1(U,Z),σ2o∈ C 1 ( V , Z ) C 1 ( V , Z ) C_(1)(V,Z)C_{1}(V, \mathbb{Z})C1(V,Z) を
σ 1 o ( t ) := ( − cos ⁡ t π 2 , − sin ⁡ t π 2 ) ( t ∈ D 1 ( 1 ) ) σ 1 o ( t ) := − cos ⁡ t π 2 , − sin ⁡ t π 2 t ∈ D 1 ( 1 ) sigma_(1)^(o)(t):=(-cos((t pi)/(2)),-sin((t pi)/(2)))quad(t inD^(1)(1))\sigma_{1}^{o}(t):=\left(-\cos \frac{t \pi}{2},-\sin \frac{t \pi}{2}\right) \quad\left(t \in D^{1}(1)\right)σ1o(t):=(−cos⁡tπ2,−sin⁡tπ2)(t∈D1(1))
σ 2 o ( t ) := ( cos ⁡ t π 2 , sin ⁡ t π 2 ) ( t ∈ D 1 ( 1 ) ) σ 2 o ( t ) := cos ⁡ t π 2 , sin ⁡ t π 2 t ∈ D 1 ( 1 ) sigma_(2)^(o)(t):=(cos((t pi)/(2)),sin((t pi)/(2)))quad(t inD^(1)(1))\sigma_{2}^{o}(t):=\left(\cos \frac{t \pi}{2}, \sin \frac{t \pi}{2}\right) \quad\left(t \in D^{1}(1)\right)σ2o(t):=(cos⁡tπ2,sin⁡tπ2)(t∈D1(1))
で定める. このとき, α = [ σ 1 o + σ 2 o ] α = σ 1 o + σ 2 o alpha=[sigma_(1)^(o)+sigma_(2)^(o)]\alpha=\left[\sigma_{1}^{o}+\sigma_{2}^{o}\right]α=[σ1o+σ2o] が成り立つ. 一方, σ 1 o ∈ C 1 ( A , Z ) σ 1 o ∈ C 1 ( A , Z ) sigma_(1)^(o)inC_(1)(A,Z)\sigma_{1}^{o} \in C_{1}(A, \mathbb{Z})σ1o∈C1(A,Z) である が σ 2 o ∉ C 1 ( B , Z ) σ 2 o ∉ C 1 ( B , Z ) sigma_(2)^(o)!inC_(1)(B,Z)\sigma_{2}^{o} \notin C_{1}(B, \mathbb{Z})σ2o∉C1(B,Z) であることから, α = [ σ 1 + σ 2 ] α = σ 1 + σ 2 alpha=[sigma_(1)+sigma_(2)]\alpha=\left[\sigma_{1}+\sigma_{2}\right]α=[σ1+σ2] となる σ 1 ∈ C 1 ( A , Z ) , σ 2 ∈ σ 1 ∈ C 1 ( A , Z ) , σ 2 ∈ sigma_(1)inC_(1)(A,Z),sigma_(2)in\sigma_{1} \in C_{1}(A, \mathbb{Z}), \sigma_{2} \inσ1∈C1(A,Z),σ2∈ C 1 ( B , Z ) C 1 ( B , Z ) C_(1)(B,Z)C_{1}(B, \mathbb{Z})C1(B,Z) がみつからないことが推測される. 実際, そのような組がみつからないこ とが示される（証明略）。このように, ( A , B ) ( A , B ) (A,B)(A, B)(A,B) は切除可能でない.
定理 5.2.1の証明 (Step I) 写像 Φ M : H DR k ( M ) → H sing k ( M , R ) を Φ M : H DR k ( M ) → H sing k ( M , R ) を Phi_(M):H_(DR)^(k)(M)rarrH_(sing)^(k)(M,R)を\Phi_{M}: H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) \rightarrow H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{R}) をΦM:HDRk(M)→Hsingk(M,R)を
Φ M ( [ ω ] ) := [ ∫ 0 ω ] ( [ ω ] ∈ H DR k ( M ) ) Φ M ( [ ω ] ) := ∫ 0   ω [ ω ] ∈ H DR k ( M ) Phi_(M)([omega]):=[int_(0)omega]quad([omega]inH_(DR)^(k)(M))\Phi_{M}([\omega]):=\left[\int_{0} \omega\right] \quad\left([\omega] \in H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)\right)ΦM([ω]):=[∫0ω]([ω]∈HDRk(M))
によって定義する。ただし， ∫ ω ∫ ω int omega\int \omega∫ω は、
∫ 0 ω : c ↦ ∫ c ω ( c ∈ C k r ( M , R ) ) ∫ 0   ω : c ↦ ∫ c   ω c ∈ C k r ( M , R ) int_(0)omega:c|->int_(c)omegaquad(c inC_(k)^(r)(M,R))\int_{0} \omega: c \mapsto \int_{c} \omega \quad\left(c \in C_{k}^{r}(M, \mathbb{R})\right)∫0ω:c↦∫cω(c∈Ckr(M,R))
により定められる ( C k ) r ( M , R ) C k r ( M , R ) (C^(k))^(r)(M,R)\left(C^{k}\right)^{r}(M, \mathbb{R})(Ck)r(M,R) の元を表す. Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が well-defined であること を示す。そのために、まず ∫ 0 ω ∈ Ker δ k ∫ 0   ω ∈ Ker δ k int_(0)omega in Kerdelta_(k)\int_{0} \omega \in \operatorname{Ker} \delta_{k}∫0ω∈Kerδk を示す。ストークスの定理を用いて, δ k ( ∫ ∙ ω ) ( c ) = ( ∫ ∙ ω ) ( ∂ k + 1 c ) = ∫ ∂ k + 1 c ω = ∫ c d k ω = 0 ( c ∈ C k + 1 r ( M , R ) ) δ k ∫ ∙   ω ( c ) = ∫ ∙   ω ∂ k + 1 c = ∫ ∂ k + 1 c   ω = ∫ c   d k ω = 0 c ∈ C k + 1 r ( M , R ) delta_(k)(int_(∙)omega)(c)=(int_(∙)omega)(del_(k+1)c)=int_(del_(k+1)c)omega=int_(c)d_(k)omega=0quad(c inC_(k+1)^(r)(M,R))\delta_{k}\left(\int_{\bullet} \omega\right)(c)=\left(\int_{\bullet} \omega\right)\left(\partial_{k+1} c\right)=\int_{\partial_{k+1} c} \omega=\int_{c} d_{k} \omega=0 \quad\left(c \in C_{k+1}^{r}(M, \mathbb{R})\right)δk(∫∙ω)(c)=(∫∙ω)(∂k+1c)=∫∂k+1cω=∫cdkω=0(c∈Ck+1r(M,R)) が示される。それゅ， ∫ 0 ω ∈ Ker δ k ∫ 0   ω ∈ Ker δ k int_(0)omega in Kerdelta_(k)\int_{0} \omega \in \operatorname{Ker} \delta_{k}∫0ω∈Kerδk をえる。次に, [ ω 1 ] = [ ω 2 ] ω 1 = ω 2 [omega_(1)]=[omega_(2)]\left[\omega_{1}\right]=\left[\omega_{2}\right][ω1]=[ω2] として、 [ ∫ . ω 1 ] = [ ∫ 0 ω 2 ] ∫ . ω 1 = ∫ 0 ω 2 [int.omega_(1)]=[int0omega_(2)]\left[\int . \omega_{1}\right]=\left[\int 0 \omega_{2}\right][∫.ω1]=[∫0ω2] を示せばよい. [ ω 1 ] = [ ω 2 ] ω 1 = ω 2 [omega_(1)]=[omega_(2)]\left[\omega_{1}\right]=\left[\omega_{2}\right][ω1]=[ω2] とする. このとき, ω 1 − ω 2 = ω 1 − ω 2 = omega_(1)-omega_(2)=\omega_{1}-\omega_{2}=ω1−ω2= d k − 1 η d k − 1 η d_(k-1)etad_{k-1} \etadk−1η となる η ∈ Ω k − 1 ( M ) η ∈ Ω k − 1 ( M ) eta inOmega^(k-1)(M)\eta \in \Omega^{k-1}(M)η∈Ωk−1(M) が存在し，それゆえ、
( ∫ 0 ω 1 − ∫ 0 ω 2 ) ( c ) = ∫ c ( ω 1 − ω 2 ) = ∫ c d k − 1 η = ∫ ∂ k c η = ( ∫ 0 η ∘ ∂ k ) ( c ) = δ k − 1 ( ∫ 0 η ) ( c ) ( c ∈ C k r ( M , R ) ) ∫ 0   ω 1 − ∫ 0   ω 2 ( c ) = ∫ c   ω 1 − ω 2 = ∫ c   d k − 1 η = ∫ ∂ k c   η = ∫ 0   η ∘ ∂ k ( c ) = δ k − 1 ∫ 0   η ( c ) c ∈ C k r ( M , R ) {:[(int_(0)omega_(1)-int_(0)omega_(2))(c)=int_(c)(omega_(1)-omega_(2))=int_(c)d_(k-1)eta=int_(del_(k)c)eta],[=(int_(0)eta@del_(k))(c)=delta_(k-1)(int_(0)eta)(c)],[(c inC_(k)^(r)(M,R))]:}\begin{aligned} & \left(\int_{0} \omega_{1}-\int_{0} \omega_{2}\right)(c)=\int_{c}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)=\int_{c} d_{k-1} \eta=\int_{\partial_{k} c} \eta \\ & =\left(\int_{0} \eta \circ \partial_{k}\right)(c)=\delta_{k-1}\left(\int_{0} \eta\right)(c) \\ & \left(c \in C_{k}^{r}(M, \mathbb{R})\right) \end{aligned}(∫0ω1−∫0ω2)(c)=∫c(ω1−ω2)=∫cdk−1η=∫∂kcη=(∫0η∘∂k)(c)=δk−1(∫0η)(c)(c∈Ckr(M,R))
よって,
∫ ∙ ω 1 − ∫ ∙ ω 2 = δ k − 1 ( ∫ ∙ η ) ∈ Im δ k − 1 ∫ ∙   ω 1 − ∫ ∙   ω 2 = δ k − 1 ∫ ∙   η ∈ Im δ k − 1 int_(∙)omega_(1)-int_(∙)omega_(2)=delta_(k-1)(int_(∙)eta)in Imdelta_(k-1)\int_{\bullet} \omega_{1}-\int_{\bullet} \omega_{2}=\delta_{k-1}\left(\int_{\bullet} \eta\right) \in \operatorname{Im} \delta_{k-1}∫∙ω1−∫∙ω2=δk−1(∫∙η)∈Imδk−1
それゆえ, [ ∫ ω 1 ] = [ ∫ ω 2 ] ∫ ω 1 = ∫ ω 2 [intomega_(1)]=[intomega_(2)]\left[\int \omega_{1}\right]=\left[\int \omega_{2}\right][∫ω1]=[∫ω2] をえる.したがって, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM はwell-definedであ る。
次に, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が線形同型写像であることを証明する。 M M MMM が連結である場合に 示せば十分なので, 以下, M M MMM が連結であるとする. Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が線形写像であるこ とは明らかである。 Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM の同型性を示すことにする.
(Step II) M M MMM の有限開被覆 U := { U λ ∣ λ ∈ Λ } U := U λ ∣ λ ∈ Λ U:={U_(lambda)∣lambda in Lambda}\mathcal{U}:=\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}U:={Uλ∣λ∈Λ} に対し，次の条件を考える：
（*） ∩ λ ∈ Λ ′ U λ ≠ ∅ ∩ λ ∈ Λ ′ U λ ≠ ∅ nn_(lambda inLambda^('))U_(lambda)!=O/\underset{\lambda \in \Lambda^{\prime}}{\cap} U_{\lambda} \neq \emptyset∩λ∈Λ′Uλ≠∅ を満たす Λ Λ Lambda\LambdaΛ の任意の有限部分集合 Λ ′ Λ ′ Lambda^(')\Lambda^{\prime}Λ′ に対し, Φ ∩ λ ∈ Λ ′ U λ Φ ∩ λ ∈ Λ ′ U λ Phi_(nn_(lambda inLambda^('))U_(lambda))\Phi_{\cap_{\lambda \in \Lambda^{\prime}} U_{\lambda}}Φ∩λ∈Λ′Uλ が 線形同型写像である.
まず, 任意の自然数 l l lll に対し, 次の主張が成り立つことを示す：
( S l ) M S l M (S_(l))quad M\left(S_{l}\right) \quad M(Sl)M が条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす l l lll 個からなる有限開被覆を許容するならば, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM は線形同型写像になる.
l l lll に関する数学的帰納法で示す. 主張 ( S 1 ) S 1 (S_(1))\left(S_{1}\right)(S1) が成り立つことは明らかである.主張 ( S 2 ) S 2 (S_(2))\left(S_{2}\right)(S2) が成り立つことを示す。 M M MMM が, 条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす M M MMM の 2 つの開集合からなる M M MMM の開被覆 { U 1 , U 2 } U 1 , U 2 {U_(1),U_(2)}\left\{U_{1}, U_{2}\right\}{U1,U2} を許容するとする。 M M MMM は連結なので, U ∩ U ∩ U nnU \capU∩ V ≠ ϕ V ≠ ϕ V!=phiV \neq \phiV≠ϕ となることに注意する。 このとき, 可換図式
H DR k − 1 ( U ) ⊕ H DR k − 1 ( V ) → ( ι U V ) DR ∗ H DR k − 1 ( U ∩ V ) → δ k ∗ H DR k ( M ) → ( ι U V ) DR ∗ ↓ Φ U ⊕ Φ V ↓ Φ U ∩ V ↓ Φ M H sing k − 1 ( U , R ) ⊕ H sing k − 1 ( V , R ) → ( ι U V ) sing ∗ H sing k ( U ∩ V , R ) → δ k ∗ H sing k ( M ) → ( ι U V ) sing ∗ H DR k ( U ) ⊕ H DR k ( V ) ( U U V ) DR ∗ H DR k ( U ∩ V ) ↓ Φ U ⊕ Φ V ↓ Φ U ∩ V H sing k ( U ) ⊕ H sing k ( V ) → ( ι V ) sing ∗ H sing k ( U ∩ V ) H DR k − 1 ( U ) ⊕ H DR k − 1 ( V ) → ι U V DR ∗ H DR k − 1 ( U ∩ V ) → δ k ∗ H DR k ( M ) → ι U V DR ∗ ↓ Φ U ⊕ Φ V ↓ Φ U ∩ V ↓ Φ M H sing  k − 1 ( U , R ) ⊕ H sing  k − 1 ( V , R ) → ι U V sing  ∗ H sing  k ( U ∩ V , R ) → δ k ∗ H sing  k ( M ) → ι U V sing  ∗ H DR k ( U ) ⊕ H DR k ( V ) U U V DR ∗ H DR k ( U ∩ V ) ↓ Φ U ⊕ Φ V ↓ Φ U ∩ V H sing  k ( U ) ⊕ H sing  k ( V ) → ( ι V ) sing  ∗ H sing  k ( U ∩ V ) {:[H_(DR)^(k-1)(U)o+H_(DR)^(k-1)(V)quadrarr"(iota^(UV))_(DR)^(**)"H_(DR)^(k-1)(U nn V)rarr"delta_(k)^(**)"H_(DR)^(k)(M)rarr"(iota_(UV))_(DR)^(**)"],[ darrPhi_(U)o+Phi_(V)quad darrPhi_(U nn V)quad darrPhi_(M)],[H_("sing ")^(k-1)(U","R)o+H_("sing ")^(k-1)(V","R)rarr"(iota^(UV))_("sing ")^(**)"H_("sing ")^(k)(U nn V","R)rarr"delta_(k)^(**)"H_("sing ")^(k)(M)rarr"(iota_(UV))_("sing ")^(**)"],[H_(DR)^(k)(U)o+H_(DR)^(k)(V)quad^((U^(UV))_(DR)^(**))quadH_(DR)^(k)(U nn V)],[ darrPhi_(U)o+Phi_(V)quad darrPhi_(U nn V)],[H_("sing ")^(k)(U)o+H_("sing ")^(k)(V)quadrarr"(iota V)_("sing ")^(**)"H_("sing ")^(k)(U nn V)]:}\begin{aligned} & H_{\mathrm{DR}}^{k-1}(U) \oplus H_{\mathrm{DR}}^{k-1}(V) \quad \xrightarrow{\left(\iota^{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}} H_{\mathrm{DR}}^{k-1}(U \cap V) \xrightarrow{\delta_{k}^{*}} H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) \xrightarrow{\left(\iota_{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}} \\ & \downarrow \Phi_{U} \oplus \Phi_{V} \quad \downarrow \Phi_{U \cap V} \quad \downarrow \Phi_{M} \\ & H_{\text {sing }}^{k-1}(U, \mathbb{R}) \oplus H_{\text {sing }}^{k-1}(V, \mathbb{R}) \xrightarrow{\left(\iota^{U V}\right)_{\text {sing }}^{*}} H_{\text {sing }}^{k}(U \cap V, \mathbb{R}) \xrightarrow{\delta_{k}^{*}} H_{\text {sing }}^{k}(M) \xrightarrow{\left(\iota_{U V}\right)_{\text {sing }}^{*}} \\ & H_{\mathrm{DR}}^{k}(U) \oplus H_{\mathrm{DR}}^{k}(V) \quad \stackrel{\left(U^{U V}\right)_{\mathrm{DR}}^{*}}{ } \quad H_{\mathrm{DR}}^{k}(U \cap V) \\ & \downarrow \Phi_{U} \oplus \Phi_{V} \quad \downarrow \Phi_{U \cap V} \\ & H_{\text {sing }}^{k}(U) \oplus H_{\text {sing }}^{k}(V) \quad \xrightarrow{(\iota V)_{\text {sing }}^{*}} H_{\text {sing }}^{k}(U \cap V) \end{aligned}HDRk−1(U)⊕HDRk−1(V)→(ιUV)DR∗HDRk−1(U∩V)→δk∗HDRk(M)→(ιUV)DR∗↓ΦU⊕ΦV↓ΦU∩V↓ΦMHsing k−1(U,R)⊕Hsing k−1(V,R)→(ιUV)sing ∗Hsing k(U∩V,R)→δk∗Hsing k(M)→(ιUV)sing ∗HDRk(U)⊕HDRk(V)(UUV)DR∗HDRk(U∩V)↓ΦU⊕ΦV↓ΦU∩VHsing k(U)⊕Hsing k(V)→(ιV)sing ∗Hsing k(U∩V)
が成り立ち, 開被覆 { U 1 , U 2 } U 1 , U 2 {U_(1),U_(2)}\left\{U_{1}, U_{2}\right\}{U1,U2} は条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすので, Φ U ⊕ Φ V , Φ U ∩ V Φ U ⊕ Φ V , Φ U ∩ V Phi_(U)o+Phi_(V),Phi_(U nn V)\Phi_{U} \oplus \Phi_{V}, \Phi_{U \cap V}ΦU⊕ΦV,ΦU∩V は 線形同型写像である.したがって, 加群の準同型写像からなる 2 つの完全系列と, それらの対象を結ぶ準同型写像の系列からなる可換図式における 5 項 の補題（five lemma）とよばれる事実により, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が線形同型写像であるこ とが導かれる. それゆえ, 主張 ( S 2 ) S 2 (S_(2))\left(S_{2}\right)(S2) が正しいことが示される。 5 項の補題に ついては, 加群等に関する書籍を参照のこと.
主張 ( S l ) S l (S_(l))\left(S_{l}\right)(Sl) が成り立つと仮定する（ l l lll は 2 以上のある自然数). M M MMM が, 条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす M M MMM の ( l + 1 ) ( l + 1 ) (l+1)(l+1)(l+1) 個の開集合からなる M M MMM の開被覆 U = { U 1 , … , U l + 1 } U = U 1 , … , U l + 1 U={U_(1),dots,U_(l+1)}\mathcal{U}=\left\{U_{1}, \ldots, U_{l+1}\right\}U={U1,…,Ul+1}
を許容するとする. V := U l ∪ U l + 1 V := U l ∪ U l + 1 V:=U_(l)uuU_(l+1)V:=U_{l} \cup U_{l+1}V:=Ul∪Ul+1 とおく. このとき, M M MMM の開被覆 V := V := V:=\mathcal{V}:=V:= { U 1 , … , U l − 1 , V } U 1 , … , U l − 1 , V {U_(1),dots,U_(l-1),V}\left\{U_{1}, \ldots, U_{l-1}, V\right\}{U1,…,Ul−1,V} が条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすことを示す. U U U\mathcal{U}U は条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすの で, U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ l − 1 ) U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ l − 1 U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= l-1)U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}}\left(1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq l-1\right)Ui1∩⋯∩Uik(1≤i1<⋯<ik≤l−1) が空集合でなければ, Φ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k Φ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k Phi_(U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k)))\Phi_{U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}}}ΦUi1∩⋯∩Uik は線形同型写像になる。 U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ V ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ V 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nn V(1 <= i_(1) < cdots < i_(k):}U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap V\left(1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k}\right.Ui1∩⋯∩Uik∩V(1≤i1<⋯<ik ≤ l − 1 ) ≤ l − 1 ) <= l-1)\leq l-1)≤l−1) が空集合でないとする. このとき,
U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ V = ( U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l ) ∪ ( U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 ) U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ V = U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l ∪ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nn V=(U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l))uu(U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l+1))U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap V=\left(U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l}\right) \cup\left(U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l+1}\right)Ui1∩⋯∩Uik∩V=(Ui1∩⋯∩Uik∩Ul)∪(Ui1∩⋯∩Uik∩Ul+1)
なので, U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l , U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l , U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l),U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l+1)U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l}, U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l+1}Ui1∩⋯∩Uik∩Ul,Ui1∩⋯∩Uik∩Ul+1 のうち, 少なくとも一方 は空集合ではない. U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l ≠ ∅ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l ≠ ∅ U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l)!=O/U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l} \neq \emptysetUi1∩⋯∩Uik∩Ul≠∅ のき, U U U\mathcal{U}U は条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすの で, Φ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l Φ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l Phi_(U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l))\Phi_{U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l}}ΦUi1∩⋯∩Uik∩Ul は線形同型写像になり, 同様に U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 ≠ ∅ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 ≠ ∅ U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l+1)!=O/U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l+1} \neq \emptysetUi1∩⋯∩Uik∩Ul+1≠∅ のとき, U U U\mathcal{U}U は条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすので, Φ U i 1 ∩ … ∩ U i k ∩ U l + 1 Φ U i 1 ∩ … ∩ U i k ∩ U l + 1 Phi_(U_(i_(1))nn dots nnU_(i_(k))nnU_(l+1))\Phi_{U_{i_{1}} \cap \ldots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l+1}}ΦUi1∩…∩Uik∩Ul+1 は線形同型写像になる. それゆえ, U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l , U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l , U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l),U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l+1)U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l}, U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l+1}Ui1∩⋯∩Uik∩Ul,Ui1∩⋯∩Uik∩Ul+1 のうち一方が空集合

U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l)U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l}Ui1∩⋯∩Uik∩Ul と U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ U l + 1 U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nnU_(l+1)U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap U_{l+1}Ui1∩⋯∩Uik∩Ul+1 が共に空集合でない場合は, 上述のように 5 項の補題を用いて, Φ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ V Φ U i 1 ∩ ⋯ ∩ U i k ∩ V Phi_(U_(i_(1))nn cdots nnU_(i_(k))nn V)\Phi_{U_{i_{1}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} \cap V}ΦUi1∩⋯∩Uik∩V が線形同型写像であることが 導かれる。したがって, V V V\mathcal{V}V は条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす l l lll 個の開集合からなる M M MMM の開被覆になる。ゆに, 帰納法の仮定から， Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が線形同型写像であることが 導かれる。したがって, 主張 ( S l + 1 ) S l + 1 (S_(l+1))\left(S_{l+1}\right)(Sl+1) が成り立つことが示される。したがって、数学的帰納法により,任意の自然数 l l lll に対し，主張 ( S l ) S l (S_(l))\left(S_{l}\right)(Sl) が成り立つ.つまり,次の主張が示された：
（S）M が条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす有限開被覆を許容するならば, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM は線形同型写像になる。
M M MMM がコンパクトである場合, 明らかに, M M MMM の有限開被覆 U = { U λ ∣ λ ∈ Λ } U = U λ ∣ λ ∈ Λ U={U_(lambda)∣lambda in Lambda}\mathcal{U}=\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}U={Uλ∣λ∈Λ} で, Λ Λ Lambda\LambdaΛ の任意の部分集合 Λ ′ Λ ′ Lambda^(')\Lambda^{\prime}Λ′ に対し, ∩ λ ∈ Λ ′ U λ ∩ λ ∈ Λ ′ U λ nn_(lambda inLambda^('))U_(lambda)\underset{\lambda \in \Lambda^{\prime}}{\cap} U_{\lambda}∩λ∈Λ′Uλ が空集合, または D n D n D^(n)D^{n}Dn に同相に なるようなものがとれる。 D n D n D^(n)D^{n}Dn は可縮（1点集合とホモトピー同型）なので, H sing k ( D n ) ≅ H DR k ( D n ) = { 0 } ( k ≥ 1 ) H sing  k D n ≅ H DR k D n = { 0 } ( k ≥ 1 ) H_("sing ")^(k)(D^(n))~=H_(DR)^(k)(D^(n))={0}(k >= 1)H_{\text {sing }}^{k}\left(D^{n}\right) \cong H_{\mathrm{DR}}^{k}\left(D^{n}\right)=\{0\}(k \geq 1)Hsing k(Dn)≅HDRk(Dn)={0}(k≥1), かつ, H sing 0 ( D n ) ≅ H DR 0 ( D n ) = Z H sing  0 D n ≅ H DR 0 D n = Z H_("sing ")^(0)(D^(n))~=H_(DR)^(0)(D^(n))=ZH_{\text {sing }}^{0}\left(D^{n}\right) \cong H_{\mathrm{DR}}^{0}\left(D^{n}\right)=\mathbb{Z}Hsing 0(Dn)≅HDR0(Dn)=Z となり, Φ D n Φ D n Phi_(D^(n))\Phi_{D^{n}}ΦDn が線形同型写像であることが示される。それゆえU U U U\mathcal{U}U 条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすので, (S) より, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が線形同型写像であることが導かれる。以上 で, M M MMM がコンパクトである場合の証明は完結した.
(Step III) M M MMM が非コンパクトである場合を考えよう。まず, M M MMM 上の非負
値 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級関数 f f fff で, 任意の b ∈ R b ∈ R b inRb \in \mathbb{R}b∈R に対し, f − 1 ( [ 0 , b ] ) f − 1 ( [ 0 , b ] ) f^(-1)([0,b])f^{-1}([0, b])f−1([0,b]) がコンパクトになるよ うなものをとる。このような C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級関数は容易に構成できる。例えば, M M MMM に 補助的に完備なリーマン計量 g g ggg を与え, M M MMM のある点 p p ppp からのリーマン距離関数の 2 乗 f ( ⋅ ) := d g ( p , ⋅ ) 2 f ( ⋅ ) := d g ( p , ⋅ ) 2 f(*):=d_(g)(p,*)^(2)f(\cdot):=d_{g}(p, \cdot)^{2}f(⋅):=dg(p,⋅)2 を考えればよい. 各 i ∈ N i ∈ N i inNi \in \mathbb{N}i∈N に対し, B i := f − 1 ( [ i − B i := f − 1 ( [ i − B_(i):=f^(-1)([i-B_{i}:=f^{-1}([i-Bi:=f−1([i− 1 , i ] ) 1 , i ] ) 1,i])1, i])1,i]) とおく. 各 B i B i B_(i)B_{i}Bi はコンパクト集合 f − 1 ( [ 0 , i ] ) f − 1 ( [ 0 , i ] ) f^(-1)([0,i])f^{-1}([0, i])f−1([0,i]) の閉部分集合なので, コン パクトである。それゆえ, B i B i B_(i)B_{i}Bi の有限開被覆 U i := { U i λ ∣ λ ∈ Λ i } U i := U i λ ∣ λ ∈ Λ i U_(i):={U_(i lambda)∣lambda inLambda_(i)}\mathcal{U}_{i}:=\left\{U_{i \lambda} \mid \lambda \in \Lambda_{i}\right\}Ui:={Uiλ∣λ∈Λi} で, Λ i Λ i Lambda_(i)\Lambda_{i}Λi の任意の部分集合 Λ i ′ Λ i ′ Lambda_(i)^(')\Lambda_{i}^{\prime}Λi′ 対し λ ∈ Λ i ′ U i λ λ ∈ Λ i ′ U i λ _(lambda inLambda_(i)^('))U_(i lambda)\underset{\lambda \in \Lambda_{i}^{\prime}}{ } U_{i \lambda}λ∈Λi′Uiλ が空集合，または， D n D n D^(n)D^{n}Dn に同相になるような ものがとれる. しかも， B ~ i := ∪ λ ∈ Λ i U i λ B ~ i := ∪ λ ∈ Λ i U i λ widetilde(B)_(i):=uu_(lambda inLambda_(i))U_(i lambda)\widetilde{B}_{i}:=\underset{\lambda \in \Lambda_{i}}{\cup} U_{i \lambda}B~i:=∪λ∈ΛiUiλ として, B ~ i ∩ B ~ j = ∅ ( | i − j | ≥ 2 ) B ~ i ∩ B ~ j = ∅ ( | i − j | ≥ 2 ) widetilde(B)_(i)nn widetilde(B)_(j)=O/quad(|i-j| >= 2)\widetilde{B}_{i} \cap \widetilde{B}_{j}=\emptyset \quad(|i-j| \geq 2)B~i∩B~j=∅(|i−j|≥2), かつ, U i λ ∩ U i + 1 , μ ( i ∈ N , λ ∈ Λ i , μ ∈ Λ i + 1 ) U i λ ∩ U i + 1 , μ i ∈ N , λ ∈ Λ i , μ ∈ Λ i + 1 U_(i lambda)nnU_(i+1,mu)(i inN,lambda inLambda_(i),mu inLambda_(i+1))U_{i \lambda} \cap U_{i+1, \mu}\left(i \in \mathbb{N}, \lambda \in \Lambda_{i}, \mu \in \Lambda_{i+1}\right)Uiλ∩Ui+1,μ(i∈N,λ∈Λi,μ∈Λi+1) が空集合, または, D n D n D^(n)D^{n}Dn と同相になるようにとることができる。上述の事実より， Φ B ~ i Φ B ~ i Phi_( widetilde(B)_(i))\Phi_{\widetilde{B}_{i}}ΦB~i が線形同型写像で あることが導かれる. U := ⋃ i = 1 ∞ B ~ 2 i − 1 , V := ⋃ i = 1 ∞ B ~ 2 i U := ⋃ i = 1 ∞   B ~ 2 i − 1 , V := ⋃ i = 1 ∞   B ~ 2 i U:=uuu_(i=1)^(oo) widetilde(B)_(2i-1),V:=uuu_(i=1)^(oo) widetilde(B)_(2i)U:=\bigcup_{i=1}^{\infty} \widetilde{B}_{2 i-1}, V:=\bigcup_{i=1}^{\infty} \widetilde{B}_{2 i}U:=⋃i=1∞B~2i−1,V:=⋃i=1∞B~2i とおく. このとき, C C CCC を U , V , U ∩ V U , V , U ∩ V U,V,U nn VU, V, U \cap VU,V,U∩V いずれかの連結成分とすると, それは条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす有限開被覆を許容するので, (S) より, Φ C Φ C Phi_(C)\Phi_{C}ΦC は線形同型写像になる。この事実から, Φ U , Φ V , Φ U ∩ V Φ U , Φ V , Φ U ∩ V Phi_(U),Phi_(V),Phi_(U nn V)\Phi_{U}, \Phi_{V}, \Phi_{U \cap V}ΦU,ΦV,ΦU∩V が線形同型写像であることが導かれる.したがって, { U , V } { U , V } {U,V}\{U, V\}{U,V} は条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす M M MMM の有限開被覆なので, (S) より, Φ M Φ M Phi_(M)\Phi_{M}ΦM が線形同型写像 であることが導かれる。

5.3 モース理論

この節では r ≥ 2 r ≥ 2 r >= 2r \geq 2r≥2 とする. この節において, モース理論（Morse theory） について説明しよう。モース理論とは、閉多様体上のモース関数を用いて, そ の閉多様体のハンドル分解とよばれる分解を構成し，さらに，その分解を利用 して, その閉多様体の位相構造を分析しようという理論である。閉多様体のハ ンドル分解とよばれる分解は, モース関数の臨界点の近傍の構造を分析するこ とにより与えられる. モース関数の臨界点の近傍の構造は, 次のモースの補題 (Morse lemma)により分析される.
定理 5.3.1（モースの補題） p p ppp を C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 f : M → R ( r ≥ 2 ) f : M → R ( r ≥ 2 ) f:M rarrR(r >= 2)f: M \rightarrow \mathbb{R}(r \geq 2)f:M→R(r≥2) の指数 k k kkk の 非退化臨界点とする. このとき, p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) で φ ( p ) = φ ( p ) = varphi(p)=\varphi(p)=φ(p)= ( 0 , … , 0 ) ( 0 , … , 0 ) (0,dots,0)(0, \ldots, 0)(0,…,0) かつ ( f ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) = f ( p ) − ∑ i = 1 k x i 2 + ∑ i = k + 1 n x i 2 f ∘ φ − 1 x 1 , … , x n = f ( p ) − ∑ i = 1 k   x i 2 + ∑ i = k + 1 n   x i 2 (f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n))=f(p)-sum_(i=1)^(k)x_(i)^(2)+sum_(i=k+1)^(n)x_(i)^(2)\left(f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f(p)-\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}+\sum_{i=k+1}^{n} x_{i}^{2}(f∘φ−1)(x1,…,xn)=f(p)−∑i=1kxi2+∑i=k+1nxi2 となるような
ものが存在する.
証明 p p ppp のまわりの局所チャート ( U ^ , φ ^ = ( x 1 , … , x n ) ) U ^ , φ ^ = x 1 , … , x n (( widehat(U)),( widehat(varphi))=(x_(1),dots,x_(n)))\left(\widehat{U}, \widehat{\varphi}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U^,φ^=(x1,…,xn)) をとり, φ ^ ( p ) = φ ^ ( p ) = widehat(varphi)(p)=\widehat{\varphi}(p)=φ^(p)= ( p 1 , … , p n ) p 1 , … , p n (p_(1),dots,p_(n))\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)(p1,…,pn) とする. f ∘ φ ^ − 1 f ∘ φ ^ − 1 f@ widehat(varphi)^(-1)f \circ \widehat{\varphi}^{-1}f∘φ^−1 の点 φ ^ ( p ) = ( p 1 , … , p n ) φ ^ ( p ) = p 1 , … , p n widehat(varphi)(p)=(p_(1),dots,p_(n))\widehat{\varphi}(p)=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)φ^(p)=(p1,…,pn) における 1 次の項まで のテイラー展開によれば, ( p 1 , … , p n ) p 1 , … , p n (p_(1),dots,p_(n))\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)(p1,…,pn) の十分小さな近傍 V ′ ( ⊂ φ ^ ( U ) ) V ′ ( ⊂ φ ^ ( U ) ) V^(')(sub widehat(varphi)(U))V^{\prime}(\subset \widehat{\varphi}(U))V′(⊂φ^(U)) 上で 0 < θ < 1 0 < θ < 1 0 < theta < 10<\theta<10<θ<1 を満たす,ある C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級関数 θ θ theta\thetaθ に対し,
( f ∘ φ ^ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) = f ( p ) + ∑ i = 1 n ( ∂ ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ) ( p 1 , … , p n ) × ( x i − p i ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) ( p 1 + θ ( x 1 , … , x n ) ( x 1 − p 1 ) , … , p n + θ ( x 1 , … , x n ) ( x n − p n ) ) (5.3.1) × ( x i − p i ) ( x j − p j ) f ∘ φ ^ − 1 x 1 , … , x n = f ( p ) + ∑ i = 1 n   ∂ f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i p 1 , … , p n × x i − p i + ∑ i = 1 n   ∑ j = 1 n   ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j p 1 + θ x 1 , … , x n x 1 − p 1 , … , p n + θ x 1 , … , x n x n − p n (5.3.1) × x i − p i x j − p j {:[(f@ widehat(varphi)^(-1))(x_(1),dots,x_(n))],[=f(p)+sum_(i=1)^(n)((del(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)))_((p_(1),dots,p_(n)))xx(x_(i)-p_(i))],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)((del^(2)(f@ widehat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_((p_(1)+theta(x_(1),dots,x_(n))(x_(1)-p_(1)),dots,p_(n)+theta(x_(1),dots,x_(n))(x_(n)-p_(n))))],[(5.3.1)xx(x_(i)-p_(i))(x_(j)-p_(j))]:}\begin{gather*} \left(f \circ \widehat{\varphi}^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\ =f(p)+\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)} \times\left(x_{i}-p_{i}\right) \\ +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \widehat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\left(p_{1}+\theta\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\left(x_{1}-p_{1}\right), \ldots, p_{n}+\theta\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\left(x_{n}-p_{n}\right)\right)} \\ \times\left(x_{i}-p_{i}\right)\left(x_{j}-p_{j}\right) \tag{5.3.1} \end{gather*}(f∘φ^−1)(x1,…,xn)=f(p)+∑i=1n(∂(f∘φ^−1)∂xi)(p1,…,pn)×(xi−pi)+∑i=1n∑j=1n(∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)(p1+θ(x1,…,xn)(x1−p1),…,pn+θ(x1,…,xn)(xn−pn))(5.3.1)×(xi−pi)(xj−pj)
が成り立つ. 簡単のため, 点 ( p 1 , … , p n ) , ( x 1 , … , x n ) p 1 , … , p n , x 1 , … , x n (p_(1),dots,p_(n)),(x_(1),dots,x_(n))\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(p1,…,pn),(x1,…,xn) を各々, p , x p , x p,x\boldsymbol{p}, \boldsymbol{x}p,x と表す ことにする. f ∘ φ ^ − 1 f ∘ φ ^ − 1 f@ hat(varphi)^(-1)f \circ \hat{\varphi}^{-1}f∘φ^−1 の x x x\boldsymbol{x}x におけるヘッシアン H ( f ∘ φ ^ − 1 ) x H f ∘ φ ^ − 1 x H(f@ hat(varphi)^(-1))_(x)H\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\boldsymbol{x}}H(f∘φ^−1)x は,
H ( f ∘ φ ^ − 1 ) x := ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) d x i ⊗ d x j H f ∘ φ ^ − 1 x := ∑ i = 1 n   ∑ j = 1 n   ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j d x i ⊗ d x j H(f@ widehat(varphi)^(-1))_(x):=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)((del^(2)(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))dx_(i)ox dx_(j)H\left(f \circ \widehat{\varphi}^{-1}\right)_{\boldsymbol{x}}:=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right) d x_{i} \otimes d x_{j}H(f∘φ^−1)x:=∑i=1n∑j=1n(∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)dxi⊗dxj
によって定義される。 p p ppp は f f fff の指数 k k kkk の非退化臨界点なので,
(5.3.2) ( ∂ ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ) p = 0 , det ( ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) p ) ≠ 0 (5.3.2) ∂ f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i p = 0 , det ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j p ≠ 0 {:(5.3.2)((del(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)))_(p)=0","quad det(((del^(2)(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(p))!=0:}\begin{equation*} \left(\frac{\partial\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i}}\right)_{p}=0, \quad \operatorname{det}\left(\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{p}\right) \neq 0 \tag{5.3.2} \end{equation*}(5.3.2)(∂(f∘φ^−1)∂xi)p=0,det((∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)p)≠0
が成り立ち, H ( f ∘ φ ^ − 1 ) p H f ∘ φ ^ − 1 p H(f@ hat(varphi)^(-1))_(p)H\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\boldsymbol{p}}H(f∘φ^−1)p は数ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn 上の指数 k k kkk の非退化な対称双線形形式になる。
x ↦ det ( ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) x ) x ↦ det ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j x x|->det(((del^(2)(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(x))\boldsymbol{x} \mapsto \operatorname{det}\left(\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}}\right)x↦det((∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)x)
の連続性により, p p p\boldsymbol{p}p の十分小さな開ボール U ′ ( ⊂ V ′ ) U ′ ⊂ V ′ U^(')(subV^('))U^{\prime}\left(\subset V^{\prime}\right)U′(⊂V′) の各点 x x x\boldsymbol{x}x において,
det ( ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) x ) ≠ 0 det ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j x ≠ 0 det(((del^(2)(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(x))!=0\operatorname{det}\left(\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}}\right) \neq 0det((∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)x)≠0
つまり, H ( f ∘ φ ^ − 1 ) x H f ∘ φ ^ − 1 x H(f@ hat(varphi)^(-1))_(x)H\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\boldsymbol{x}}H(f∘φ^−1)x は指数 k k kkk の非退化な対称双線形形式になる. U ′ U ′ U^(')U^{\prime}U′ の各点
x x x\boldsymbol{x}x に対し, R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の基底 ( e 1 x , … , e n x ) e 1 x , … , e n x (e_(1)^(x),dots,e_(n)^(x))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{\boldsymbol{x}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{\boldsymbol{x}}\right)(e1x,…,enx) が存在して,
( H ( f ∘ φ ^ − 1 ) x ( e i x , e j x ) ) = ( − E k O O E n − k ) H f ∘ φ ^ − 1 x e i x , e j x = − E k      O O      E n − k (H(f@ hat(varphi)^(-1))_(x)(e_(i)^(x),e_(j)^(x)))=([-E_(k),O],[O,E_(n-k)])\left(H\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\boldsymbol{x}}\left(\boldsymbol{e}_{i}^{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{e}_{j}^{\boldsymbol{x}}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} -E_{k} & O \\ O & E_{n-k} \end{array}\right)(H(f∘φ^−1)x(eix,ejx))=(−EkOOEn−k)
が成り立つ. ここで, x ↦ e i x ( x ∈ U ′ ) ( i = 1 , … , n ) x ↦ e i x x ∈ U ′ ( i = 1 , … , n ) x|->e_(i)^(x)(x inU^('))(i=1,dots,n)\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{e}_{i}^{\boldsymbol{x}}\left(\boldsymbol{x} \in U^{\prime}\right)(i=1, \ldots, n)x↦eix(x∈U′)(i=1,…,n) は U ′ U ′ U^(')U^{\prime}U′ 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ ベク トル場になるようにとることができる。 e i x = ∑ j = 1 n a i j ( x ) ( ∂ ∂ x j ) φ ^ − 1 ( x ) ( i = 1 e i x = ∑ j = 1 n   a i j ( x ) ∂ ∂ x j φ ^ − 1 ( x ) ( i = 1 e_(i)^(x)=sum_(j=1)^(n)a_(i)^(j)(x)((del)/(delx_(j)))_( hat(varphi)^(-1)(x))quad(i=1\boldsymbol{e}_{i}^{\boldsymbol{x}}=\sum_{j=1}^{n} a_{i}^{j}(\boldsymbol{x})\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{\hat{\varphi}^{-1}(\boldsymbol{x})} \quad(i=1eix=∑j=1naij(x)(∂∂xj)φ^−1(x)(i=1,
… , n ) … , n ) dots,n)\ldots, n)…,n) とする. このとき,
( a i j ( x ) ) ( ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) x ) t ( a i j ( x ) ) (5.3.3) = ( H ( f ∘ φ ^ − 1 ) x ( e i x , e j x ) ) = ( − E k O O E n − k ) a i j ( x ) ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j x t a i j ( x ) (5.3.3) = H f ∘ φ ^ − 1 x e i x , e j x = − E k O O E n − k {:[(a_(i)^(j)(x))(((del^(2)(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(x))^(t)(a_(i)^(j)(x))],[(5.3.3)=(H(f@ hat(varphi)^(-1))_(x)(e_(i)^(x),e_(j)^(x)))=([-E_(k),O],[O,E_(n-k)])]:}\begin{align*} & \left(a_{i}^{j}(\boldsymbol{x})\right)\left(\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}}\right)^{t}\left(a_{i}^{j}(\boldsymbol{x})\right) \\ = & \left(H\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)_{\boldsymbol{x}}\left(\boldsymbol{e}_{i}^{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{e}_{j}^{\boldsymbol{x}}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} -E_{k} & O \\ O & E_{n-k} \end{array}\right) \tag{5.3.3} \end{align*}(aij(x))((∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)x)t(aij(x))(5.3.3)=(H(f∘φ^−1)x(eix,ejx))=(−EkOOEn−k)
が示される. ( b i j ( x ) ) := ( a i j ( x ) ) − 1 , q ( x ) := p + θ ( x ) ( x − p ) b i j ( x ) := a i j ( x ) − 1 , q ( x ) := p + θ ( x ) ( x − p ) (b_(i)^(j)(x)):=(a_(i)^(j)(x))^(-1),q(x):=p+theta(x)(x-p)\left(b_{i}^{j}(\boldsymbol{x})\right):=\left(a_{i}^{j}(\boldsymbol{x})\right)^{-1}, q(\boldsymbol{x}):=\boldsymbol{p}+\theta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p})(bij(x)):=(aij(x))−1,q(x):=p+θ(x)(x−p) とおく. U ′ U ′ U^(')U^{\prime}U′ か ら R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn への写像 ψ ψ psi\psiψ を
ψ ( x ) := ( ∑ i = 1 n b i 1 ( q ( x ) ) ( x i − p i ) , … , ∑ i = 1 n b i n ( q ( x ) ) ( x i − p i ) ) ψ ( x ) := ∑ i = 1 n   b i 1 ( q ( x ) ) x i − p i , … , ∑ i = 1 n   b i n ( q ( x ) ) x i − p i psi(x):=(sum_(i=1)^(n)b_(i)^(1)(q(x))(x_(i)-p_(i)),dots,sum_(i=1)^(n)b_(i)^(n)(q(x))(x_(i)-p_(i)))\psi(\boldsymbol{x}):=\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{1}(q(\boldsymbol{x}))\left(x_{i}-p_{i}\right), \ldots, \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{n}(q(\boldsymbol{x}))\left(x_{i}-p_{i}\right)\right)ψ(x):=(∑i=1nbi1(q(x))(xi−pi),…,∑i=1nbin(q(x))(xi−pi))
によって定義する. このとき d ψ p = ( b i j ( p ) d ψ p = b i j ( p ) dpsi_(p)=(b_(i)^(j)(p):}d \psi_{\boldsymbol{p}}=\left(b_{i}^{j}(\boldsymbol{p})\right.dψp=(bij(p) )（正則）となるので, 逆関数定理

が U ′ U ′ U^(')U^{\prime}U′ から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像であるとしてよい。 U := U := U:=U:=U:= φ ^ − 1 ( U ′ ) , φ := ( ψ ∘ φ ^ ) | U φ ^ − 1 U ′ , φ := ( ψ ∘ φ ^ ) U widehat(varphi)^(-1)(U^(')),varphi:=(psi@( widehat(varphi)))|_(U)\widehat{\varphi}^{-1}\left(U^{\prime}\right), \varphi:=\left.(\psi \circ \widehat{\varphi})\right|_{U}φ^−1(U′),φ:=(ψ∘φ^)|U とおく. このとき, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) は p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャートになる。式 (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3) から,
( f ∘ φ − 1 ) ( y 1 , … , y n ) = ( f ∘ φ ^ − 1 ) ( ψ − 1 ( y 1 , … , y n ) ) = f ( p ) + y ( a i j ( q ( ψ − 1 ( y ) ) ) ) ( ( ∂ 2 ( f ∘ φ ^ − 1 ) ∂ x i ∂ x j ) q ( x ) ) t ( a i j ( q ( ψ − 1 ( y ) ) ) ) t y = f ( p ) − ∑ i = 1 k y i 2 + ∑ i = k + 1 n y i 2 f ∘ φ − 1 y 1 , … , y n = f ∘ φ ^ − 1 ψ − 1 y 1 , … , y n = f ( p ) + y a i j q ψ − 1 ( y ) ∂ 2 f ∘ φ ^ − 1 ∂ x i ∂ x j q ( x ) t a i j q ψ − 1 ( y ) t y = f ( p ) − ∑ i = 1 k   y i 2 + ∑ i = k + 1 n   y i 2 {:[(f@varphi^(-1))(y_(1),dots,y_(n))=(f@ widehat(varphi)^(-1))(psi^(-1)(y_(1),dots,y_(n)))],[=f(p)+y(a_(i)^(j)(q(psi^(-1)(y))))(((del^(2)(f@ hat(varphi)^(-1)))/(delx_(i)delx_(j)))_(q(x)))^(t)(a_(i)^(j)(q(psi^(-1)(y))))^(t)y],[=f(p)-sum_(i=1)^(k)y_(i)^(2)+sum_(i=k+1)^(n)y_(i)^(2)]:}\begin{aligned} & \left(f \circ \varphi^{-1}\right)\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\left(f \circ \widehat{\varphi}^{-1}\right)\left(\psi^{-1}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) \\ = & f(p)+\boldsymbol{y}\left(a_{i}^{j}\left(q\left(\psi^{-1}(\boldsymbol{y})\right)\right)\right)\left(\left(\frac{\partial^{2}\left(f \circ \hat{\varphi}^{-1}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right)_{q(\boldsymbol{x})}\right){ }^{t}\left(a_{i}^{j}\left(q\left(\psi^{-1}(\boldsymbol{y})\right)\right)\right)^{t} \boldsymbol{y} \\ = & f(p)-\sum_{i=1}^{k} y_{i}^{2}+\sum_{i=k+1}^{n} y_{i}^{2} \end{aligned}(f∘φ−1)(y1,…,yn)=(f∘φ^−1)(ψ−1(y1,…,yn))=f(p)+y(aij(q(ψ−1(y))))((∂2(f∘φ^−1)∂xi∂xj)q(x))t(aij(q(ψ−1(y))))ty=f(p)−∑i=1kyi2+∑i=k+1nyi2
が導かれる. ここで, y y y\boldsymbol{y}y は ( y 1 , … , y n ) y 1 , … , y n (y_(1),dots,y_(n))\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)(y1,…,yn) を表す.したがって, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) がまさし く求めるべき p p ppp のまわりの局所チャートである.
次に，位相幾何学における変位レトラクトの概念を定義しておく. X , Y X , Y X,YX, YX,Y を 位相空間とし, f 0 , f 1 f 0 , f 1 f_(0),f_(1)f_{0}, f_{1}f0,f1 を X X XXX から Y Y YYY への連続写像とする。 X X XXX と閉区間 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] の 積位相空間 X × [ 0 , 1 ] X × [ 0 , 1 ] X xx[0,1]X \times[0,1]X×[0,1] から Y Y YYY への連続写像 F F FFF で, F ( p , 0 ) = f 0 ( p ) , F ( p , 1 ) = F ( p , 0 ) = f 0 ( p ) , F ( p , 1 ) = F(p,0)=f_(0)(p),quad F(p,1)=F(p, 0)=f_{0}(p), \quad F(p, 1)=F(p,0)=f0(p),F(p,1)= f 1 ( p ) ( p ∈ X ) f 1 ( p ) ( p ∈ X ) f_(1)(p)(p in X)f_{1}(p)(p \in X)f1(p)(p∈X) を満たすようなものが存在するとき, f 0 f 0 f_(0)f_{0}f0 と f 1 f 1 f_(1)f_{1}f1 はホモトープ (homotop) であるといい, f 0 ∼ f 1 f 0 ∼ f 1 f_(0)∼f_(1)f_{0} \sim f_{1}f0∼f1 と表す. また, F F FFF は f 0 f 0 f_(0)f_{0}f0 から f 1 f 1 f_(1)f_{1}f1 へのホモ トピー（homotopy）とよばれる。 X X XXX から Y Y YYY への連続写像 f f fff と Y Y YYY から X X XXX への連続写像 f ^ f ^ hat(f)\hat{f}f^ で, f ^ ∘ f ∼ id X , f ∘ f ^ ∼ id Y f ^ ∘ f ∼ id X , f ∘ f ^ ∼ id Y hat(f)@f∼id_(X),f@ hat(f)∼id_(Y)\hat{f} \circ f \sim \mathrm{id}_{X}, f \circ \hat{f} \sim \operatorname{id}_{Y}f^∘f∼idX,f∘f^∼idY となるようなものが存在 するとき, X X XXX と Y Y YYY はモトピー同値（homotopy equivalent）であるとい い, X ≃ Y X ≃ Y X≃YX \simeq YX≃Y と表す. また, f , f ^ f , f ^ f, widehat(f)f, \widehat{f}f,f^ をホトピー同値写像（homotopy equivalence）という。 A A AAA を X X XXX の部分集合とし， ι A ： A ↪ X ι A ： A ↪ X iota_(A)：A↪X\iota_{A} ： A \hookrightarrow XιA：A↪X を包含写像とする. X X XXX から A A AAA への連続全射 R R R\mathcal{R}R で, R | A = id A R A = id A R|_(A)=id_(A)\left.\mathcal{R}\right|_{A}=\mathrm{id}_{A}R|A=idA となり, かつ, ι A ∘ R ι A ∘ R iota_(A)@R\iota_{A} \circ \mathcal{R}ιA∘R が id X id X id_(X)\mathrm{id}_{X}idX とホ モトープであるようなものが存在するとき, A A AAA モ X X XXX の変位レトラクト（deformation retract）といい, Rを X X XXX から A A AAA への変位レトラクション（deformation retraction) という. このとき, R ∘ ι A = id A R ∘ ι A = id A R@iota_(A)=id_(A)\mathcal{R} \circ \iota_{A}=\operatorname{id}_{A}R∘ιA=idA なので, X X XXX と A A AAA はホモトピー同値になる.
f f fff を M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数とする. 各 a ∈ R a ∈ R a inRa \in \mathbb{R}a∈R に対し,
M f , a := { p ∈ M ∣ f ( p ) ≤ a } M f , a := { p ∈ M ∣ f ( p ) ≤ a } M_(f,a):={p in M∣f(p) <= a}M_{f, a}:=\{p \in M \mid f(p) \leq a\}Mf,a:={p∈M∣f(p)≤a}
とおく。次の補題を準備しておこう.
命題 5.3.2 f − 1 ( [ a , b ] ) f − 1 ( [ a , b ] ) f^(-1)([a,b])f^{-1}([a, b])f−1([a,b]) はコンパクトであり, f − 1 ( [ a , b ] ) f − 1 ( [ a , b ] ) f^(-1)([a,b])f^{-1}([a, b])f−1([a,b]) 上に f f fff の臨界点は 存在しないとする.
このとき, M f , a M f , a M_(f,a)M_{f, a}Mf,a は M f , b M f , b M_(f,b)M_{f, b}Mf,b の変位レトラクトである.
証明 補助的に, M M MMM の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン計量 g g ggg をとる. f − 1 ( [ a , b ] ) f − 1 ( [ a , b ] ) f^(-1)([a,b])f^{-1}([a, b])f−1([a,b]) はコンパク トであり, f − 1 ( [ a , b ] ) f − 1 ( [ a , b ] ) f^(-1)([a,b])f^{-1}([a, b])f−1([a,b]) 上に f f fff の臨界点が存在しないので, ある十分小さな正 の数 ε ε epsi\varepsilonε に対し, grad f | f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) grad f f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) grad f|_(f^(-1)([a-epsi,b+epsi]))\left.\operatorname{grad} f\right|_{f^{-1}([a-\varepsilon, b+\varepsilon])}gradf|f−1([a−ε,b+ε]) は零点をもたない. f f fff の g g ggg に関する勾配 ベクトル場 grad f grad f grad f\operatorname{grad} fgradf の f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) f^(-1)([a-epsi,b+epsi])f^{-1}([a-\varepsilon, b+\varepsilon])f−1([a−ε,b+ε]) への制限 grad f | f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) grad f f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) grad f|_(f^(-1)([a-epsi,b+epsi]))\left.\operatorname{grad} f\right|_{f^{-1}([a-\varepsilon, b+\varepsilon])}gradf|f−1([a−ε,b+ε]) を考え る. grad f | f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) grad f f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) grad f|_(f^(-1)([a-epsi,b+epsi]))\left.\operatorname{grad} f\right|_{f^{-1}([a-\varepsilon, b+\varepsilon])}gradf|f−1([a−ε,b+ε]) を各点で単位化することにより, f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) f − 1 ( [ a − ε , b + ε ] ) f^(-1)([a-epsi,b+epsi])f^{-1}([a-\varepsilon, b+\varepsilon])f−1([a−ε,b+ε])上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ (単位) ベクトル場がえられる。その単位ベクトル場の ( − 1 ) ( − 1 ) (-1)(-1)(−1) 倍を X X X\boldsymbol{X}X で表し，それに付随する局所 1 パラメーター変換群を { ϕ t ∣ t ∈ I } ϕ t ∣ t ∈ I {phi_(t)∣t in I}\left\{\phi_{t} \mid t \in I\right\}{ϕt∣t∈I} とす
る. f − 1 ( [ a , b ] ) f − 1 ( [ a , b ] ) f^(-1)([a,b])f^{-1}([a, b])f−1([a,b]) がコンパクトであることから， X X X\boldsymbol{X}X の各積分曲線は, f − 1 ( b + ε ) f − 1 ( b + ε ) f^(-1)(b+epsi)f^{-1}(b+\varepsilon)f−1(b+ε)上の点を発し, f − 1 ( a − ε ) f − 1 ( a − ε ) f^(-1)(a-epsi)f^{-1}(a-\varepsilon)f−1(a−ε) 上の点に到達することがわかる. この事実から, I = [ a − b − 2 ε , b − a + 2 ε ] I = [ a − b − 2 ε , b − a + 2 ε ] I=[a-b-2epsi,b-a+2epsi]I=[a-b-2 \varepsilon, b-a+2 \varepsilon]I=[a−b−2ε,b−a+2ε] であることが導かれる. 写像 R : M f , b → M f , a R : M f , b → M f , a R:M_(f,b)rarrM_(f,a)\mathcal{R}: M_{f, b} \rightarrow M_{f, a}R:Mf,b→Mf,a を
R ( p ) := { p ( p ∈ M f , a ) ϕ f ( p ) − a ( p ) ( p ∈ M f , b ∖ M f , a ) R ( p ) := p      p ∈ M f , a ϕ f ( p ) − a ( p )      p ∈ M f , b ∖ M f , a R(p):={[p,(p inM_(f,a))],[phi_(f(p)-a)(p),(p inM_(f,b)\\M_(f,a))]:}\mathcal{R}(p):= \begin{cases}p & \left(p \in M_{f, a}\right) \\ \phi_{f(p)-a}(p) & \left(p \in M_{f, b} \backslash M_{f, a}\right)\end{cases}R(p):={p(p∈Mf,a)ϕf(p)−a(p)(p∈Mf,b∖Mf,a)
によって定義する。明らかに, R R R\mathcal{R}R は M f , b M f , b M_(f,b)M_{f, b}Mf,b から M f , a M f , a M_(f,a)M_{f, a}Mf,a への変位レトラクション
F ( p , t ) := { p ( ( p , t ) ∈ M f , a × [ 0 , 1 ] ) ϕ t ( f ( p ) − a ) ( p ) ( ( p , t ) ∈ ( M f , b ∖ M f , a ) × [ 0 , 1 ] ) F ( p , t ) := p      ( p , t ) ∈ M f , a × [ 0 , 1 ] ϕ t ( f ( p ) − a ) ( p )      ( p , t ) ∈ M f , b ∖ M f , a × [ 0 , 1 ] F(p,t):={[p,((p,t)inM_(f,a)xx[0,1])],[phi_(t(f(p)-a))(p),((p,t)in(M_(f,b)\\M_(f,a))xx[0,1])]:}F(p, t):= \begin{cases}p & \left((p, t) \in M_{f, a} \times[0,1]\right) \\ \phi_{t(f(p)-a)}(p) & \left((p, t) \in\left(M_{f, b} \backslash M_{f, a}\right) \times[0,1]\right)\end{cases}F(p,t):={p((p,t)∈Mf,a×[0,1])ϕt(f(p)−a)(p)((p,t)∈(Mf,b∖Mf,a)×[0,1])
により与えられる. したがって, M f , a M f , a M_(f,a)M_{f, a}Mf,a は M f , b M f , b M_(f,b)M_{f, b}Mf,b の変位レトラクトである.
位相空間 X X XXX の部分集合 A A AAA から位相空間 Y Y YYY への連続写像 η η eta\etaη に対し, 直和位相空間 X ⨿ Y X ⨿ Y X⨿YX \amalg YX⨿Y における同値関係〜を
p ∼ q ⟺ def { p = q または p ∈ A かつ q ∈ A かつ η ( p ) = η ( q ) または p ∈ A かつ q ∈ Y かつ q = η ( p ) または q ∈ A かつ p ∈ Y かつ p = η ( q ) p ∼ q ⟺  def  p = q  または  p ∈ A  かつ  q ∈ A  かつ  η ( p ) = η ( q )  または  p ∈ A  かつ  q ∈ Y  かつ  q = η ( p )  または  q ∈ A  かつ  p ∈ Y  かつ  p = η ( q ) p∼qLongleftrightarrow_(" def "){[p=q],[" または "],[p in A" かつ "q in A" かつ "eta(p)=eta(q)],[" または "],[p in A" かつ "q in Y" かつ "q=eta(p)],[" または "],[q in A" かつ "p in Y" かつ "p=eta(q)]:}p \sim q \underset{\text { def }}{\Longleftrightarrow}\left\{\begin{array}{l} p=q \\ \text { または } \\ p \in A \text { かつ } q \in A \text { かつ } \eta(p)=\eta(q) \\ \text { または } \\ p \in A \text { かつ } q \in Y \text { かつ } q=\eta(p) \\ \text { または } \\ q \in A \text { かつ } p \in Y \text { かつ } p=\eta(q) \end{array}\right.p∼q⟺ def {p=q または p∈A かつ q∈A かつ η(p)=η(q) または p∈A かつ q∈Y かつ q=η(p) または q∈A かつ p∈Y かつ p=η(q)
によって定義する。この同値関係〜に関する商位相空間 ( X ⨿ Y ) / ∼ ( X ⨿ Y ) / ∼ (X⨿Y)//∼(X \amalg Y) / \sim(X⨿Y)/∼ を Y ∪ η Y ∪ η Yuu_(eta)Y \cup_{\eta}Y∪η X X XXX と表し, η η eta\boldsymbol{\eta}η により X X XXX を Y Y YYY に接着してえられる空間 (the space attached X X X\boldsymbol{X}X to Y Y Y\boldsymbol{Y}Y by η η eta\boldsymbol{\eta}η ) という.
例 5.3 .1
D 2 := { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ∣ x 1 2 + x 2 2 ≤ 1 } ∂ D 2 := S 1 ( 1 ) = { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ∣ x 1 2 + x 2 2 = 1 } ( ⊂ D 2 ) D 2 := x 1 , x 2 ∈ R 2 ∣ x 1 2 + x 2 2 ≤ 1 ∂ D 2 := S 1 ( 1 ) = x 1 , x 2 ∈ R 2 ∣ x 1 2 + x 2 2 = 1 ⊂ D 2 {:[D^(2):={(x_(1),x_(2))inR^(2)∣x_(1)^(2)+x_(2)^(2) <= 1}],[delD^(2):=S^(1)(1)={(x_(1),x_(2))inR^(2)∣x_(1)^(2)+x_(2)^(2)=1}(subD^(2))]:}\begin{aligned} & D^{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1\right\} \\ & \partial D^{2}:=S^{1}(1)=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}\left(\subset D^{2}\right) \end{aligned}D2:={(x1,x2)∈R2∣x12+x22≤1}∂D2:=S1(1)={(x1,x2)∈R2∣x12+x22=1}(⊂D2)
R 2 ∪ η 1 D 2 R 2 ∪ η 1 D 2 R^(2)uu_(eta_(1))D^(2)\mathbb{R}^{2} \cup_{\eta_{1}} D^{2}R2∪η1D2
R 2 ∪ η 2 D 2 R 2 ∪ η 2 D 2 R^(2)uu_(eta_(2))D^(2)\mathbb{R}^{2} \cup_{\eta_{2}} D^{2}R2∪η2D2
図 5.3.1 接着空間
とし, 連続写像 η i : ∂ D 2 → R 2 ( i = 1 , 2 ) η i : ∂ D 2 → R 2 ( i = 1 , 2 ) eta_(i):delD^(2)rarrR^(2)(i=1,2)\eta_{i}: \partial D^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(i=1,2)ηi:∂D2→R2(i=1,2) を各々,
η 1 ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 , x 2 ) ( ( x 1 , x 2 ) ∈ ∂ D 2 ) η 2 ( x 1 , x 2 ) = ( 0 , 0 ) ( ( x 1 , x 2 ) ∈ ∂ D 2 ) η 1 x 1 , x 2 = x 1 , x 2 x 1 , x 2 ∈ ∂ D 2 η 2 x 1 , x 2 = ( 0 , 0 ) x 1 , x 2 ∈ ∂ D 2 {:[eta_(1)(x_(1),x_(2))=(x_(1),x_(2))quad((x_(1),x_(2))in delD^(2))],[eta_(2)(x_(1),x_(2))=(0","0)quad((x_(1),x_(2))in delD^(2))]:}\begin{aligned} & \eta_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}, x_{2}\right) \quad\left(\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \partial D^{2}\right) \\ & \eta_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \quad\left(\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \partial D^{2}\right) \end{aligned}η1(x1,x2)=(x1,x2)((x1,x2)∈∂D2)η2(x1,x2)=(0,0)((x1,x2)∈∂D2)
によって定義する。 このとき, 接着空間 R 2 ∪ η i D 2 ( i = 1 , 2 ) R 2 ∪ η i D 2 ( i = 1 , 2 ) R^(2)uu_(eta_(i))D^(2)(i=1,2)\mathbb{R}^{2} \cup_{\eta_{i}} D^{2}(i=1,2)R2∪ηiD2(i=1,2) は, 図 5.3.1 の ようになる。また, 連続写像 η ^ k : ∂ D 2 → S 1 ( 1 ) ( k ∈ N ) η ^ k : ∂ D 2 → S 1 ( 1 ) ( k ∈ N ) widehat(eta)_(k):delD^(2)rarrS^(1)(1)(k inN)\widehat{\eta}_{k}: \partial D^{2} \rightarrow S^{1}(1)(k \in \mathbb{N})η^k:∂D2→S1(1)(k∈N) を,
η ^ k ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) = ( cos ⁡ k θ , sin ⁡ k θ ) ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) ) η ^ k ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) = ( cos ⁡ k θ , sin ⁡ k θ ) ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) ) widehat(eta)_(k)(cos theta,sin theta)=(cos k theta,sin k theta)quad(theta in[0,2pi))\widehat{\eta}_{k}(\cos \theta, \sin \theta)=(\cos k \theta, \sin k \theta) \quad(\theta \in[0,2 \pi))η^k(cos⁡θ,sin⁡θ)=(cos⁡kθ,sin⁡kθ)(θ∈[0,2π))
と定義する. このとき, 接着空間 S 1 ( 1 ) ∪ η ^ k D 2 S 1 ( 1 ) ∪ η ^ k D 2 S^(1)(1)uu_( hat(eta)_(k))D^(2)S^{1}(1) \cup_{\hat{\eta}_{k}} D^{2}S1(1)∪η^kD2 の 1 次の特異ホモロジー群は, k k kkk 次巡回群 Z k Z k Z_(k)\mathbb{Z}_{k}Zk に同型になる。特に, S 1 ( 1 ) ∪ η ^ 2 D 2 S 1 ( 1 ) ∪ η ^ 2 D 2 S^(1)(1)uu_( widehat(eta)_(2))D^(2)S^{1}(1) \cup_{\widehat{\eta}_{2}} D^{2}S1(1)∪η^2D2 は, 2 次元実射影空間 R P 2 R P 2 RP^(2)\mathbb{R} P^{2}RP2 に同相になる。
η η eta\etaη を, D k D k D^(k)D^{k}Dk の境界 ∂ D k ∂ D k delD^(k)\partial D^{k}∂Dk から位相空間 Y Y YYY への連続写像とするとき, 接着空間 Y ∪ η D k Y ∪ η D k Yuu_(eta)D^(k)Y \cup_{\eta} D^{k}Y∪ηDk を Y Y Y\boldsymbol{Y}Y に k k k\boldsymbol{k}k 胞体を接着してえられる空間（the space attached a k k k\boldsymbol{k}k-cell to Y Y Y\boldsymbol{Y}Y by η η eta\boldsymbol{\eta}η ) という.
次に, モース関数を定義しよう。 f f fff を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体 M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数とする. f f fff の臨界点がすべて非退化であるとき, f f fff をモース関数（Morse function） という.
次の補題を準備しておく.
命題 5.3.3 p p ppp を f f fff の指数 k k kkk の非退化臨界点とし, ε ε epsi\varepsilonε を正の数とする. 次の 2 条件が成り立つとする.
(i) f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) quadf^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])\quad f^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f−1([f(p)−ε,f(p)+ε]) はコンパクトである；
(ii) f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])f^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f−1([f(p)−ε,f(p)+ε]) 上には, p p ppp 以外に f f fff の臨界点は存在しない.
このとき, M f , f ( p ) + ε M f , f ( p ) + ε M_(f,f(p)+epsi)M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf,f(p)+ε は M f , f ( p ) − ε M f , f ( p ) − ε M_(f,f(p)-epsi)M_{f, f(p)-\varepsilon}Mf,f(p)−ε に k k kkk 胞体を接着してえられる空間とホモト ピー同値である.
証明 モースの補題（補題 5.3.1）により, p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ ( U , φ (U,varphi(U, \varphi(U,φ = ( x 1 , … , x n ) ) = x 1 , … , x n {:=(x_(1),dots,x_(n)))\left.=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)=(x1,…,xn)) で, φ ( p ) = ( 0 , … , 0 ) φ ( p ) = ( 0 , … , 0 ) varphi(p)=(0,dots,0)\varphi(p)=(0, \ldots, 0)φ(p)=(0,…,0) となり, かつ
( f ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , x n ) = f ( p ) − ∑ i = 1 k x i 2 + ∑ i = k + 1 n x i 2 ( ( x 1 , … , x n ) ∈ φ ( U ) ) f ∘ φ − 1 x 1 , … , x n = f ( p ) − ∑ i = 1 k   x i 2 + ∑ i = k + 1 n   x i 2 x 1 , … , x n ∈ φ ( U ) (f@varphi^(-1))(x_(1),dots,x_(n))=f(p)-sum_(i=1)^(k)x_(i)^(2)+sum_(i=k+1)^(n)x_(i)^(2)quad((x_(1),dots,x_(n))in varphi(U))\left(f \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f(p)-\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}+\sum_{i=k+1}^{n} x_{i}^{2} \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \varphi(U)\right)(f∘φ−1)(x1,…,xn)=f(p)−∑i=1kxi2+∑i=k+1nxi2((x1,…,xn)∈φ(U))
となるようなものが存在する. D n ( 2 ε ) ⊂ φ ( U ) D n ( 2 ε ) ⊂ φ ( U ) D^(n)(sqrt(2epsi))sub varphi(U)D^{n}(\sqrt{2 \varepsilon}) \subset \varphi(U)Dn(2ε)⊂φ(U) となるような十分小さな正 の数 ε ε epsi\varepsilonε をとる. ρ ρ rho\rhoρ を R R R\mathbb{R}R 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級関数で
ρ ( t ) = 0 ( t ≥ 2 ε ) , ρ ( 0 ) > ε , − 1 < ρ ′ ( t ) ≤ 0 ( t ∈ R ) ρ ( t ) = 0 ( t ≥ 2 ε ) , ρ ( 0 ) > ε , − 1 < ρ ′ ( t ) ≤ 0 ( t ∈ R ) rho(t)=0quad(t >= 2epsi),quad rho(0) > epsi,quad-1 < rho^(')(t) <= 0quad(t inR)\rho(t)=0 \quad(t \geq 2 \varepsilon), \quad \rho(0)>\varepsilon, \quad-1<\rho^{\prime}(t) \leq 0 \quad(t \in \mathbb{R})ρ(t)=0(t≥2ε),ρ(0)>ε,−1<ρ′(t)≤0(t∈R)
を満たすようなものとし, M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級関数 f ^ f ^ widehat(f)\widehat{f}f^ を
f ^ ( q ) = { f ( q ) − ρ ( ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 + 2 ∑ i = k + 1 n x i ( q ) 2 ) ( q ∈ U ) f ( q ) ( q ∈ M ∖ U ) f ^ ( q ) = f ( q ) − ρ ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 + 2 ∑ i = k + 1 n   x i ( q ) 2      ( q ∈ U ) f ( q )      ( q ∈ M ∖ U ) widehat(f)(q)={[f(q)-rho(sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2)+2sum_(i=k+1)^(n)x_(i)(q)^(2)),(q in U)],[f(q),(q in M\\U)]:}\widehat{f}(q)= \begin{cases}f(q)-\rho\left(\sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2}+2 \sum_{i=k+1}^{n} x_{i}(q)^{2}\right) & (q \in U) \\ f(q) & (q \in M \backslash U)\end{cases}f^(q)={f(q)−ρ(∑i=1kxi(q)2+2∑i=k+1nxi(q)2)(q∈U)f(q)(q∈M∖U)
によって定める. M f ^ , a := f ^ − 1 ( ( − ∞ , a ] ) ( a ∈ R ) M f ^ , a := f ^ − 1 ( ( − ∞ , a ] ) ( a ∈ R ) M_( widehat(f),a):= widehat(f)^(-1)((-oo,a])quad(a inR)M_{\widehat{f}, a}:=\widehat{f}^{-1}((-\infty, a]) \quad(a \in \mathbb{R})Mf^,a:=f^−1((−∞,a])(a∈R) とおき,
H := M f ^ , f ( p ) − ε ∖ M f , f ( p ) − ε e k := { q ∈ U ∣ ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 ≤ ε , x i ( q ) = 0 ( i = k + 1 , … , n ) } H := M f ^ , f ( p ) − ε ∖ M f , f ( p ) − ε e k := q ∈ U ∣ ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 ≤ ε , x i ( q ) = 0 ( i = k + 1 , … , n ) {:[H:=M_( widehat(f),f(p)-epsi)\\M_(f,f(p)-epsi)],[e^(k):={q in U∣sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2) <= epsi,quadx_(i)(q)=0quad(i=k+1,dots,n)}]:}\begin{aligned} H & :=M_{\widehat{f}, f(p)-\varepsilon} \backslash M_{f, f(p)-\varepsilon} \\ e^{k} & :=\left\{q \in U \mid \sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2} \leq \varepsilon, \quad x_{i}(q)=0 \quad(i=k+1, \ldots, n)\right\} \end{aligned}H:=Mf^,f(p)−ε∖Mf,f(p)−εek:={q∈U∣∑i=1kxi(q)2≤ε,xi(q)=0(i=k+1,…,n)}
とおく（図 5.3 .2 を参照）.
以下, 次の 4 つの事実が成り立つことを示そう：
(I) M f ^ , f ( p ) + ε = M f , f ( p ) + ε M f ^ , f ( p ) + ε = M f , f ( p ) + ε quadM_( widehat(f),f(p)+epsi)=M_(f,f(p)+epsi)\quad M_{\widehat{f}, f(p)+\varepsilon}=M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf^,f(p)+ε=Mf,f(p)+ε;
（II） f ^ f ^ widehat(f)\widehat{f}f^ の臨界点の全体と f f fff の臨界点の全体は一致する；
(III) M f ^ , f ( p ) − ε M f ^ , f ( p ) − ε M_( widehat(f),f(p)-epsi)M_{\widehat{f}, f(p)-\varepsilon}Mf^,f(p)−ε は, M f , f ( p ) + ε M f , f ( p ) + ε M_(f,f(p)+epsi)M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf,f(p)+ε の変位レトラクトである；
(IV) M f , f ( p ) − ε ∪ e k M f , f ( p ) − ε ∪ e k M_(f,f(p)-epsi)uue^(k)M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}Mf,f(p)−ε∪ek は M f ^ , f ( p ) − ε M f ^ , f ( p ) − ε M_( widehat(f),f(p)-epsi)M_{\widehat{f}, f(p)-\varepsilon}Mf^,f(p)−ε の変位レトラクトである.
まず, (I) を示そう.
点線で書かれた斜線部はハンドル H H HHH を表す.
実線で書かれた斜線部は, M f , f ( p ) − ε ∩ φ − 1 ( D n ( 2 ε ) ) M f , f ( p ) − ε ∩ φ − 1 D n ( 2 ε ) M_(f,f(p)-epsi)nnvarphi^(-1)(D^(n)(sqrt(2epsi)))M_{f, f(p)-\varepsilon} \cap \varphi^{-1}\left(D^{n}(\sqrt{2 \varepsilon})\right)Mf,f(p)−ε∩φ−1(Dn(2ε)) を表す.
図 5.3.2臨界点を通るハンドルと胞体
W 2 ε := { q ∈ U ∣ ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 + 2 ∑ i = k + 1 n x i ( q ) 2 ≤ 2 ε } W 2 ε := q ∈ U ∣ ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 + 2 ∑ i = k + 1 n   x i ( q ) 2 ≤ 2 ε W_(2epsi):={q in U∣sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2)+2sum_(i=k+1)^(n)x_(i)(q)^(2) <= 2epsi}W_{2 \varepsilon}:=\left\{q \in U \mid \sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2}+2 \sum_{i=k+1}^{n} x_{i}(q)^{2} \leq 2 \varepsilon\right\}W2ε:={q∈U∣∑i=1kxi(q)2+2∑i=k+1nxi(q)2≤2ε}
とおく. M ∖ W 2 ε M ∖ W 2 ε M\\W_(2epsi)M \backslash W_{2 \varepsilon}M∖W2ε 上で f = f ^ f = f ^ f= widehat(f)f=\widehat{f}f=f^ であり, かつ, W 2 ε W 2 ε W_(2epsi)W_{2 \varepsilon}W2ε 上で f ^ ≤ f ≤ f ( p ) + ε f ^ ≤ f ≤ f ( p ) + ε widehat(f) <= f <= f(p)+epsi\widehat{f} \leq f \leq f(p)+\varepsilonf^≤f≤f(p)+ε なの で, M f , f ( p ) + ε = M f ^ , f ( p ) + ε M f , f ( p ) + ε = M f ^ , f ( p ) + ε M_(f,f(p)+epsi)=M_( widehat(f),f(p)+epsi)M_{f, f(p)+\varepsilon}=M_{\widehat{f}, f(p)+\varepsilon}Mf,f(p)+ε=Mf^,f(p)+ε が成り立つことがわかる.
次に, (II) を示そう.
∂ ( f ^ ∘ φ − 1 ) ∂ x i = { − 2 x i ( 1 + ρ ′ ( ∑ i = 1 k x i 2 + 2 ∑ i = k + 1 n x i 2 ) ) ( 1 ≤ i ≤ k ) 2 x i ( 1 − 2 ρ ′ ( ∑ i = 1 k x i 2 + 2 ∑ i = k + 1 n x i 2 ) ) ( k + 1 ≤ i ≤ n ) ∂ f ^ ∘ φ − 1 ∂ x i = − 2 x i 1 + ρ ′ ∑ i = 1 k   x i 2 + 2 ∑ i = k + 1 n   x i 2      ( 1 ≤ i ≤ k ) 2 x i 1 − 2 ρ ′ ∑ i = 1 k   x i 2 + 2 ∑ i = k + 1 n   x i 2      ( k + 1 ≤ i ≤ n ) (del(( widehat(f))@varphi^(-1)))/(delx_(i))={[-2x_(i)(1+rho^(')(sum_(i=1)^(k)x_(i)^(2)+2sum_(i=k+1)^(n)x_(i)^(2))),(1 <= i <= k)],[2x_(i)(1-2rho^(')(sum_(i=1)^(k)x_(i)^(2)+2sum_(i=k+1)^(n)x_(i)^(2))),(k+1 <= i <= n)]:}\frac{\partial\left(\widehat{f} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}}= \begin{cases}-2 x_{i}\left(1+\rho^{\prime}\left(\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}+2 \sum_{i=k+1}^{n} x_{i}^{2}\right)\right) & (1 \leq i \leq k) \\ 2 x_{i}\left(1-2 \rho^{\prime}\left(\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}+2 \sum_{i=k+1}^{n} x_{i}^{2}\right)\right) & (k+1 \leq i \leq n)\end{cases}∂(f^∘φ−1)∂xi={−2xi(1+ρ′(∑i=1kxi2+2∑i=k+1nxi2))(1≤i≤k)2xi(1−2ρ′(∑i=1kxi2+2∑i=k+1nxi2))(k+1≤i≤n)
となるので, − 1 < ρ ′ ≤ 0 − 1 < ρ ′ ≤ 0 -1 < rho^(') <= 0-1<\rho^{\prime} \leq 0−1<ρ′≤0 から, f ^ ∘ φ − 1 f ^ ∘ φ − 1 widehat(f)@varphi^(-1)\widehat{f} \circ \varphi^{-1}f^∘φ−1 の臨界点が ( 0 , … , 0 ) ( 0 , … , 0 ) (0,dots,0)(0, \ldots, 0)(0,…,0) のみであるこ とがわかる. それゆえ, f ^ f ^ widehat(f)\widehat{f}f^ の U U UUU 上での臨界点は p p ppp のみである. 一方, f f fff の U U UUU上での臨界点も p p ppp のみである。このように, f f fff と f ^ f ^ widehat(f)\widehat{f}f^ の上での臨界点は, 共 に p p ppp のみである. この事実と M ∖ U M ∖ U M\\UM \backslash UM∖U 上で f ^ = f f ^ = f widehat(f)=f\widehat{f}=ff^=f が成り立つことから， f ^ f ^ widehat(f)\widehat{f}f^ の臨界点の全体が f f fff の臨界点の全体と一致することがわかる.
実線で書かれた斜線部は φ ( H c ) φ H c varphi(H_(c))\varphi\left(H_{c}\right)φ(Hc) を表す.
点線で書かれた斜線部は φ ( H e ) φ H e varphi(H_(e))\varphi\left(H_{e}\right)φ(He) を表す.
図 5.3.3 H H HHH の主要部と端
次に, (III) を示そう. 事実 (I) によれば, M f ^ , f ( p ) + ε = M f , f ( p ) + ε M f ^ , f ( p ) + ε = M f , f ( p ) + ε M_( widehat(f),f(p)+epsi)=M_(f,f(p)+epsi)M_{\widehat{f}, f(p)+\varepsilon}=M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf^,f(p)+ε=Mf,f(p)+ε が成り立 つ. この事実と f ^ ≤ f f ^ ≤ f widehat(f) <= f\widehat{f} \leq ff^≤f から,
f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) ⊂ f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) ⊂ f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) widehat(f)^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])subf^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])\widehat{f}^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon]) \subset f^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f^−1([f(p)−ε,f(p)+ε])⊂f−1([f(p)−ε,f(p)+ε])
が導かれる。一方, 仮定により f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])f^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f−1([f(p)−ε,f(p)+ε]) はコンパクトであり, f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) widehat(f)^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])\widehat{f}^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f^−1([f(p)−ε,f(p)+ε]) はその閉部分集合なので, f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) widehat(f)^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])\widehat{f}^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f^−1([f(p)−ε,f(p)+ε]) はコンパクトになる. 一方, f ^ ( p ) = f ( p ) − ρ ( 0 ) < f ( p ) − ε f ^ ( p ) = f ( p ) − ρ ( 0 ) < f ( p ) − ε widehat(f)(p)=f(p)-rho(0) < f(p)-epsi\widehat{f}(p)=f(p)-\rho(0)<f(p)-\varepsilonf^(p)=f(p)−ρ(0)<f(p)−ε なので, p p ppp は f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) widehat(f)^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])\widehat{f}^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f^−1([f(p)−ε,f(p)+ε]) に属さない. この事実から, f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) f ^ − 1 ( [ f ( p ) − ε , f ( p ) + ε ] ) widehat(f)^(-1)([f(p)-epsi,f(p)+epsi])\widehat{f}^{-1}([f(p)-\varepsilon, f(p)+\varepsilon])f^−1([f(p)−ε,f(p)+ε])上に f ^ f ^ widehat(f)\widehat{f}f^ の臨界点が存在しないことが導かれる。したがって補題5.3.2により, M f ^ , f ( p ) − ε M f ^ , f ( p ) − ε M_( widehat(f),f(p)-epsi)M_{\widehat{f}, f(p)-\varepsilon}Mf^,f(p)−ε が M f ^ , f ( p ) + ε = M f , f ( p ) + ε M f ^ , f ( p ) + ε = M f , f ( p ) + ε M_( widehat(f),f(p)+epsi)=M_(f,f(p)+epsi)M_{\widehat{f}, f(p)+\varepsilon}=M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf^,f(p)+ε=Mf,f(p)+ε の変位レトラクトであることがわかる.
次に, (IV) を示そう. 最初に, M f ^ , f ( p ) − ε = M f , f ( p ) − ε ∪ H M f ^ , f ( p ) − ε = M f , f ( p ) − ε ∪ H M_( widehat(f),f(p)-epsi)=M_(f,f(p)-epsi)uu HM_{\widehat{f}, f(p)-\varepsilon}=M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup HMf^,f(p)−ε=Mf,f(p)−ε∪H であることを注意しておく。
H c := { q ∈ H ∣ ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 ≤ ε } H e := { q ∈ H ∣ ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 ≥ ε } H c := q ∈ H ∣ ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 ≤ ε H e := q ∈ H ∣ ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 ≥ ε {:[H_(c):={q in H∣sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2) <= epsi}],[H_(e):={q in H∣sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2) >= epsi}]:}\begin{aligned} & H_{c}:=\left\{q \in H \mid \sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2} \leq \varepsilon\right\} \\ & H_{e}:=\left\{q \in H \mid \sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2} \geq \varepsilon\right\} \end{aligned}Hc:={q∈H∣∑i=1kxi(q)2≤ε}He:={q∈H∣∑i=1kxi(q)2≥ε}
とおく（図 5.3.3 を参照）. F c : H c × [ 0 , 1 ] → H c F c : H c × [ 0 , 1 ] → H c F^(c):H_(c)xx[0,1]rarrH_(c)F^{c}: H_{c} \times[0,1] \rightarrow H_{c}Fc:Hc×[0,1]→Hc を
F c ( q , t ) := φ − 1 ( x 1 ( q ) , … , x k ( q ) , ( 1 − t ) x k + 1 ( q ) , … , ( 1 − t ) x n ( q ) ) ( ( q , t ) ∈ H c × [ 0 , 1 ] ) F c ( q , t ) := φ − 1 x 1 ( q ) , … , x k ( q ) , ( 1 − t ) x k + 1 ( q ) , … , ( 1 − t ) x n ( q ) ( q , t ) ∈ H c × [ 0 , 1 ] {:[F^(c)(q","t):=varphi^(-1)(x_(1)(q),dots,x_(k)(q),(1-t)x_(k+1)(q),dots,(1-t)x_(n)(q))],[((q,t)inH_(c)xx[0,1])]:}\begin{array}{r} F^{c}(q, t):=\varphi^{-1}\left(x_{1}(q), \ldots, x_{k}(q),(1-t) x_{k+1}(q), \ldots,(1-t) x_{n}(q)\right) \\ \left((q, t) \in H_{c} \times[0,1]\right) \end{array}Fc(q,t):=φ−1(x1(q),…,xk(q),(1−t)xk+1(q),…,(1−t)xn(q))((q,t)∈Hc×[0,1])
図 5.3.4 ハンドル H H HHH から k k kkk 胞体 e k e k e^(k)e^{k}ek への変位レトラクション
によって定義し, F e : H e × [ 0 , 1 ] → H e F e : H e × [ 0 , 1 ] → H e F^(e):H_(e)xx[0,1]rarrH_(e)F^{e}: H_{e} \times[0,1] \rightarrow H_{e}Fe:He×[0,1]→He を
F e ( q , t ) := φ − 1 ( ( ( 1 − t ) + ε t ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 ) 1 / 2 x 1 ( q ) , … , ( ( 1 − t ) + ε t ∑ i = 1 k x i ( q ) 2 ) 1 / 2 x k ( q ) , ( 1 − t ) x k + 1 ( q ) , … , ( 1 − t ) x n ( q ) ) F e ( q , t ) := φ − 1 ( 1 − t ) + ε t ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 1 / 2 x 1 ( q ) , … , ( 1 − t ) + ε t ∑ i = 1 k   x i ( q ) 2 1 / 2 x k ( q ) , ( 1 − t ) x k + 1 ( q ) , … , ( 1 − t ) x n ( q ) {:[F^(e)(q","t):=varphi^(-1)(((1-t)+(epsi t)/(sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2)))^(1//2)x_(1)(q),dots,:}],[{:((1-t)+(epsi t)/(sum_(i=1)^(k)x_(i)(q)^(2)))^(1//2)x_(k)(q),(1-t)x_(k+1)(q),dots,(1-t)x_(n)(q))]:}\begin{aligned} F^{e}(q, t):= & \varphi^{-1}\left(\left((1-t)+\frac{\varepsilon t}{\sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2}}\right)^{1 / 2} x_{1}(q), \ldots,\right. \\ & \left.\left((1-t)+\frac{\varepsilon t}{\sum_{i=1}^{k} x_{i}(q)^{2}}\right)^{1 / 2} x_{k}(q),(1-t) x_{k+1}(q), \ldots,(1-t) x_{n}(q)\right) \end{aligned}Fe(q,t):=φ−1(((1−t)+εt∑i=1kxi(q)2)1/2x1(q),…,((1−t)+εt∑i=1kxi(q)2)1/2xk(q),(1−t)xk+1(q),…,(1−t)xn(q))
によって定義する（図 5.3.4を参照）。明らかに, これらは連続写像になる。 これらの連続写像を用いて, 写像 F : ( M f , f ( p ) − ε ∪ H ) × [ 0 , 1 ] → M f , f ( p ) − ε ∪ H F : M f , f ( p ) − ε ∪ H × [ 0 , 1 ] → M f , f ( p ) − ε ∪ H F:(M_(f,f(p)-epsi)uu H)xx[0,1]rarrM_(f,f(p)-epsi)uu HF:\left(M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H\right) \times[0,1] \rightarrow M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup HF:(Mf,f(p)−ε∪H)×[0,1]→Mf,f(p)−ε∪H を
F ( q , t ) := { F c ( q , t ) ( ( q , t ) ∈ H c × [ 0 , 1 ] ) F e ( q , t ) ( ( q , t ) ∈ H e × [ 0 , 1 ] ) id ( ( q , t ) ∈ M f , f ( p ) − ε ) F ( q , t ) := F c ( q , t )      ( q , t ) ∈ H c × [ 0 , 1 ] F e ( q , t )      ( q , t ) ∈ H e × [ 0 , 1 ]  id       ( q , t ) ∈ M f , f ( p ) − ε F(q,t):={[F^(c)(q","t),((q,t)inH_(c)xx[0,1])],[F^(e)(q","t),((q,t)inH_(e)xx[0,1])],[" id ",((q,t)inM_(f,f(p)-epsi))]:}F(q, t):= \begin{cases}F^{c}(q, t) & \left((q, t) \in H_{c} \times[0,1]\right) \\ F^{e}(q, t) & \left((q, t) \in H_{e} \times[0,1]\right) \\ \text { id } & \left((q, t) \in M_{f, f(p)-\varepsilon}\right)\end{cases}F(q,t):={Fc(q,t)((q,t)∈Hc×[0,1])Fe(q,t)((q,t)∈He×[0,1]) id ((q,t)∈Mf,f(p)−ε)
により定める. F t : M f , f ( p ) − ε ∪ H → M f , f ( p ) − ε ∪ H ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) F t : M f , f ( p ) − ε ∪ H → M f , f ( p ) − ε ∪ H ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) F_(t):M_(f,f(p)-epsi)uu H rarrM_(f,f(p)-epsi)uu H(t in[0,1])F_{t}: M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H \rightarrow M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H(t \in[0,1])Ft:Mf,f(p)−ε∪H→Mf,f(p)−ε∪H(t∈[0,1]) を, F t ( q ) F t ( q ) F_(t)(q)F_{t}(q)Ft(q) := F ( q , t ) ( q ∈ M f , f ( p ) − ε ∪ H ) ) := F ( q , t ) q ∈ M f , f ( p ) − ε ∪ H {::=F(q,t)(q inM_(f,f(p)-epsi)uu H))\left.:=F(q, t)\left(q \in M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H\right)\right):=F(q,t)(q∈Mf,f(p)−ε∪H)) で定める. 容易に, F F FFF が連続であること，各 t ∈ [ 0 , 1 ] t ∈ [ 0 , 1 ] t in[0,1]t \in[0,1]t∈[0,1] に対し, F t | M f , f ( p ) − ε ∪ e k = id M f , f ( p ) − ε ∪ e k F t M f , f ( p ) − ε ∪ e k = id M f , f ( p ) − ε ∪ e k F_(t)|_(M_(f,f(p)-epsi)uue^(k))=id_(M_(f,f(p)-epsi)uue^(k))\left.F_{t}\right|_{M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}}=\mathrm{id}_{M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}}Ft|Mf,f(p)−ε∪ek=idMf,f(p)−ε∪ek が成り立つこと，および， F 0 = id M f , f ( p ) − ε ∪ H , F 1 ( M f , f ( p ) − ε ∪ H ) = M f , f ( p ) − ε ∪ e k F 0 = id M f , f ( p ) − ε ∪ H , F 1 M f , f ( p ) − ε ∪ H = M f , f ( p ) − ε ∪ e k F_(0)=id_(M_(f,f(p)-epsi)uu H),quadF_(1)(M_(f,f(p)-epsi)uu H)=M_(f,f(p)-epsi)uue^(k)F_{0}=\operatorname{id}_{M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H}, \quad F_{1}\left(M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H\right)=M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}F0=idMf,f(p)−ε∪H,F1(Mf,f(p)−ε∪H)=Mf,f(p)−ε∪ek が成り立つことが示 される. したがって, F 1 F 1 F_(1)F_{1}F1 が M f , f ( p ) − ε ∪ H ( = M f ^ , f ( p ) − ε ) M f , f ( p ) − ε ∪ H = M f ^ , f ( p ) − ε M_(f,f(p)-epsi)uu H(=M_( hat(f),f(p)-epsi))M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup H\left(=M_{\hat{f}, f(p)-\varepsilon}\right)Mf,f(p)−ε∪H(=Mf^,f(p)−ε) から M f , f ( p ) − ε ∪ e k M f , f ( p ) − ε ∪ e k M_(f,f(p)-epsi)uue^(k)M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}Mf,f(p)−ε∪ek への変位レトラクションを与え, それゆえ, M f , f ( p ) − ε ∪ e k M f , f ( p ) − ε ∪ e k M_(f,f(p)-epsi)uue^(k)M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}Mf,f(p)−ε∪ek が M f ^ , f ( p ) − ε M f ^ , f ( p ) − ε M_( hat(f),f(p)-epsi)M_{\hat{f}, f(p)-\varepsilon}Mf^,f(p)−ε の変位レトラクトであることがわかる。以上で事実 (IV) が示された.
事実 (III) と (IV) から, M f , f ( p ) − ε ∪ e k M f , f ( p ) − ε ∪ e k M_(f,f(p)-epsi)uue^(k)M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}Mf,f(p)−ε∪ek が M f , f ( p ) + ε M f , f ( p ) + ε M_(f,f(p)+epsi)M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf,f(p)+ε の変位レトラクトであ
ること, つまり, M f , f ( p ) + ε M f , f ( p ) + ε M_(f,f(p)+epsi)M_{f, f(p)+\varepsilon}Mf,f(p)+ε が M f , f ( p ) − ε ∪ e k M f , f ( p ) − ε ∪ e k M_(f,f(p)-epsi)uue^(k)M_{f, f(p)-\varepsilon} \cup e^{k}Mf,f(p)−ε∪ek にホモト゚ー同値であることが 導かれる。
命題 5.3 .2 と命題 5.3 .3 を用いて, 次のモースの基本定理を示そう.
定理 5.3.4（モースの基本定理） f f fff を M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級モース関数で, 次の条件を満たすようなものとする：
(C) 任意の実数 a a aaa に対し, M f , a ( = f − 1 ( ( − ∞ , a ] ) ) M f , a = f − 1 ( ( − ∞ , a ] ) M_(f,a)(=f^(-1)((-oo,a]))M_{f, a}\left(=f^{-1}((-\infty, a])\right)Mf,a(=f−1((−∞,a])) がコンパクトである.
このとき, M M MMM からある C W C W CWC WCW 複体 ( X , { e λ ∣ λ ∈ Λ } ) X , e λ ∣ λ ∈ Λ (X,{e_(lambda)∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{e_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{eλ∣λ∈Λ}) へのホモトピー同値写像 Φ Φ Phi\PhiΦ で, 次の条件を満たすものが存在する：
(*) C k ( k = 0 , 1 , … , n ) C k ( k = 0 , 1 , … , n ) C_(k)(k=0,1,dots,n)\mathcal{C}_{k}(k=0,1, \ldots, n)Ck(k=0,1,…,n) を f f fff の指数 k k kkk の臨界点の全体とし, Λ k := { λ ∈ Λ k := { λ ∈ Lambda_(k):={lambda in\Lambda_{k}:=\{\lambda \inΛk:={λ∈ Λ ∣ dim e λ = k } ( k = 0 , 1 , … , n ) Λ ∣ dim e λ = k ( k = 0 , 1 , … , n ) {: Lambda∣dime_(lambda)=k}(k=0,1,dots,n)\left.\Lambda \mid \operatorname{dim} e_{\lambda}=k\right\}(k=0,1, \ldots, n)Λ∣dimeλ=k}(k=0,1,…,n) とするとき, 各 p ∈ C k p ∈ C k p inC_(k)p \in \mathcal{C}_{k}p∈Ck に対し, 命題 5.3.3 の証明で述べた p p ppp を含む k k kkk ハンドルを H p H p H_(p)H_{p}Hp として, Φ ( H p ) ⊂ e λ p ― Φ H p ⊂ e λ p ¯ Phi(H_(p))sub bar(e_(lambda_(p)))\Phi\left(H_{p}\right) \subset \overline{e_{\lambda_{p}}}Φ(Hp)⊂eλp― と なる λ p ∈ Λ k λ p ∈ Λ k lambda_(p)inLambda_(k)\lambda_{p} \in \Lambda_{k}λp∈Λk がただ 1 つ存在し, 対応 p ↦ λ p ( p ∈ C k ) p ↦ λ p p ∈ C k p|->lambda_(p)(p inC_(k))p \mapsto \lambda_{p}\left(p \in \mathcal{C}_{k}\right)p↦λp(p∈Ck) は C k C k C_(k)\mathcal{C}_{k}Ck から Λ k Λ k Lambda_(k)\Lambda_{k}Λk への 1 対 1 対応を与える.
注意 無限次元ヒルベルト多様体上でも, 同様にモース関数を定義することがで きる. 無限次元ヒルベルト多様体 M M MMM は局所コンパクトでないため, M M MMM 上のモース 関数 f f fff に対し，上述の定理における条件（C）を考えることができない。そこで,条件（C）に代わる条件として, 次のパレ・スメール条件（Palais-Smale condition）が考えられる：
(PSC) M M MMM 上の点列 { p i } i = 1 ∞ p i i = 1 ∞ {p_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{p_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{pi}i=1∞ が次の 2 条件を満たすならば, { p i } i = 1 ∞ p i i = 1 ∞ {p_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{p_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{pi}i=1∞ は収束部分列をもつ：
(i) { f ( p i ) ∣ i ∈ N } f p i ∣ i ∈ N {f(p_(i))∣i inN}\left\{f\left(p_{i}\right) \mid i \in \mathbb{N}\right\}{f(pi)∣i∈N} は有界である；
(ii) ‖ d f p i ‖ → 0 ( i → ∞ ) d f p i → 0 ( i → ∞ ) ||df_(p_(i))||rarr0quad(i rarr oo)\left\|d f_{p_{i}}\right\| \rightarrow 0 \quad(i \rightarrow \infty)‖dfpi‖→0(i→∞).
条件 (ii)における ‖ d f p i ‖ d f p i ||df_(p_(i))||\left\|d f_{p_{i}}\right\|‖dfpi‖ は, 補助的にとった M M MMM のリーマン計量に関する d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp のノ ルムを表す（この条件は，Ｍのリーマン計量のとり方によらない）また, パレ・ スメール条件は, 点列コンパクト性条件を緩めた条件であることを注意しておく.
この定理を示すために, 2 つの補題を準備する.
補題 5.3.5 X X XXX を位相空間とし, η i : ∂ D k ( 1 ) → X ( i = 0 , 1 ) η i : ∂ D k ( 1 ) → X ( i = 0 , 1 ) eta_(i):delD^(k)(1)rarr X(i=0,1)\eta_{i}: \partial D^{k}(1) \rightarrow X(i=0,1)ηi:∂Dk(1)→X(i=0,1) を連続写像と する. このとき, η 0 η 0 eta_(0)\eta_{0}η0 と η 1 η 1 eta_(1)\eta_{1}η1 がホモトープならば, k k kkk 胞体を接着してえられる 2
つの空間 X ∪ η 0 D k ( 1 ) X ∪ η 0 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(0))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)X∪η0Dk(1) と X ∪ η 1 D k ( 1 ) X ∪ η 1 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(1))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{1}} D^{k}(1)X∪η1Dk(1) はホモトピー同値である.
証明 π i : X ⨿ D k ( 1 ) → X ∪ η i D k ( 1 ) ( i = 0 , 1 ) π i : X ⨿ D k ( 1 ) → X ∪ η i D k ( 1 ) ( i = 0 , 1 ) pi_(i):X⨿D^(k)(1)rarr Xuu_(eta_(i))D^(k)(1)(i=0,1)\pi_{i}: X \amalg D^{k}(1) \rightarrow X \cup_{\eta_{i}} D^{k}(1)(i=0,1)πi:X⨿Dk(1)→X∪ηiDk(1)(i=0,1) を商写像とし, F : ∂ D k ( 1 ) F : ∂ D k ( 1 ) F:delD^(k)(1)F: \partial D^{k}(1)F:∂Dk(1) × [ 0 , 1 ] → X × [ 0 , 1 ] → X xx[0,1]rarr X\times[0,1] \rightarrow X×[0,1]→X を η 0 η 0 eta_(0)\eta_{0}η0 から η 1 η 1 eta_(1)\eta_{1}η1 へのホモトピーとする. X ∪ η 0 D k ( 1 ) X ∪ η 0 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(0))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)X∪η0Dk(1) から X ∪ η 1 X ∪ η 1 Xuu_(eta_(1))X \cup_{\eta_{1}}X∪η1 D k ( 1 ) D k ( 1 ) D^(k)(1)D^{k}(1)Dk(1) への写像 Φ Φ Phi\PhiΦ を
Φ ( π 0 ( p ) ) := { π 1 ( p ) ( p ∈ X ) π 1 ( 2 p ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 ) π 1 ( F ( p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖ ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 ) Φ π 0 ( p ) := π 1 ( p )      ( p ∈ X ) π 1 ( 2 p )      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 π 1 F p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 Phi(pi_(0)(p)):={[pi_(1)(p),(p in X)],[pi_(1)(2p),(p inD^(k)(1)" s.t. "0 <= ||p|| <= (1)/(2))],[pi_(1)(F((p)/(||p||),2-2||p||)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1)/(2) <= ||p|| <= 1)]:}\Phi\left(\pi_{0}(p)\right):= \begin{cases}\pi_{1}(p) & (p \in X) \\ \pi_{1}(2 p) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } 0 \leq\|p\| \leq \frac{1}{2}\right) \\ \pi_{1}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 2-2\|p\|\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1}{2} \leq\|p\| \leq 1\right)\end{cases}Φ(π0(p)):={π1(p)(p∈X)π1(2p)(p∈Dk(1) s.t. 0≤‖p‖≤12)π1(F(p‖p‖,2−2‖p‖))(p∈Dk(1) s.t. 12≤‖p‖≤1)
によって定義する（図 5.3.5を参照）。同様に, X ∪ η 1 D k ( 1 ) X ∪ η 1 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(1))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{1}} D^{k}(1)X∪η1Dk(1) から X ∪ η 0 D k ( 1 ) X ∪ η 0 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(0))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)X∪η0Dk(1) への写像 Ψ Ψ Psi\PsiΨ を
Ψ ( π 1 ( p ) ) := { π 0 ( p ) ( p ∈ X ) π 0 ( 2 p ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 ) π 0 ( F ( p ‖ p ‖ , 2 ‖ p ‖ − 1 ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 ) Ψ π 1 ( p ) := π 0 ( p )      ( p ∈ X ) π 0 ( 2 p )      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 π 0 F p ‖ p ‖ , 2 ‖ p ‖ − 1      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 Psi(pi_(1)(p)):={[pi_(0)(p),(p in X)],[pi_(0)(2p),(p inD^(k)(1)" s.t. "0 <= ||p|| <= (1)/(2))],[pi_(0)(F((p)/(||p||),2||p||-1)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1)/(2) <= ||p|| <= 1)]:}\Psi\left(\pi_{1}(p)\right):= \begin{cases}\pi_{0}(p) & (p \in X) \\ \pi_{0}(2 p) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } 0 \leq\|p\| \leq \frac{1}{2}\right) \\ \pi_{0}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 2\|p\|-1\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1}{2} \leq\|p\| \leq 1\right)\end{cases}Ψ(π1(p)):={π0(p)(p∈X)π0(2p)(p∈Dk(1) s.t. 0≤‖p‖≤12)π0(F(p‖p‖,2‖p‖−1))(p∈Dk(1) s.t. 12≤‖p‖≤1)
によって定義する. このとき、
( Ψ ∘ Φ ) ( π 0 ( p ) ) := { π 0 ( p ) ( p ∈ X ) π 0 ( 4 p ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 4 ) π 0 ( F ( p ‖ p ‖ , 4 ‖ p ‖ − 1 ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 4 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 ) π 0 ( F ( p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖ ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 ) ( Ψ ∘ Φ ) π 0 ( p ) := π 0 ( p )      ( p ∈ X ) π 0 ( 4 p )      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 4 π 0 F p ‖ p ‖ , 4 ‖ p ‖ − 1      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 4 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 π 0 F p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 (Psi@Phi)(pi_(0)(p)):={[pi_(0)(p),(p in X)],[pi_(0)(4p),(p inD^(k)(1)" s.t. "0 <= ||p|| <= (1)/(4))],[pi_(0)(F((p)/(||p||),4||p||-1)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1)/(4) <= ||p|| <= (1)/(2))],[pi_(0)(F((p)/(||p||),2-2||p||)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1)/(2) <= ||p|| <= 1)]:}(\Psi \circ \Phi)\left(\pi_{0}(p)\right):= \begin{cases}\pi_{0}(p) & (p \in X) \\ \pi_{0}(4 p) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } 0 \leq\|p\| \leq \frac{1}{4}\right) \\ \pi_{0}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 4\|p\|-1\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1}{4} \leq\|p\| \leq \frac{1}{2}\right) \\ \pi_{0}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 2-2\|p\|\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1}{2} \leq\|p\| \leq 1\right)\end{cases}(Ψ∘Φ)(π0(p)):={π0(p)(p∈X)π0(4p)(p∈Dk(1) s.t. 0≤‖p‖≤14)π0(F(p‖p‖,4‖p‖−1))(p∈Dk(1) s.t. 14≤‖p‖≤12)π0(F(p‖p‖,2−2‖p‖))(p∈Dk(1) s.t. 12≤‖p‖≤1)
をえる. 写像 Υ : ( X ∪ η 0 D k ( 1 ) ) × [ 0 , 1 ] → X ∪ η 0 D k ( 1 ) Υ : X ∪ η 0 D k ( 1 ) × [ 0 , 1 ] → X ∪ η 0 D k ( 1 ) Υ:(Xuu_(eta_(0))D^(k)(1))xx[0,1]rarr Xuu_(eta_(0))D^(k)(1)\Upsilon:\left(X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)\right) \times[0,1] \rightarrow X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)Υ:(X∪η0Dk(1))×[0,1]→X∪η0Dk(1) を
Υ ( π 0 ( p ) , t ) := { π 0 ( p ) ( p ∈ X ) π 0 ( 4 1 + 3 t p ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 + 3 t 4 ) π 0 ( F ( p ‖ p ‖ , 4 ‖ p ‖ − 3 t − 1 ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 + 3 t 4 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 + t 2 ) π 0 ( F ( p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖ ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 + t 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 ) Υ π 0 ( p ) , t := π 0 ( p )      ( p ∈ X ) π 0 4 1 + 3 t p      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 + 3 t 4 π 0 F p ‖ p ‖ , 4 ‖ p ‖ − 3 t − 1      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 + 3 t 4 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 + t 2 π 0 F p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 + t 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 Υ(pi_(0)(p),t):={[pi_(0)(p),(p in X)],[pi_(0)((4)/(1+3t)p),(p inD^(k)(1)" s.t. "0 <= ||p|| <= (1+3t)/(4))],[pi_(0)(F((p)/(||p||),4||p||-3t-1)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1+3t)/(4) <= ||p|| <= (1+t)/(2))],[pi_(0)(F((p)/(||p||),2-2||p||)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1+t)/(2) <= ||p|| <= 1)]:}\Upsilon\left(\pi_{0}(p), t\right):= \begin{cases}\pi_{0}(p) & (p \in X) \\ \pi_{0}\left(\frac{4}{1+3 t} p\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } 0 \leq\|p\| \leq \frac{1+3 t}{4}\right) \\ \pi_{0}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 4\|p\|-3 t-1\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1+3 t}{4} \leq\|p\| \leq \frac{1+t}{2}\right) \\ \pi_{0}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 2-2\|p\|\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1+t}{2} \leq\|p\| \leq 1\right)\end{cases}Υ(π0(p),t):={π0(p)(p∈X)π0(41+3tp)(p∈Dk(1) s.t. 0≤‖p‖≤1+3t4)π0(F(p‖p‖,4‖p‖−3t−1))(p∈Dk(1) s.t. 1+3t4≤‖p‖≤1+t2)π0(F(p‖p‖,2−2‖p‖))(p∈Dk(1) s.t. 1+t2≤‖p‖≤1)
によって定義する。明らかにこの写像 Υ は , Ψ ∘ Φ Υ は , Ψ ∘ Φ Υは,Psi@Phi\Upsilon は, \Psi \circ \PhiΥは,Ψ∘Φ から id X ∪ η 0 D k ( 1 ) id X ∪ η 0 D k ( 1 ) id_(Xuu_(eta_(0))D^(k)(1))\mathrm{id}_{X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)}idX∪η0Dk(1) へのホモ トピーを与える. 全く同様に, Φ ∘ Ψ Φ ∘ Ψ Phi@Psi\Phi \circ \PsiΦ∘Ψ から id X ∪ η 1 D k ( 1 ) id X ∪ η 1 D k ( 1 ) id_(Xuu_(eta_(1))D^(k)(1))\operatorname{id}_{X \cup_{\eta_{1}} D^{k}(1)}idX∪η1Dk(1) へのホモトピーを構成
図 5.3.5 X ∪ η 0 D k ( 1 ) X ∪ η 0 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(0))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)X∪η0Dk(1) と X ∪ η 1 D k ( 1 ) X ∪ η 1 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(1))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{1}} D^{k}(1)X∪η1Dk(1) の間のホモトピー同値写像
することができるので, Φ Φ Phi\PhiΦ がホモトピー同値写像であることがわかる. した がって, X ∪ η 0 D k ( 1 ) X ∪ η 0 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(0))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{0}} D^{k}(1)X∪η0Dk(1) と X ∪ η 1 D k ( 1 ) X ∪ η 1 D k ( 1 ) Xuu_(eta_(1))D^(k)(1)X \cup_{\eta_{1}} D^{k}(1)X∪η1Dk(1) がホモトピー同値である.
補題 5.3.6 Φ : X → Y Φ : X → Y Phi:X rarr Y\Phi: X \rightarrow YΦ:X→Y をホモトピー同値写像とし, η : ∂ D k ( 1 ) → X η : ∂ D k ( 1 ) → X eta:delD^(k)(1)rarr X\eta: \partial D^{k}(1) \rightarrow Xη:∂Dk(1)→X を連続写像とする. このとき, 接着空間 X ∪ η D k ( 1 ) X ∪ η D k ( 1 ) Xuu_(eta)D^(k)(1)X \cup_{\eta} D^{k}(1)X∪ηDk(1) から Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1)Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)Y∪Φ∘ηDk(1) へのホモ トピー同倡写像 Φ ~ Φ ~ widetilde(Phi)\widetilde{\Phi}Φ~ で, Φ ~ ∘ π 1 | X = π 2 ∘ Φ Φ ~ ∘ π 1 X = π 2 ∘ Φ ( widetilde(Phi))@pi_(1)|_(X)=pi_(2)@Phi\left.\widetilde{\Phi} \circ \pi_{1}\right|_{X}=\pi_{2} \circ \PhiΦ~∘π1|X=π2∘Φ を満たすようなものが存在する. こ こで, π 1 π 1 pi_(1)\pi_{1}π1 は X ⨿ D k ( 1 ) X ⨿ D k ( 1 ) X⨿D^(k)(1)X \amalg D^{k}(1)X⨿Dk(1) から X ∪ η D k ( 1 ) X ∪ η D k ( 1 ) Xuu_(eta)D^(k)(1)X \cup_{\eta} D^{k}(1)X∪ηDk(1) への商写像を表し, π 2 π 2 pi_(2)\pi_{2}π2 は Y ⨿ D k ( 1 ) Y ⨿ D k ( 1 ) Y⨿D^(k)(1)Y \amalg D^{k}(1)Y⨿Dk(1) から Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1)Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)Y∪Φ∘ηDk(1) への商写像を表す.
証明 写像 Φ ~ : X ∪ η D k ( 1 ) → Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Φ ~ : X ∪ η D k ( 1 ) → Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) widetilde(Phi):Xuu_(eta)D^(k)(1)rarr Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1)\widetilde{\Phi}: X \cup_{\eta} D^{k}(1) \rightarrow Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)Φ~:X∪ηDk(1)→Y∪Φ∘ηDk(1) を
Φ ~ ( π 1 ( p ) ) := { π 2 ( Φ ( p ) ) ( p ∈ X ) π 2 ( p ) ( p ∈ D k ( 1 ) ) Φ ~ π 1 ( p ) := π 2 ( Φ ( p ) )      ( p ∈ X ) π 2 ( p )      p ∈ D k ( 1 ) widetilde(Phi)(pi_(1)(p)):={[pi_(2)(Phi(p)),(p in X)],[pi_(2)(p),(p inD^(k)(1))]:}\widetilde{\Phi}\left(\pi_{1}(p)\right):= \begin{cases}\pi_{2}(\Phi(p)) & (p \in X) \\ \pi_{2}(p) & \left(p \in D^{k}(1)\right)\end{cases}Φ~(π1(p)):={π2(Φ(p))(p∈X)π2(p)(p∈Dk(1))
で定義する. Ψ Ψ Psi\PsiΨ を Y Y YYY から X X XXX へのホモトピー同値写像で, Ψ ∘ Φ ∼ id X , Φ Ψ ∘ Φ ∼ id X , Φ Psi@Phi∼id_(X),Phi\Psi \circ \Phi \sim \operatorname{id}_{X}, \PhiΨ∘Φ∼idX,Φ 。 Ψ 〜 id Y Ψ 〜 id Y Psi〜id_(Y)\Psi 〜 \mathrm{id}_{Y}Ψ〜idY を満たすようなものとし, η ^ := Ψ ∘ Φ ∘ η η ^ := Ψ ∘ Φ ∘ η widehat(eta):=Psi@Phi@eta\widehat{\eta}:=\Psi \circ \Phi \circ \etaη^:=Ψ∘Φ∘η とおく. X ⨿ D k ( 1 ) X ⨿ D k ( 1 ) X⨿D^(k)(1)X \amalg D^{k}(1)X⨿Dk(1) から X ∪ η ^ D k ( 1 ) X ∪ η ^ D k ( 1 ) Xuu_( widehat(eta))D^(k)(1)X \cup_{\widehat{\eta}} D^{k}(1)X∪η^Dk(1) への商写像を π ^ 1 π ^ 1 widehat(pi)_(1)\widehat{\pi}_{1}π^1 と表す. 写像 Ψ ~ : Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) → X ∪ η ^ D k ( 1 ) Ψ ~ : Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) → X ∪ η ^ D k ( 1 ) widetilde(Psi):Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1)rarr Xuu_( widehat(eta))D^(k)(1)\widetilde{\Psi}: Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1) \rightarrow X \cup_{\widehat{\eta}} D^{k}(1)Ψ~:Y∪Φ∘ηDk(1)→X∪η^Dk(1) を
Ψ ~ ( π 2 ( p ) ) := { π ^ 1 ( Ψ ( p ) ) ( p ∈ Y ) π ^ 1 ( p ) ( p ∈ D k ( 1 ) ) Ψ ~ π 2 ( p ) := π ^ 1 ( Ψ ( p ) )      ( p ∈ Y ) π ^ 1 ( p )      p ∈ D k ( 1 ) widetilde(Psi)(pi_(2)(p)):={[ widehat(pi)_(1)(Psi(p)),(p in Y)],[ widehat(pi)_(1)(p),(p inD^(k)(1))]:}\widetilde{\Psi}\left(\pi_{2}(p)\right):= \begin{cases}\widehat{\pi}_{1}(\Psi(p)) & (p \in Y) \\ \widehat{\pi}_{1}(p) & \left(p \in D^{k}(1)\right)\end{cases}Ψ~(π2(p)):={π^1(Ψ(p))(p∈Y)π^1(p)(p∈Dk(1))
で定義する. η ^ ∼ η η ^ ∼ η widehat(eta)∼eta\widehat{\eta} \sim \etaη^∼η なので, 補題 5.3 .5 により, X ∪ η ^ D k ( 1 ) X ∪ η ^ D k ( 1 ) Xuu_( hat(eta))D^(k)(1)X \cup_{\hat{\eta}} D^{k}(1)X∪η^Dk(1) から X ∪ η D k ( 1 ) X ∪ η D k ( 1 ) Xuu_(eta)D^(k)(1)X \cup_{\eta} D^{k}(1)X∪ηDk(1) へのホモトピー同値写像 Ξ Ξ Xi\XiΞ が存在する. Ξ ∘ Ψ ~ ∘ Φ ~ ∼ id X ∪ η D k ( 1 ) Ξ ∘ Ψ ~ ∘ Φ ~ ∼ id X ∪ η D k ( 1 ) Xi@ widetilde(Psi)@ widetilde(Phi)∼id_(Xuu_(eta)D^(k)(1))\Xi \circ \widetilde{\Psi} \circ \widetilde{\Phi} \sim \mathrm{id}_{X \cup_{\eta} D^{k}(1)}Ξ∘Ψ~∘Φ~∼idX∪ηDk(1) を示そう. F F FFF を Ψ ∘ Φ Ψ ∘ Φ Psi@Phi\Psi \circ \PhiΨ∘Φ から id X id X id_(X)\mathrm{id}_{X}idX へのホモトピーとする. このとき, Φ ~ , Ψ ~ , Ξ Φ ~ , Ψ ~ , Ξ widetilde(Phi), widetilde(Psi),Xi\widetilde{\Phi}, \widetilde{\Psi}, \XiΦ~,Ψ~,Ξ 定義から次の 関係式が成り立つ：
( Ξ ∘ Ψ ~ ∘ Φ ~ ) ( π 1 ( p ) ) = { π 1 ( ( Ψ ∘ Φ ) ( p ) ) ( p ∈ X ) π 1 ( 2 p ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 ) π 1 ( F ( p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖ ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 ) ( Ξ ∘ Ψ ~ ∘ Φ ~ ) π 1 ( p ) = π 1 ( ( Ψ ∘ Φ ) ( p ) )      ( p ∈ X ) π 1 ( 2 p )      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 2 π 1 F p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 (Xi@ widetilde(Psi)@ widetilde(Phi))(pi_(1)(p))={[pi_(1)((Psi@Phi)(p)),(p in X)],[pi_(1)(2p),(p inD^(k)(1)" s.t. "0 <= ||p|| <= (1)/(2))],[pi_(1)(F((p)/(||p||),2-2||p||)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1)/(2) <= ||p|| <= 1)]:}(\Xi \circ \widetilde{\Psi} \circ \widetilde{\Phi})\left(\pi_{1}(p)\right)= \begin{cases}\pi_{1}((\Psi \circ \Phi)(p)) & (p \in X) \\ \pi_{1}(2 p) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } 0 \leq\|p\| \leq \frac{1}{2}\right) \\ \pi_{1}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 2-2\|p\|\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1}{2} \leq\|p\| \leq 1\right)\end{cases}(Ξ∘Ψ~∘Φ~)(π1(p))={π1((Ψ∘Φ)(p))(p∈X)π1(2p)(p∈Dk(1) s.t. 0≤‖p‖≤12)π1(F(p‖p‖,2−2‖p‖))(p∈Dk(1) s.t. 12≤‖p‖≤1)
写像 Υ : ( X ∪ η D k ( 1 ) ) × [ 0 , 1 ] → X ∪ η D k ( 1 ) Υ : X ∪ η D k ( 1 ) × [ 0 , 1 ] → X ∪ η D k ( 1 ) Υ:(Xuu_(eta)D^(k)(1))xx[0,1]rarr Xuu_(eta)D^(k)(1)\Upsilon:\left(X \cup_{\eta} D^{k}(1)\right) \times[0,1] \rightarrow X \cup_{\eta} D^{k}(1)Υ:(X∪ηDk(1))×[0,1]→X∪ηDk(1) を
Υ ( π 1 ( p ) , t ) := { π 1 ( F ( p , t ) ) ( p ∈ X ) π 1 ( 2 1 + t p ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 + t 2 ) π 1 ( F ( p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖ + t ) ) ( p ∈ D k ( 1 ) s.t. 1 + t 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 ) Υ π 1 ( p ) , t := π 1 ( F ( p , t ) )      ( p ∈ X ) π 1 2 1 + t p      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  0 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 + t 2 π 1 F p ‖ p ‖ , 2 − 2 ‖ p ‖ + t      p ∈ D k ( 1 )  s.t.  1 + t 2 ≤ ‖ p ‖ ≤ 1 Υ(pi_(1)(p),t):={[pi_(1)(F(p","t)),(p in X)],[pi_(1)((2)/(1+t)p),(p inD^(k)(1)" s.t. "0 <= ||p|| <= (1+t)/(2))],[pi_(1)(F((p)/(||p||),2-2||p||+t)),(p inD^(k)(1)" s.t. "(1+t)/(2) <= ||p|| <= 1)]:}\Upsilon\left(\pi_{1}(p), t\right):= \begin{cases}\pi_{1}(F(p, t)) & (p \in X) \\ \pi_{1}\left(\frac{2}{1+t} p\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } 0 \leq\|p\| \leq \frac{1+t}{2}\right) \\ \pi_{1}\left(F\left(\frac{p}{\|p\|}, 2-2\|p\|+t\right)\right) & \left(p \in D^{k}(1) \text { s.t. } \frac{1+t}{2} \leq\|p\| \leq 1\right)\end{cases}Υ(π1(p),t):={π1(F(p,t))(p∈X)π1(21+tp)(p∈Dk(1) s.t. 0≤‖p‖≤1+t2)π1(F(p‖p‖,2−2‖p‖+t))(p∈Dk(1) s.t. 1+t2≤‖p‖≤1)
で定義する. 明らかに, この写像 Υ は , Ξ ∘ Ψ ~ ∘ Φ ~ か ら id X ∪ η D k ( 1 ) Υ は , Ξ ∘ Ψ ~ ∘ Φ ~ か ら id X ∪ η D k ( 1 ) Υは,Xi@ widetilde(Psi)@ widetilde(Phi)からid_(Xuu_(eta)D^(k)(1))\Upsilon は, \Xi \circ \widetilde{\Psi} \circ \widetilde{\Phi} か ら \operatorname{id}_{X \cup_{\eta} D^{k}(1)}Υは,Ξ∘Ψ~∘Φ~からidX∪ηDk(1) へのホモ トピーを与える。 それゆえ、 ( Ξ ∘ Ψ ~ ) ∘ Φ ~ ∼ id X ∪ η D k ( 1 ) ( Ξ ∘ Ψ ~ ) ∘ Φ ~ ∼ id X ∪ η D k ( 1 ) (Xi@ widetilde(Psi))@ widetilde(Phi)∼id_(Xuu_(eta)D^(k)(1))(\Xi \circ \widetilde{\Psi}) \circ \widetilde{\Phi} \sim \operatorname{id}_{X \cup_{\eta} D^{k}(1)}(Ξ∘Ψ~)∘Φ~∼idX∪ηDk(1) が示される. 同様に, Ξ ^ ∘ Ψ ~ ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Ξ ^ ∘ Ψ ~ ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) widehat(Xi)@ widetilde(Psi)∼id_(Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1))\widehat{\Xi} \circ \widetilde{\Psi} \sim \operatorname{id}_{Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)}Ξ^∘Ψ~∼idY∪Φ∘ηDk(1) となる連続写像 Ξ ^ : X ∪ η ^ D k ( 1 ) → Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Ξ ^ : X ∪ η ^ D k ( 1 ) → Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) widehat(Xi):Xuu_( hat(eta))D^(k)(1)rarr Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1)\widehat{\Xi}: X \cup_{\hat{\eta}} D^{k}(1) \rightarrow Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)Ξ^:X∪η^Dk(1)→Y∪Φ∘ηDk(1) が存在 することが示される。ここで一般に, 次の事実が成り立つことに注意する：
( ♯ ) ( ♯ ) (♯)(\sharp)(♯) 連続写像 φ : X → Y φ : X → Y varphi:X rarr Y\varphi: X \rightarrow Yφ:X→Y に対し, ψ 1 ∘ φ ∼ id X ψ 1 ∘ φ ∼ id X psi_(1)@varphi∼id_(X)\psi_{1} \circ \varphi \sim \operatorname{id}_{X}ψ1∘φ∼idX となる連続写像 ψ 1 : Y → ψ 1 : Y → psi_(1):Y rarr\psi_{1}: Y \rightarrowψ1:Y→ X X XXX と φ ∘ ψ 2 ∼ id Y φ ∘ ψ 2 ∼ id Y varphi@psi_(2)∼id_(Y)\varphi \circ \psi_{2} \sim \mathrm{id}_{Y}φ∘ψ2∼idY となる連続写像 ψ 2 : Y → X ψ 2 : Y → X psi_(2):Y rarr X\psi_{2}: Y \rightarrow Xψ2:Y→X が存在するとする. この とき, φ ∘ ψ 1 ∼ id Y , ψ 2 ∘ φ ∼ id X φ ∘ ψ 1 ∼ id Y , ψ 2 ∘ φ ∼ id X varphi@psi_(1)∼id_(Y),psi_(2)@varphi∼id_(X)\varphi \circ \psi_{1} \sim \operatorname{id}_{Y}, \psi_{2} \circ \varphi \sim \operatorname{id}_{X}φ∘ψ1∼idY,ψ2∘φ∼idX も成り立ち, それゆえ, φ , ψ 1 , ψ 2 φ , ψ 1 , ψ 2 varphi,psi_(1),psi_(2)\varphi, \psi_{1}, \psi_{2}φ,ψ1,ψ2 は 各々, ホモトピー同値写像である.
この事実は, テクニカルな方法で容易に証明できるので, その証明は省くこと にする。補題の証明を再開しよう。 Ξ 〜 id X ∪ η ^ D k ( 1 ) Ξ 〜 id X ∪ η ^ D k ( 1 ) Xi〜id_(Xuu_( hat(eta))D^(k)(1))\Xi 〜 \operatorname{id}_{X \cup_{\hat{\eta}} D^{k}(1)}Ξ〜idX∪η^Dk(1) となる連続写像 ψ : X ∪ η D k ( 1 ) X → ∪ η ^ D k ( 1 ) ψ : X ∪ η D k ( 1 ) X → ∪ η ^ D k ( 1 ) psi:Xuu_(eta)D^(k)(1)X rarruu_( hat(eta))D^(k)(1)\psi: X \cup_{\eta} D^{k}(1) X \rightarrow \cup_{\hat{\eta}} D^{k}(1)ψ:X∪ηDk(1)X→∪η^Dk(1) が存在する。一方，すでに述べたように， Ξ ∘ ( Ψ ~ ∘ Φ ~ ) ～ id X ∪ η D k ( 1 ) Ξ ∘ ( Ψ ~ ∘ Φ ~ ) ～ id X ∪ η D k ( 1 ) Xi@( widetilde(Psi)@ widetilde(Phi))～id_(Xuu_(eta)D^(k)(1))\Xi \circ(\widetilde{\Psi} \circ \widetilde{\Phi}) ～ \operatorname{id}_{X \cup_{\eta} D^{k}(1)}Ξ∘(Ψ~∘Φ~)～idX∪ηDk(1) が成り立つ. それゆえ，上述の事実 ( ♯ ) ( ♯ ) (♯)(\sharp)(♯) により, ( Ψ ~ ∘ Φ ~ ) ∘ Ξ 〜 id X ∪ n ^ D k ( 1 ) ( Ψ ~ ∘ Φ ~ ) ∘ Ξ 〜 id X ∪ n ^ D k ( 1 ) ( widetilde(Psi)@ widetilde(Phi))@Xi〜id_(Xuu_( hat(n))D^(k)(1))(\widetilde{\Psi} \circ \widetilde{\Phi}) \circ \Xi 〜 \operatorname{id}_{X \cup_{\hat{n}} D^{k}(1)}(Ψ~∘Φ~)∘Ξ〜idX∪n^Dk(1) が導かれる。また, Ψ ~ ∘ ( Φ ~ ∘ Ξ ) 〜 Ψ ~ ∘ ( Φ ~ ∘ Ξ ) 〜 widetilde(Psi)@( widetilde(Phi)@Xi)〜\widetilde{\Psi} \circ(\widetilde{\Phi} \circ \Xi) 〜Ψ~∘(Φ~∘Ξ)〜
id X ∪ n ^ D k ( 1 ) id X ∪ n ^ D k ( 1 ) id_(Xuu_( hat(n)D^(k)(1)))\operatorname{id}_{X \cup_{\hat{n} D^{k}(1)}}idX∪n^Dk(1), かつ Ξ ^ ∘ Ψ ~ ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Ξ ^ ∘ Ψ ~ ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) widehat(Xi)@ widetilde(Psi)∼id_(Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1))\widehat{\Xi} \circ \widetilde{\Psi} \sim \operatorname{id}_{Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)}Ξ^∘Ψ~∼idY∪Φ∘ηDk(1) であるので, 再び上述の事実 ( ♯ ) ( ♯ ) (♯)(\sharp)(♯) によ り, ( Φ ~ ∘ Ξ ) ∘ Ψ ~ ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) ( Φ ~ ∘ Ξ ) ∘ Ψ ~ ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) ( widetilde(Phi)@Xi)@ widetilde(Psi)∼id_(Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1))(\widetilde{\Phi} \circ \Xi) \circ \widetilde{\Psi} \sim \mathrm{id}_{Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)}(Φ~∘Ξ)∘Ψ~∼idY∪Φ∘ηDk(1) が導かれる. さらに, Φ ~ ∘ ( Ξ ∘ Ψ ~ ) ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) Φ ~ ∘ ( Ξ ∘ Ψ ~ ) ∼ id Y ∪ Φ ∘ η D k ( 1 ) widetilde(Phi)@(Xi@ widetilde(Psi))∼id_(Yuu_(Phi@eta)D^(k)(1))\widetilde{\Phi} \circ(\Xi \circ \widetilde{\Psi}) \sim \mathrm{id}_{Y \cup_{\Phi \circ \eta} D^{k}(1)}Φ~∘(Ξ∘Ψ~)∼idY∪Φ∘ηDk(1), かつ ( Ξ ∘ Ψ ~ ) ∘ Φ ~ ∼ id X ∪ η D k ( 1 ) ( Ξ ∘ Ψ ~ ) ∘ Φ ~ ∼ id X ∪ η D k ( 1 ) (Xi@ widetilde(Psi))@ widetilde(Phi)∼id_(Xuu_(eta)D^(k)(1))(\Xi \circ \widetilde{\Psi}) \circ \widetilde{\Phi} \sim \operatorname{id}_{X \cup_{\eta} D^{k}(1)}(Ξ∘Ψ~)∘Φ~∼idX∪ηDk(1) なので, 再び上述の事実 ( ♯ ) ( ♯ ) (♯)(\sharp)(♯) にり, Φ ~ Φ ~ widetilde(Phi)\widetilde{\Phi}Φ~ がホモ トピー同値写像であることが導かれる。
定理 5.3.4 を証明するために, CW 分割可能な位相空間同士の間の連続写像 のホモトピー同値性に関するホワイトヘッドの定理（Whitehead's theorem）を準備しておく.
定理 5.3.7（ホワイトヘッドの定理） X , Y X , Y X,YX, YX,Y を CW 分割可能な位相空間と し, F F FFF を X X XXX からへ連続写像で, F F FFF の定める k k kkk 次ホモトピー群間の準同型写像 F ∗ : π k ( X ) → π k ( Y ) F ∗ : π k ( X ) → π k ( Y ) F_(**):pi_(k)(X)rarrpi_(k)(Y)F_{*}: \pi_{k}(X) \rightarrow \pi_{k}(Y)F∗:πk(X)→πk(Y) が, 任意の自然数 k k kkk に対し同型写像になるよう なものとする. このとき, F はホモトピー同値写像になる.
この定理の証明は省くことにする。位相空間のカテゴリーにおける帰納的系, および, その帰納的極限を定義しよう. { X i } i = 1 ∞ X i i = 1 ∞ {X_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{Xi}i=1∞ を位相空間の可算族と し, { φ i j : X i → X j } 1 ≤ i < j < ∞ φ i j : X i → X j 1 ≤ i < j < ∞ {varphi_(ij):X_(i)rarrX_(j)}_(1 <= i < j < oo)\left\{\varphi_{i j}: X_{i} \rightarrow X_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty}{φij:Xi→Xj}1≤i<j<∞ を条件 φ j k ∘ φ i j = φ i k ( i < j < k ) φ j k ∘ φ i j = φ i k ( i < j < k ) varphi_(jk)@varphi_(ij)=varphi_(ik)(i < j < k)\varphi_{j k} \circ \varphi_{i j}=\varphi_{i k}(i<j<k)φjk∘φij=φik(i<j<k) を満たす 連続写像の可算族とする. このとき, { φ i j : X i → X j } 1 ≤ i < j < ∞ φ i j : X i → X j 1 ≤ i < j < ∞ {varphi_(ij):X_(i)rarrX_(j)}_(1 <= i < j < oo)\left\{\varphi_{i j}: X_{i} \rightarrow X_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty}{φij:Xi→Xj}1≤i<j<∞ を帰納的系 (inductive system) という. 便宜上, φ i i = id X i φ i i = id X i varphi_(ii)=id_(X_(i))\varphi_{i i}=\operatorname{id}_{X_{i}}φii=idXi とする. { X i } i = 1 ∞ X i i = 1 ∞ {X_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{Xi}i=1∞ の直和位相空間 ∞ i = 1 X i ∞ i = 1 X i oo_(i=1)X_(i)\underset{i=1}{\infty} X_{i}∞i=1Xi における同値関係〜を
p ∼ q ⟺ def p ∼ q ⟺ def p∼qLongleftrightarrow_(def)p \sim q \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}p∼q⟺def
p ∈ X i , q ∈ X j として, ある k > max { i , j } に対し, φ i k ( p ) = φ j k ( q ) p ∈ X i , q ∈ X j  として, ある  k > max { i , j }  に対し,  φ i k ( p ) = φ j k ( q ) p inX_(i),q inX_(j)" として, ある "k > max{i,j}" に対し, "varphi_(ik)(p)=varphi_(jk)(q)p \in X_{i}, q \in X_{j} \text { として, ある } k>\max \{i, j\} \text { に対し, } \varphi_{i k}(p)=\varphi_{j k}(q)p∈Xi,q∈Xj として, ある k>max{i,j} に対し, φik(p)=φjk(q)
と定義する. 商位相空間 ( ⨿ i = 1 X i ) / ∼ ⨿ i = 1 X i / ∼ (⨿_(i=1)X_(i))//∼\left(\underset{i=1}{\amalg} X_{i}\right) / \sim(⨿i=1Xi)/∼ を帰納的系 { φ i j : X i → X j } 1 ≤ i < j < ∞ φ i j : X i → X j 1 ≤ i < j < ∞ {varphi_(ij):X_(i)rarrX_(j)}_(1 <= i < j < oo)\left\{\varphi_{i j}: X_{i} \rightarrow X_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty}{φij:Xi→Xj}1≤i<j<∞ の帰納的極限（inductive limit）といい, lim X i lim X i limX_(i)\lim X_{i}limXi と表す. 各 j ∈ N j ∈ N j inNj \in \mathbb{N}j∈N に対し X j X j X_(j)X_{j}Xj の各点 p p ppp を, p p ppp の属する〜に関する同値類と同一視することにより, X j X j X_(j)X_{j}Xj を lim X i lim X i limX_(i)\lim X_{i}limXi の部分集合とみなすことができる。同様に, 群のカテゴリーにおけ る帰納的系, および, その帰納的極限も定義される.
{ φ i j : X i → X j } 1 ≤ i < j < ∞ , { ψ i j : Y i → Y j } 1 ≤ i < j < ∞ φ i j : X i → X j 1 ≤ i < j < ∞ , ψ i j : Y i → Y j 1 ≤ i < j < ∞ {varphi_(ij):X_(i)rarrX_(j)}_(1 <= i < j < oo),{psi_(ij):Y_(i)rarrY_(j)}_(1 <= i < j < oo)\left\{\varphi_{i j}: X_{i} \rightarrow X_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty},\left\{\psi_{i j}: Y_{i} \rightarrow Y_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty}{φij:Xi→Xj}1≤i<j<∞,{ψij:Yi→Yj}1≤i<j<∞ を帰納的系とし, { Φ i : Φ i : {Phi_(i)::}\left\{\Phi_{i}:\right.{Φi: X i → Y i } i = 1 ∞ X i → Y i i = 1 ∞ X_(i)rarrY_(i)}_(i=1)^(oo)\left.X_{i} \rightarrow Y_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}Xi→Yi}i=1∞ を連続写像の列で,
Φ j ∘ φ i j = ψ i j ∘ Φ i ( i < j ) Φ j ∘ φ i j = ψ i j ∘ Φ i ( i < j ) Phi_(j)@varphi_(ij)=psi_(ij)@Phi_(i)quad(i < j)\Phi_{j} \circ \varphi_{i j}=\psi_{i j} \circ \Phi_{i} \quad(i<j)Φj∘φij=ψij∘Φi(i<j)
を満たすようなものとする。このとき, lim X i lim X i limX_(i)\lim X_{i}limXi から lim Y i lim Y i limY_(i)\lim Y_{i}limYi への連続写像 Φ ∞ Φ ∞ Phi_(oo)\Phi_{\infty}Φ∞ で Φ ∞ ∣ X i = Φ i ( i ∈ N ) Φ ∞ ∣ X i = Φ i ( i ∈ N ) Phi_(oo)∣X_(i)=Phi_(i)(i inN)\Phi_{\infty} \mid X_{i}=\Phi_{i}(i \in \mathbb{N})Φ∞∣Xi=Φi(i∈N) を満たすようなものが一意に定まる. 本書では, こ の写像 Φ ∞ Φ ∞ Phi_(oo)\Phi_{\infty}Φ∞ を列 { Φ i } i = 1 ∞ Φ i i = 1 ∞ {Phi_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{\Phi_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{Φi}i=1∞ の極限写像（limit map）とよび, lim Φ i lim Φ i limPhi_(i)\lim \Phi_{i}limΦi と表す.以上の準備の下に, 定理 5.3 .4 を証明しよう.
定理 5.3.4 の証明 f f fff の臨界点全体からなる集合を C p t C p t C^(pt)\mathcal{C}^{p t}Cpt と表し, f f fff の臨界値全体からなる集合を C v C v C^(v)\mathcal{C}^{v}Cv と表す。仮定により, 各 a ∈ R a ∈ R a inRa \in \mathbb{R}a∈R に対し M f , a M f , a M_(f,a)M_{f, a}Mf,a はコンパ クトなので, f f fff が最小値をもつことがわかる。また, f f fff はモース関数なので, fの各臨界点は非退化である。それゆえ, モースの補題（定理 5.3.1）により f f fff の各臨界点は孤立しているので, M f , a ( a ∈ R ) M f , a ( a ∈ R ) M_(f,a)(a inR)M_{f, a}(a \in \mathbb{R})Mf,a(a∈R) のコンパクト性により, 任意の a ∈ R a ∈ R a inRa \in \mathbb{R}a∈R に対し M f , a ∩ C p t M f , a ∩ C p t M_(f,a)nnC^(pt)M_{f, a} \cap \mathcal{C}^{p t}Mf,a∩Cpt が有限集合, つまり, ( − ∞ , a ] ∩ C v ( − ∞ , a ] ∩ C v (-oo,a]nnC^(v)(-\infty, a] \cap \mathcal{C}^{v}(−∞,a]∩Cv が有限集合 であることがわかる。それゆえ、次 が集積点をもたないことがわかる. これ らの事実から， C v = { c i ∣ 1 = 1 , 2 , … } ( c 1 < c 2 < ⋯ ) C v = c i ∣ 1 = 1 , 2 , … c 1 < c 2 < ⋯ C^(v)={c_(i)∣1=1,2,dots}(c_(1) < c_(2) < cdots)\mathcal{C}^{v}=\left\{c_{i} \mid 1=1,2, \ldots\right\}\left(c_{1}<c_{2}<\cdots\right)Cv={ci∣1=1,2,…}(c1<c2<⋯) と表される. 各 c i c i c_(i)c_{i}ci に対し f − 1 ( c i ) = { p i 1 , … , p i m i } f − 1 c i = p i 1 , … , p i m i f^(-1)(c_(i))={p_(i1),dots,p_(im_(i))}f^{-1}\left(c_{i}\right)=\left\{p_{i 1}, \ldots, p_{i m_{i}}\right\}f−1(ci)={pi1,…,pimi} とし, 臨界点 p i j p i j p_(ij)p_{i j}pij の指数を ind ( p i j ) ind p i j ind(p_(ij))\operatorname{ind}\left(p_{i j}\right)ind(pij) と表す. J i := { 1 , … , m i } , J i k := { j ∈ J i ∣ ind ( p i j ) = k } ( k = 0 , 1 , … , n ) J i := 1 , … , m i , J i k := j ∈ J i ∣ ind p i j = k ( k = 0 , 1 , … , n ) J_(i):={1,dots,m_(i)},J_(i)^(k):={j inJ_(i)∣ind(p_(ij))=k}(k=0,1,dots,n)J_{i}:=\left\{1, \ldots, m_{i}\right\}, J_{i}^{k}:=\left\{j \in J_{i} \mid \operatorname{ind}\left(p_{i j}\right)=k\right\}(k=0,1, \ldots, n)Ji:={1,…,mi},Jik:={j∈Ji∣ind(pij)=k}(k=0,1,…,n) とおき, m i k := ♯ J i k m i k := ♯ J i k m_(ik):=♯J_(i)^(k)m_{i k}:=\sharp J_{i}^{k}mik:=♯Jik とおく. ここで ♯ J i k ♯ J i k ♯J_(i)^(k)\sharp J_{i}^{k}♯Jik は, J i k J i k J_(i)^(k)J_{i}^{k}Jik の要素の個数を表す. c 1 c 1 c_(1)c_{1}c1 は f f fff の最小値なので, p 11 , … , p 1 m 1 p 11 , … , p 1 m 1 p_(11),dots,p_(1m_(1))p_{11}, \ldots, p_{1 m_{1}}p11,…,p1m1 は f f fff の最小点であり, それゆえ, これらの臨界点の 指数は 0 である。つまり, J 1 = J 1 0 J 1 = J 1 0 J_(1)=J_(1)^(0)J_{1}=J_{1}^{0}J1=J10 となる。 それゆえ, 十分小さな正の数 ε 1 ε 1 epsi_(1)\varepsilon_{1}ε1 （少なくとも c 2 − c 1 c 2 − c 1 c_(2)-c_(1)c_{2}-c_{1}c2−c1 より小さくとる）に対し， M f , c 1 + ε 1 M f , c 1 + ε 1 M_(f,c_(1)+epsi_(1))M_{f, c_{1}+\varepsilon_{1}}Mf,c1+ε1 から， m 1 m 1 m_(1)m_{1}m1 個の 0 胞体 (=1 点集合 ) ) ))) からなる直和位相空間
(5.3.4) X 1 := ∐ j = 1 m 1 { o j } (5.3.4) X 1 := ∐ j = 1 m 1   o j {:(5.3.4)X_(1):=∐_(j=1)^(m_(1)){o_(j)}:}\begin{equation*} X_{1}:=\coprod_{j=1}^{m_{1}}\left\{o_{j}\right\} \tag{5.3.4} \end{equation*}(5.3.4)X1:=∐j=1m1{oj}
へのホモトピー同値写像 R 1 R 1 R_(1)\mathcal{R}_{1}R1 で, R 1 ( p 1 j ) = o j ( j = 1 , … , m 1 ) R 1 p 1 j = o j j = 1 , … , m 1 R_(1)(p_(1j))=o_(j)(j=1,dots,m_(1))\mathcal{R}_{1}\left(p_{1 j}\right)=o_{j}\left(j=1, \ldots, m_{1}\right)R1(p1j)=oj(j=1,…,m1) を満たすよう なものが存在する。 2 以上の各 i i iii に対し，十分小さな正の数 ε i − 1 , ε i ε i − 1 , ε i epsi_(i-1),epsi_(i)\varepsilon_{i-1}, \varepsilon_{i}εi−1,εi （少なく とも, 各々 c i − c i − 1 , c i + 1 − c i c i − c i − 1 , c i + 1 − c i c_(i)-c_(i-1),c_(i+1)-c_(i)c_{i}-c_{i-1}, c_{i+1}-c_{i}ci−ci−1,ci+1−ci より小さい正の数) をとる。 M i ( i ≥ 2 ) M i ( i ≥ 2 ) M_(i)(i >= 2)M_{i}(i \geq 2)Mi(i≥2) を
M i := ( M f , c i − 1 + ε i − 1 ∪ η 1 i 1 D 1 ( 1 ) ⋯ ∪ η m i 1 i 1 D 1 ( 1 ) ∪ η 1 i 2 D 2 ( 1 ) ⋯ ∪ η m i 2 i 2 D 2 ( 1 ) ⋯ ∪ η 1 i n D n ( 1 ) ⋯ ∪ η m i n i n D n ( 1 ) ) ⊕ ( m i 0 j = 1 { o i j } ) M i := M f , c i − 1 + ε i − 1 ∪ η 1 i 1 D 1 ( 1 ) ⋯ ∪ η m i 1 i 1 D 1 ( 1 ) ∪ η 1 i 2 D 2 ( 1 ) ⋯ ∪ η m i 2 i 2 D 2 ( 1 ) ⋯ ∪ η 1 i n D n ( 1 ) ⋯ ∪ η m i n i n D n ( 1 ) ⊕ m i 0 j = 1 o i j {:[M_(i):=(M_(f,c_(i-1)+epsi_(i-1))uu_(eta_(1)^(i1))D^(1)(1)cdotsuu_(eta_(m_(i1))^(i1))D^(1)(1)uu_(eta_(1)^(i2))D^(2)(1)cdotsuu_(eta_(m_(i2))^(i2))D^(2)(1)cdots:}],[{:uu_(eta_(1)^(in))D^(n)(1)cdotsuu_(eta_(m_(in))^(in))D^(n)(1))o+(m_(i0)_(j=1){o_(ij)})]:}\begin{aligned} & M_{i}:=\left(M_{f, c_{i-1}+\varepsilon_{i-1}} \cup_{\eta_{1}^{i 1}} D^{1}(1) \cdots \cup_{\eta_{m_{i 1}}^{i 1}} D^{1}(1) \cup_{\eta_{1}^{i 2}} D^{2}(1) \cdots \cup_{\eta_{m_{i 2}}^{i 2}} D^{2}(1) \cdots\right. \\ & \left.\cup_{\eta_{1}^{i n}} D^{n}(1) \cdots \cup_{\eta_{m_{i n}}^{i n}} D^{n}(1)\right) \oplus\left(\underset{j=1}{m_{i 0}}\left\{o_{i j}\right\}\right) \end{aligned}Mi:=(Mf,ci−1+εi−1∪η1i1D1(1)⋯∪ηmi1i1D1(1)∪η1i2D2(1)⋯∪ηmi2i2D2(1)⋯∪η1inDn(1)⋯∪ηmininDn(1))⊕(mi0j=1{oij})
により定義する. ここで, 各 η η eta\etaη. は胞体を接着する写像を表す. このとき命題 5.3.2, 5.3.3を用いて, M f , c i + ε i M f , c i + ε i M_(f,c_(i)+epsi_(i))M_{f, c_{i}+\varepsilon_{i}}Mf,ci+εi から M i M i M_(i)M_{i}Mi へのホモトピー同値写像 R i R i R_(i)\mathcal{R}_{i}Ri で, 次の 条件を満たすようなものが存在することが示される：
(*) 各 p i j p i j p_(ij)p_{i j}pij に対し, 命題 5.3 .3 の証明で述べた p i j p i j p_(ij)p_{i j}pij を含むハンドルを H i j H i j H_(ij)H_{i j}Hij と すると, その像 R i ( H i j ) R i H i j R_(i)(H_(ij))\mathcal{R}_{i}\left(H_{i j}\right)Ri(Hij) が M i M i M_(i)M_{i}Mi の定義式における次元が ind ( p i j ) p i j (p_(ij))\left(p_{i j}\right)(pij) の胞体 のうちの 1 つに含まれる.
以上のことを踏まえ, まず， M M MMM がコンパクト（つまり閉多様体）の場合を考 えよう. この場合, f f fff の臨界点の全体は有限集合になるので, C v C v C^(v)\mathcal{C}^{v}Cv も有限集合 になる。簡単のため, ♯ C v = 4 , m 1 = ⋯ = m 4 = 1 ♯ C v = 4 , m 1 = ⋯ = m 4 = 1 ♯C^(v)=4,m_(1)=cdots=m_(4)=1\sharp \mathcal{C}^{v}=4, m_{1}=\cdots=m_{4}=1♯Cv=4,m1=⋯=m4=1 の場合を考えることにす る. f − 1 ( c i ) f − 1 c i f^(-1)(c_(i))f^{-1}\left(c_{i}\right)f−1(ci) に属する f f fff の唯一の臨界点を p i p i p_(i)p_{i}pi とし，その指数を k i k i k_(i)k_{i}ki とする. 容易に, k 1 = 0 , k 4 = n k 1 = 0 , k 4 = n k_(1)=0,k_(4)=nk_{1}=0, k_{4}=nk1=0,k4=n, および 1 ≤ k 2 , k 3 ≤ n − 1 1 ≤ k 2 , k 3 ≤ n − 1 1 <= k_(2),k_(3) <= n-11 \leq k_{2}, k_{3} \leq n-11≤k2,k3≤n−1 であることが示される。そ れゆえ,
(5.3.5) X 1 = { o } , M i = M f , c i − 1 + ε i − 1 ∪ η 1 i , k i D k i ( 1 ) ( i = 2 , 3 , 4 ) (5.3.5) X 1 = { o } , M i = M f , c i − 1 + ε i − 1 ∪ η 1 i , k i D k i ( 1 ) ( i = 2 , 3 , 4 ) {:(5.3.5)X_(1)={o}","quadM_(i)=M_(f,c_(i-1)+epsi_(i-1))uu_(eta_(1)^(i,k_(i)))D^(k_(i))(1)quad(i=2","3","4):}\begin{equation*} X_{1}=\{o\}, \quad M_{i}=M_{f, c_{i-1}+\varepsilon_{i-1}} \cup_{\eta_{1}^{i, k_{i}}} D^{k_{i}}(1) \quad(i=2,3,4) \tag{5.3.5} \end{equation*}(5.3.5)X1={o},Mi=Mf,ci−1+εi−1∪η1i,kiDki(1)(i=2,3,4)
となる。簡単のため, η i := η 1 i , k i ( i = 2 , 3 , 4 ) η i := η 1 i , k i ( i = 2 , 3 , 4 ) eta_(i):=eta_(1)^(i,k_(i))(i=2,3,4)\eta_{i}:=\eta_{1}^{i, k_{i}}(i=2,3,4)ηi:=η1i,ki(i=2,3,4) とおく. 補題 5.3.6によれば, ホモトピー同値写像 R 3 : M f , c 3 + ε 3 → M 3 R 3 : M f , c 3 + ε 3 → M 3 R_(3):M_(f,c_(3)+epsi_(3))rarrM_(3)\mathcal{R}_{3}: M_{f, c_{3}+\varepsilon_{3}} \rightarrow M_{3}R3:Mf,c3+ε3→M3 は, M 4 = M M 4 = M M_(4)=MM_{4}=MM4=M から M ~ 3 1 := M 3 ∪ R 3 ∘ η 4 M ~ 3 1 := M 3 ∪ R 3 ∘ η 4 widetilde(M)_(3)^(1):=M_(3)uu_(R_(3)@eta_(4))\widetilde{M}_{3}^{1}:=M_{3} \cup_{\mathcal{R}_{3} \circ \eta_{4}}M~31:=M3∪R3∘η4 D n ( 1 ) D n ( 1 ) D^(n)(1)D^{n}(1)Dn(1) へのホモトピー同値写像に拡張される。この拡張されたホモトピー同値写像を R ~ 3 R ~ 3 widetilde(R)_(3)\widetilde{\mathcal{R}}_{3}R~3 と表す.
同じく, 補題 5.3 .6 によれば, ホモトピー同倡写像 R 2 : M f , c 2 + ε 2 → M 2 R 2 : M f , c 2 + ε 2 → M 2 R_(2):M_(f,c_(2)+epsi_(2))rarrM_(2)\mathcal{R}_{2}: M_{f, c_{2}+\varepsilon_{2}} \rightarrow M_{2}R2:Mf,c2+ε2→M2 は, M 3 M 3 M_(3)M_{3}M3 から M ~ 2 1 := M 2 ∪ R 2 ∘ η 3 D k 3 ( 1 ) M ~ 2 1 := M 2 ∪ R 2 ∘ η 3 D k 3 ( 1 ) widetilde(M)_(2)^(1):=M_(2)uu_(R_(2)@eta_(3))D^(k_(3))(1)\widetilde{M}_{2}^{1}:=M_{2} \cup_{\mathcal{R}_{2} \circ \eta_{3}} D^{k_{3}}(1)M~21:=M2∪R2∘η3Dk3(1) へのホモトピー同値写像に拡張され る. この拡張されたホモトピー同値写像を R ~ 2 R ~ 2 widetilde(R)_(2)\widetilde{R}_{2}R~2 と表す. 再び命題 5.3 .6 によれ ば, このホモトピー同値写像 R ~ 2 R ~ 2 widetilde(R)_(2)\widetilde{\mathcal{R}}_{2}R~2 は, M ~ 3 1 M ~ 3 1 widetilde(M)_(3)^(1)\widetilde{M}_{3}^{1}M~31 から
(5.3.6) M ~ 2 2 := M ~ 2 1 ∪ R ~ 2 ∘ R 3 ∘ η 4 D n ( 1 ) (5.3.6) M ~ 2 2 := M ~ 2 1 ∪ R ~ 2 ∘ R 3 ∘ η 4 D n ( 1 ) {:(5.3.6) widetilde(M)_(2)^(2):= widetilde(M)_(2)^(1)uu_( widetilde(R)_(2)@R_(3)@eta_(4))D^(n)(1):}\begin{equation*} \widetilde{M}_{2}^{2}:=\widetilde{M}_{2}^{1} \cup_{\widetilde{\mathcal{R}}_{2} \circ \mathcal{R}_{3} \circ \eta_{4}} D^{n}(1) \tag{5.3.6} \end{equation*}(5.3.6)M~22:=M~21∪R~2∘R3∘η4Dn(1)
へのホモトピー同値写像に拡張される. この拡張されたホモトピー同値写像を R ~ ~ 2 R ~ ~ 2 widetilde(widetilde(R))_(2)\widetilde{\widetilde{R}}_{2}R~~2 と表す.
同じく, 補題 5.3 .6 によれば,ホモトピー同値写像 R 1 : M f , c 1 + ε 1 → X 1 R 1 : M f , c 1 + ε 1 → X 1 R_(1):M_(f,c_(1)+epsi_(1))rarrX_(1)\mathcal{R}_{1}: M_{f, c_{1}+\varepsilon_{1}} \rightarrow X_{1}R1:Mf,c1+ε1→X1 は, M 2 M 2 M_(2)M_{2}M2 から CW 複体
X 2 := X 1 ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) = { o } ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) X 2 := X 1 ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) = { o } ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) X_(2):=X_(1)uu_(R_(1)@eta_(2))D^(k_(2))(1)={o}uu_(R_(1)@eta_(2))D^(k_(2))(1)X_{2}:=X_{1} \cup_{\mathcal{R}_{1} \circ \eta_{2}} D^{k_{2}}(1)=\{o\} \cup_{\mathcal{R}_{1} \circ \eta_{2}} D^{k_{2}}(1)X2:=X1∪R1∘η2Dk2(1)={o}∪R1∘η2Dk2(1)
へのホモトピー同値写像に拡張される。この拡張されたホモトピー同値写像を R ~ 1 R ~ 1 widetilde(R)_(1)\widetilde{\mathcal{R}}_{1}R~1 と表す. 再び命題5.3.6によれば, このホモトピー同値写像 R ~ 1 R ~ 1 widetilde(R)_(1)\widetilde{\mathcal{R}}_{1}R~1 は, M ~ 2 1 M ~ 2 1 widetilde(M)_(2)^(1)\widetilde{M}_{2}^{1}M~21 から CW 複体
(5.3.7) X 3 := { o } ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) ∪ R ~ 1 ∘ R 2 ∘ η 3 D k 3 ( 1 ) (5.3.7) X 3 := { o } ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) ∪ R ~ 1 ∘ R 2 ∘ η 3 D k 3 ( 1 ) {:(5.3.7)X_(3):={o}uu_(R_(1)@eta_(2))D^(k_(2))(1)uu_( widetilde(R)_(1)@R_(2)@eta_(3))D^(k_(3))(1):}\begin{equation*} X_{3}:=\{o\} \cup_{\mathcal{R}_{1} \circ \eta_{2}} D^{k_{2}}(1) \cup_{\widetilde{\mathcal{R}}_{1} \circ \mathcal{R}_{2} \circ \eta_{3}} D^{k_{3}}(1) \tag{5.3.7} \end{equation*}(5.3.7)X3:={o}∪R1∘η2Dk2(1)∪R~1∘R2∘η3Dk3(1)
へのホモトピー同値写像に拡張される。この拡張されたホモトピー同値写像を R ~ ~ 1 R ~ ~ 1 widetilde(widetilde(R))_(1)\widetilde{\widetilde{R}}_{1}R~~1 と表す. 再び命題 5.3 .6 によれば, このホモトピー同値写像 R ~ 1 R ~ 1 widetilde(R)_(1)\widetilde{\mathcal{R}}_{1}R~1 は, M ~ 2 2 M ~ 2 2 widetilde(M)_(2)^(2)\widetilde{M}_{2}^{2}M~22 から CW 複体
(5.3.8) X 4 := { o } ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) ∪ R ~ 1 ∘ R 2 ∘ η 3 D k 3 ( 1 ) ∪ R ~ 1 ∘ R ~ 2 ∘ R 3 ∘ η 4 D n ( 1 ) (5.3.8) X 4 := { o } ∪ R 1 ∘ η 2 D k 2 ( 1 ) ∪ R ~ 1 ∘ R 2 ∘ η 3 D k 3 ( 1 ) ∪ R ~ 1 ∘ R ~ 2 ∘ R 3 ∘ η 4 D n ( 1 ) {:(5.3.8)X_(4):={o}uu_(R_(1)@eta_(2))D^(k_(2))(1)uu_( widetilde(R)_(1)@R_(2)@eta_(3))D^(k_(3))(1)uu_( widetilde(R)_(1)@ widetilde(R)_(2)@R_(3)@eta_(4))D^(n)(1):}\begin{equation*} X_{4}:=\{o\} \cup_{\mathcal{R}_{1} \circ \eta_{2}} D^{k_{2}}(1) \cup_{\widetilde{\mathcal{R}}_{1} \circ \mathcal{R}_{2} \circ \eta_{3}} D^{k_{3}}(1) \cup_{\widetilde{\mathcal{R}}_{1} \circ \widetilde{\mathcal{R}}_{2} \circ \mathcal{R}_{3} \circ \eta_{4}} D^{n}(1) \tag{5.3.8} \end{equation*}(5.3.8)X4:={o}∪R1∘η2Dk2(1)∪R~1∘R2∘η3Dk3(1)∪R~1∘R~2∘R3∘η4Dn(1)
へのホモトピー同値写像に拡張される。この拡張されたホモトピー同値写像を R ~ ~ 1 R ~ ~ 1 widetilde(widetilde(R))_(1)\widetilde{\widetilde{R}}_{1}R~~1 と表す. 写像 Φ Φ Phi\PhiΦ を
(5.3.9) Φ := R ~ ~ 1 ∘ R ~ ~ 2 ∘ R ~ 3 : M → X 4 (5.3.9) Φ := R ~ ~ 1 ∘ R ~ ~ 2 ∘ R ~ 3 : M → X 4 {:(5.3.9)Phi:= widetilde(widetilde(R))_(1)@ widetilde(widetilde(R))_(2)@ widetilde(R)_(3):M rarrX_(4):}\begin{equation*} \Phi:=\widetilde{\widetilde{R}}_{1} \circ \widetilde{\widetilde{R}}_{2} \circ \widetilde{\mathcal{R}}_{3}: M \rightarrow X_{4} \tag{5.3.9} \end{equation*}(5.3.9)Φ:=R~~1∘R~~2∘R~3:M→X4
によって定義する：
M = M 4 → R ~ 3 M ~ 3 1 → R ~ 2 M ~ 2 2 → R ~ ~ 1 X 4 ∪ ∪ ∪ M f 3 , c 3 + ε 3 → R 3 M 3 → R ~ 2 M ~ 2 1 → R ~ ~ 1 X 3 (5.3.10) ∪ M f 2 , c 2 + ε 2 → R 2 M 2 → R ~ 1 X 2 M f 1 , c 1 + ε 1 → R 1 X 1 = { o } M = M 4 → R ~ 3 M ~ 3 1 → R ~ 2 M ~ 2 2 → R ~ ~ 1 X 4 ∪ ∪ ∪ M f 3 , c 3 + ε 3 → R 3 M 3 → R ~ 2 M ~ 2 1 → R ~ ~ 1 X 3 (5.3.10) ∪ M f 2 , c 2 + ε 2 → R 2 M 2 → R ~ 1 X 2 M f 1 , c 1 + ε 1 → R 1 X 1 = { o } {:[M=M_(4)quadrarr" widetilde(R)_(3)"quad widetilde(M)_(3)^(1)quadrarr" widetilde(R)_(2)"quad widetilde(M)_(2)^(2)quadrarr" widetilde(widetilde(R))_(1)"quadX_(4)],[ uuquad uuquad uu],[M_(f_(3),c_(3)+epsi_(3))quadrarr"R_(3)"quadM_(3)quadrarr" widetilde(R)_(2)"quad widetilde(M)_(2)^(1)quadrarr" widetilde(widetilde(R))_(1)"quadX_(3)],[(5.3.10) uu],[M_(f_(2),c_(2)+epsi_(2))quadrarr"R_(2)"quadM_(2)quadrarr" widetilde(R)_(1)"quadX_(2)],[M_(f_(1),c_(1)+epsi_(1))quadrarr"R_(1)"quadX_(1)={o}]:}\begin{align*} & M=M_{4} \quad \xrightarrow{\widetilde{\mathcal{R}}_{3}} \quad \widetilde{M}_{3}^{1} \quad \xrightarrow{\widetilde{\mathcal{R}}_{2}} \quad \widetilde{M}_{2}^{2} \quad \xrightarrow{\widetilde{\widetilde{R}}_{1}} \quad X_{4} \\ & \cup \quad \cup \quad \cup \\ & M_{f_{3}, c_{3}+\varepsilon_{3}} \quad \xrightarrow{\mathcal{R}_{3}} \quad M_{3} \quad \xrightarrow{\widetilde{\mathcal{R}}_{2}} \quad \widetilde{M}_{2}^{1} \quad \xrightarrow{\widetilde{\widetilde{R}}_{1}} \quad X_{3} \\ & \cup \tag{5.3.10}\\ & M_{f_{2}, c_{2}+\varepsilon_{2}} \quad \xrightarrow{\mathcal{R}_{2}} \quad M_{2} \quad \xrightarrow{\widetilde{\mathcal{R}}_{1}} \quad X_{2} \\ & M_{f_{1}, c_{1}+\varepsilon_{1}} \quad \xrightarrow{\mathcal{R}_{1}} \quad X_{1}=\{o\} \end{align*}M=M4→R~3M~31→R~2M~22→R~~1X4∪∪∪Mf3,c3+ε3→R3M3→R~2M~21→R~~1X3(5.3.10)∪Mf2,c2+ε2→R2M2→R~1X2Mf1,c1+ε1→R1X1={o}
この写像 Φ Φ Phi\PhiΦ は, M M MMM から CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 X X XXX へのホモトピー同値写像であり, 臨界点 p 1 , … , p 4 p 1 , … , p 4 p_(1),dots,p_(4)p_{1}, \ldots, p_{4}p1,…,p4 を通る十分小さなハンドル H 1 , … , H 4 H 1 , … , H 4 H_(1),dots,H_(4)H_{1}, \ldots, H_{4}H1,…,H4 を各々, X 4 X 4 X_(4)X_{4}X4 の 0 胞体, k 2 k 2 k_(2)k_{2}k2 胞体, k 3 k 3 k_(3)k_{3}k3 胞体, n n nnn 胞体へ写していること, それゆえ, 定理の主張における条件 (*)を満たすことがわかる. l , m 1 , … , m 4 l , m 1 , … , m 4 l,m_(1),dots,m_(4)l, m_{1}, \ldots, m_{4}l,m1,…,m4 が一般の場合も同様に, 補題 5.3.6 を用いて, 定理の主張を導くことができる.
次に, M M MMM が非コンパクトの場合を考えよう.この場合， f f fff の臨界点の全体 は無限集合になりうる。それゆえ, C v C v C^(v)\mathcal{C}^{v}Cv も無限集合になりうる。 C v C v C^(v)\mathcal{C}^{v}Cv が有限集合の場合は, ♯ C v = { c i ∣ i = 1 , … , m } ♯ C v = c i ∣ i = 1 , … , m ♯C^(v)={c_(i)∣i=1,dots,m}\sharp \mathcal{C}^{v}=\left\{c_{i} \mid i=1, \ldots, m\right\}♯Cv={ci∣i=1,…,m} として, 任意の a > c m a > c m a > c_(m)a>c_{m}a>cm と十分小さ な正の数 ε ε epsi\varepsilonε に対し, f − 1 ( [ c m + ε , a ] ) f − 1 c m + ε , a f^(-1)([c_(m)+epsi,a])f^{-1}\left(\left[c_{m}+\varepsilon, a\right]\right)f−1([cm+ε,a]) には臨界点が存在せず, かつ f − 1 ( [ c m + f − 1 c m + f^(-1)([c_(m)+:}f^{-1}\left(\left[c_{m}+\right.\right.f−1([cm+ ε , a ] ) ε , a ] ) epsi,a])\varepsilon, a])ε,a]) はコンパクトなので, 命題 5.3 .2 により, M f , c m + ε M f , c m + ε M_(f,c_(m)+epsi)M_{f, c_{m}+\varepsilon}Mf,cm+ε は M f , a M f , a M_(f,a)M_{f, a}Mf,a の変位レトラ
クトである. a a aaa の任意性から, M f , c m + ε M f , c m + ε M_(f,c_(m)+epsi)M_{f, c_{m}+\varepsilon}Mf,cm+ε が M M MMM の変位レトラクトであることが わかる. R R R\mathcal{R}R を M M MMM から M f , c m + ε M f , c m + ε M_(f,c_(m)+epsi)M_{f, c_{m}+\varepsilon}Mf,cm+ε への変位レトラクションとする. 一方, 上述 のように, M f , c m + ε M f , c m + ε M_(f,c_(m)+epsi)M_{f, c_{m}+\varepsilon}Mf,cm+ε からある CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 X X XXX へのホモトピー同値写像 Φ Φ Phi\PhiΦ で定理 5.3.4 の主張における条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たすようなものを構成することができる. Φ ∘ R Φ ∘ R Phi@R\Phi \circ \mathcal{R}Φ∘R は, 定理 5.3.4 の主張における条件 (*) を満たす M M MMM から CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 X X XXX へ のホモトピー同値写像を与える.
次に, C v C v C^(v)\mathcal{C}^{v}Cv が無限集合の場合を考えよう。簡単のため, ♯ C v = ∞ , m i = ♯ C v = ∞ , m i = ♯C^(v)=oo,m_(i)=\sharp \mathcal{C}^{v}=\infty, m_{i}=♯Cv=∞,mi= 1 ( i ∈ N ) 1 ( i ∈ N ) 1(i inN)1(i \in \mathbb{N})1(i∈N) の場合を考えることにする. f − 1 ( c i ) f − 1 c i f^(-1)(c_(i))f^{-1}\left(c_{i}\right)f−1(ci) に属する f f fff の唯一の臨界点を p i p i p_(i)p_{i}pi とし，その指数を k i k i k_(i)k_{i}ki とする．容易に， k 1 = 0 k 1 = 0 k_(1)=0k_{1}=0k1=0, および 1 ≤ k i ≤ n ( i ≥ 2 ) 1 ≤ k i ≤ n ( i ≥ 2 ) 1 <= k_(i) <= n(i >= 2)1 \leq k_{i} \leq n(i \geq 2)1≤ki≤n(i≥2) であることが示される. それゆえ,
X 1 = { o } , M i = M f , c i − 1 + ε i − 1 ∪ η 1 i , k i D k i ( 1 ) ( i ≥ 2 ) X 1 = { o } , M i = M f , c i − 1 + ε i − 1 ∪ η 1 i , k i D k i ( 1 ) ( i ≥ 2 ) X_(1)={o},quadM_(i)=M_(f,c_(i-1)+epsi_(i-1))uu_(eta_(1)^(i,k_(i)))D^(k_(i))(1)quad(i >= 2)X_{1}=\{o\}, \quad M_{i}=M_{f, c_{i-1}+\varepsilon_{i-1}} \cup_{\eta_{1}^{i, k_{i}}} D^{k_{i}}(1) \quad(i \geq 2)X1={o},Mi=Mf,ci−1+εi−1∪η1i,kiDki(1)(i≥2)
となる. 簡単のため, η i := η 1 i , k i ( i ≥ 2 ) η i := η 1 i , k i ( i ≥ 2 ) eta_(i):=eta_(1)^(i,k_(i))(i >= 2)\eta_{i}:=\eta_{1}^{i, k_{i}}(i \geq 2)ηi:=η1i,ki(i≥2) とおく. 各自然数 i i iii に対し, 前述 のホモトピー同値写像 R j : M f , c j → M j ( 1 ≤ j ≤ i − 1 ) R j : M f , c j → M j ( 1 ≤ j ≤ i − 1 ) R_(j):M_(f,c_(j))rarrM_(j)(1 <= j <= i-1)\mathcal{R}_{j}: M_{f, c_{j}} \rightarrow M_{j}(1 \leq j \leq i-1)Rj:Mf,cj→Mj(1≤j≤i−1) を用いて, M i M i M_(i)M_{i}Mi から式 (5.3.8) におけるように定義される CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 X i X i X_(i)X_{i}Xi へのホモトピー同値写像 Φ i Φ i Phi_(i)\Phi_{i}Φi を式 (5.3.9)におけるように構成することができる。明らかに, 各 R i R i R_(i)\mathcal{R}_{i}Ri に 対し, M i M i M_(i)M_{i}Mi から M f , c i + ε i M f , c i + ε i M_(f,c_(i)+epsi_(i))M_{f, c_{i}+\varepsilon_{i}}Mf,ci+εi へのホモトピー同値写像 ι ι i ι ι i iotaiota_(i)\iota \iota_{i}ιιi で単射となり, かつ, R i ∘ R i ∘ R_(i)@\mathcal{R}_{i} \circRi∘ ι i ∼ id M i , ι i ∘ R i = id M f , c i + ε i ι i ∼ id M i , ι i ∘ R i = id M f , c i + ε i iota_(i)∼id_(M_(i)),iota_(i)@R_(i)=id_(M_(f,c_(i)+epsi_(i)))\iota_{i} \sim \operatorname{id}_{M_{i}}, \iota_{i} \circ \mathcal{R}_{i}=\operatorname{id}_{M_{f, c_{i}+\varepsilon_{i}}}ιi∼idMi,ιi∘Ri=idMf,ci+εi となるようなものをとることができる. ι i ι i iota_(i)\iota_{i}ιi から自
{ ι ^ i j := ι ^ j − 1 ∘ ⋯ ∘ ι ^ i : M i → M j } 1 ≤ i < j < ∞ ι ^ i j := ι ^ j − 1 ∘ ⋯ ∘ ι ^ i : M i → M j 1 ≤ i < j < ∞ { widehat(iota)_(ij):= widehat(iota)_(j-1)@cdots@ widehat(iota)_(i):M_(i)rarrM_(j)}_(1 <= i < j < oo)\left\{\widehat{\iota}_{i j}:=\widehat{\iota}_{j-1} \circ \cdots \circ \widehat{\iota}_{i}: M_{i} \rightarrow M_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty}{ι^ij:=ι^j−1∘⋯∘ι^i:Mi→Mj}1≤i<j<∞
が帰納的系を与えるようにとることができる. 一方, CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体の族 { X i } i = 1 ∞ X i i = 1 ∞ {X_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{Xi}i=1∞ に対し, X i X i X_(i)X_{i}Xi から X i + 1 X i + 1 X_(i+1)X_{i+1}Xi+1 への単射連続写像 ι ¯ i ι ¯ i bar(iota)_(i)\bar{\iota}_{i}ι¯i の族 { ι ¯ i } i = 1 ∞ ι ¯ i i = 1 ∞ { bar(iota)_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{\bar{\iota}_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{ι¯i}i=1∞ で,
{ ι ¯ i j := ι ¯ j − 1 ∘ ⋯ ∘ ι ¯ i : X i → X j } 1 ≤ i < j < ∞ ι ¯ i j := ι ¯ j − 1 ∘ ⋯ ∘ ι ¯ i : X i → X j 1 ≤ i < j < ∞ { bar(iota)_(ij):= bar(iota)_(j-1)@cdots@ bar(iota)_(i):X_(i)rarrX_(j)}_(1 <= i < j < oo)\left\{\bar{\iota}_{i j}:=\bar{\iota}_{j-1} \circ \cdots \circ \bar{\iota}_{i}: X_{i} \rightarrow X_{j}\right\}_{1 \leq i<j<\infty}{ι¯ij:=ι¯j−1∘⋯∘ι¯i:Xi→Xj}1≤i<j<∞
が帰納的系を与えるようなものを自然に与えることができる。明らかに, こ の帰納的系の帰納的極限 lim X i lim X i limX_(i)\lim X_{i}limXi は CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体である。また, Φ j ∘ ι ^ i j = ι ¯ i j ∘ Φ i Φ j ∘ ι ^ i j = ι ¯ i j ∘ Φ i Phi_(j)@ widehat(iota)_(ij)= bar(iota)_(ij)@Phi_(i)\Phi_{j} \circ \widehat{\iota}_{i j}=\bar{\iota}_{i j} \circ \Phi_{i}Φj∘ι^ij=ι¯ij∘Φi ( i < j ) ( i < j ) (i < j)(i<j)(i<j) が成り立つので, 列 { Φ i : M i → X i } i = 1 ∞ Φ i : M i → X i i = 1 ∞ {Phi_(i):M_(i)rarrX_(i)}_(i=1)^(oo)\left\{\Phi_{i}: M_{i} \rightarrow X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}{Φi:Mi→Xi}i=1∞ の極限写像
Φ ∞ := lim ⟶ Φ i : lim ⟶ M i → → lim X i Φ ∞ := lim ⟶   Φ i : lim ⟶   M i → → lim X i Phi_(oo):=lim longrightarrowPhi_(i):lim longrightarrowM_(i)rarrrarr"lim"X_(i)\Phi_{\infty}:=\underset{\longrightarrow}{\lim } \Phi_{i}: \underset{\longrightarrow}{\lim } M_{i} \rightarrow \xrightarrow{\lim } X_{i}Φ∞:=lim⟶Φi:lim⟶Mi→→limXi
が定義される. この極限写像は, 各次数のホモトピー群間の同型写像を与え
るような連続写像になる。簡単のため, M ∞ := lim M i , X ∞ := lim X i M ∞ := lim M i , X ∞ := lim X i M_(oo):=limM_(i),X_(oo):=limX_(i)M_{\infty}:=\lim M_{i}, X_{\infty}:=\lim X_{i}M∞:=limMi,X∞:=limXi とお く. M ∞ M ∞ M_(oo)M_{\infty}M∞ は M M MMM と同一視されることを注意しておく.ホイットニーの埋め込み可能性定理によれば, M M MMM から R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 埋め込み F F FFF が存在する。 N ( F ( M ) ) N ( F ( M ) ) N(F(M))N(F(M))N(F(M)) を F ( M ) F ( M ) F(M)F(M)F(M) の十分小さな菅状近傍（つまり，Fの法ベクトルバンドルの０切断 の十分小さな近傍の法指数写像による像）とする。明らかに, N ( F ( M ) ) N ( F ( M ) ) N(F(M))N(F(M))N(F(M)) は CW CW CW\mathrm{CW}CW 胞体分割可能であり, CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体とみなされる。また、明らかに, F ( M ) F ( M ) F(M)F(M)F(M) は N ( F ( M ) ) N ( F ( M ) ) N(F(M))N(F(M))N(F(M)) の変位レトラクトである。 R ^ R ^ widehat(R)\widehat{\mathcal{R}}R^ を N ( F ( M ) ) N ( F ( M ) ) N(F(M))N(F(M))N(F(M)) から F ( M ) F ( M ) F(M)F(M)F(M) への変位レ トラクションとする. このとき, Φ ~ ∞ := Φ ∞ ∘ F − 1 ∘ R ^ Φ ~ ∞ := Φ ∞ ∘ F − 1 ∘ R ^ widetilde(Phi)_(oo):=Phi_(oo)@F^(-1)@ widehat(R)\widetilde{\Phi}_{\infty}:=\Phi_{\infty} \circ F^{-1} \circ \widehat{\mathcal{R}}Φ~∞:=Φ∞∘F−1∘R^ は, CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 N ( F ( M ) ) N ( F ( M ) ) N(F(M))N(F(M))N(F(M)) から CW 複体 X ∞ X ∞ X_(oo)X_{\infty}X∞ への各次数のホモトピー群間の同型写像を与えるような連続写像になる：
したがって, 定理 5.3.7（ホワイトヘッドの定理）により， Φ ~ ∞ Φ ~ ∞ widetilde(Phi)_(oo)\widetilde{\Phi}_{\infty}Φ~∞ がホモトピー 同値写像であることが導かれ，さらにこの事実から， Φ ∞ Φ ∞ Phi_(oo)\Phi_{\infty}Φ∞ が M M MMM から X ∞ へ の X ∞ へ の X_(oo)へのX_{\infty} へ のX∞への ホモトピー同値写像を与えることがわかる。また、明らかに, このホモトピー 同値写像は, 定理 5.3.4 の主張における条件 ( ∗ ) ( ∗ ) (**)(*)(∗) を満たす。したがって, M M MMM が 非コンパクトである場合も, 定理 5.3.4 の主張が示された.
定理 5.3 .4 を用いて, 次のモースの不等式を導くことができる。
定理 5.3.8（モースの不等式） M M MMM を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉多様体とし, b k ( M ) （ k b k ( M ) （ k b_(k)(M)（kb_{k}(M) （ kbk(M)（k = 0 , 1 , … , n ) = 0 , 1 , … , n ) =0,1,dots,n)=0,1, \ldots, n)=0,1,…,n) を M M MMM 次ベッチ数とする。また, f f fff を M M MMM 上のモース関数と し, f f fff の指数 k k kkk の臨界点の個数を β k ( f ) β k ( f ) beta_(k)(f)\beta_{k}(f)βk(f) とする ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) (k=0,1,2,dots,n)(k=0,1,2, \ldots, n)(k=0,1,2,…,n). このと き, β k ( f ) ≥ b k ( M ) ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) β k ( f ) ≥ b k ( M ) ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) beta_(k)(f) >= b_(k)(M)(k=0,1,2,dots,n)\beta_{k}(f) \geq b_{k}(M)(k=0,1,2, \ldots, n)βk(f)≥bk(M)(k=0,1,2,…,n), および ∑ k = 0 n ( − 1 ) k β k ( f ) = χ ( M ) ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k β k ( f ) = χ ( M ) sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)beta_(k)(f)=chi(M)\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \beta_{k}(f)=\chi(M)∑k=0n(−1)kβk(f)=χ(M) が 成り立つ.
この定理を示すための準備をしよう. 位相空間の対 A ⊂ X A ⊂ X A sub XA \subset XA⊂X を考える. C k ( X , F ) , C k ( A , F ) ( k = 0 , 1 , 2 , … ) C k ( X , F ) , C k ( A , F ) ( k = 0 , 1 , 2 , … ) C_(k)(X,F),C_(k)(A,F)(k=0,1,2,dots)C_{k}(X, \mathbb{F}), C_{k}(A, \mathbb{F})(k=0,1,2, \ldots)Ck(X,F),Ck(A,F)(k=0,1,2,…) を X , A X , A X,AX, AX,A の F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異チェイン群 とし, ∂ k X : C k ( X , F ) → C k − 1 ( X , F ) ( k = 0 , 1 , 2 , … ) ∂ k X : C k ( X , F ) → C k − 1 ( X , F ) ( k = 0 , 1 , 2 , … ) del_(k)^(X):C_(k)(X,F)rarrC_(k-1)(X,F)(k=0,1,2,dots)\partial_{k}^{X}: C_{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k-1}(X, \mathbb{F})(k=0,1,2, \ldots)∂kX:Ck(X,F)→Ck−1(X,F)(k=0,1,2,…) を， X X XXX の特異チエイ ン複体における境界作用素とする。明らかに, これらの境界作用素は, 商 F F F\mathbb{F}F
加群 C k ( X , A ; F ) := C k ( X , F ) / C k ( A , F ) C k ( X , A ; F ) := C k ( X , F ) / C k ( A , F ) C_(k)(X,A;F):=C_(k)(X,F)//C_(k)(A,F)quadC_{k}(X, A ; \mathbb{F}):=C_{k}(X, \mathbb{F}) / C_{k}(A, \mathbb{F}) \quadCk(X,A;F):=Ck(X,F)/Ck(A,F) から商 F F F\mathbb{F}F 加群 C k − 1 ( X , A ; F ) := C k − 1 ( X , A ; F ) := quadC_(k-1)(X,A;F):=\quad C_{k-1}(X, A ; \mathbb{F}):=Ck−1(X,A;F):= C k − 1 ( X , F ) / C k − 1 ( A , F ) C k − 1 ( X , F ) / C k − 1 ( A , F ) C_(k-1)(X,F)//C_(k-1)(A,F)C_{k-1}(X, \mathbb{F}) / C_{k-1}(A, \mathbb{F})Ck−1(X,F)/Ck−1(A,F) への準同型写像を導く. この準同型写像を ∂ k X , A ∂ k X , A del_(k)^(X,A)\partial_{k}^{X, A}∂kX,A と表 す. このとき, 次の系列
⋯ → ∂ k + 1 X , A C k ( X , A ; F ) → ∂ k X , A C k − 1 ( X , A ; F ) → ∂ k − 1 X , A ⋯ ⋯ → ∂ 3 X , A C 2 ( X , A ; F ) → ∂ 2 X , A C 1 ( X , A ; F ) → ∂ 1 X , A C 0 ( X , A ; F ) → 0 { 0 } ⋯ → ∂ k + 1 X , A C k ( X , A ; F ) → ∂ k X , A C k − 1 ( X , A ; F ) → ∂ k − 1 X , A ⋯ ⋯ → ∂ 3 X , A C 2 ( X , A ; F ) → ∂ 2 X , A C 1 ( X , A ; F ) → ∂ 1 X , A C 0 ( X , A ; F ) → 0 { 0 } {:[cdotsrarr"del_(k+1)^(X,A)"C_(k)(X","A;F)rarr"del_(k)^(X,A)"C_(k-1)(X","A;F)rarr"del_(k-1)^(X,A)"cdots],[cdotsrarr"del_(3)^(X,A)"C_(2)(X","A;F)rarr"del_(2)^(X,A)"C_(1)(X","A;F)rarr"del_(1)^(X,A)"C_(0)(X","A;F)rarr"0"{0}]:}\begin{gathered} \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}^{X, A}} C_{k}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}^{X, A}} C_{k-1}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}^{X, A}} \cdots \\ \cdots \xrightarrow{\partial_{3}^{X, A}} C_{2}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}^{X, A}} C_{1}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}^{X, A}} C_{0}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\} \end{gathered}⋯→∂k+1X,ACk(X,A;F)→∂kX,ACk−1(X,A;F)→∂k−1X,A⋯⋯→∂3X,AC2(X,A;F)→∂2X,AC1(X,A;F)→∂1X,AC0(X,A;F)→0{0}
は, チエイン複体を与える. このチェイン複体の k k kkk 次ホモロジー群を空間対 ( X , A ) ( X , A ) (X,A)(X, A)(X,A) の F F F\mathbb{F}F 係数の k k k\boldsymbol{k}k 次相対特異ホモロジー群（ k k k\boldsymbol{k}k-th relative singular homology group of F F F\mathbb{F}F-coefficient）といい，本書では H k sing ( X , A ; F ) H k sing ( X , A ; F ) H_(k)^(sing)(X,A;F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, A ; \mathbb{F})Hksing(X,A;F) と表す.
注意 空間対 ( X , A ) ( X , A ) (X,A)(X, A)(X,A) に対し, F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次相対特異ホモロジー群 H k ( X , A ; F ) H k ( X , A ; F ) H_(k)(X,A;F)H_{k}(X, A ; \mathbb{F})Hk(X,A;F) は, X / A X / A X//AX / AX/A の F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異ホモロジー群 H k ( X / A ; F ) H k ( X / A ; F ) H_(k)(X//A;F)H_{k}(X / A ; \mathbb{F})Hk(X/A;F) と同型である.
( X , A ) , ( Y , B ) ( A ⊂ X , B ⊂ Y ) ( X , A ) , ( Y , B ) ( A ⊂ X , B ⊂ Y ) (X,A),(Y,B)(A sub X,B sub Y)(X, A),(Y, B)(A \subset X, B \subset Y)(X,A),(Y,B)(A⊂X,B⊂Y) を位相空間の対とし, f f fff を X X XXX から Y Y YYY への 連続写像で f ( A ) ⊂ B f ( A ) ⊂ B f(A)sub Bf(A) \subset Bf(A)⊂B を満たすようなものとする。このとき, ( X , A ) ( X , A ) (X,A)(X, A)(X,A), ( Y , B ) ( Y , B ) (Y,B)(Y, B)(Y,B) の F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次双対特異チェイン群間の準同型写像 f ♯ : C k ( X , A , F ) f ♯ : C k ( X , A , F ) f_(♯):C_(k)(X,A,F)f_{\sharp}: C_{k}(X, A, \mathbb{F})f♯:Ck(X,A,F) → C k ( Y , B ; F ) → C k ( Y , B ; F ) rarrC_(k)(Y,B;F)\rightarrow C_{k}(Y, B ; \mathbb{F})→Ck(Y,B;F) を次のように定義する：
f ♯ ( π k X ( c ) ) := π k Y ( ∑ i = 1 r a i ( f ∘ σ i ) ) ( c = ∑ i = 1 r a i σ i ∈ C k ( X , F ) ) . f ♯ π k X ( c ) := π k Y ∑ i = 1 r   a i f ∘ σ i c = ∑ i = 1 r   a i σ i ∈ C k ( X , F ) . f_(♯)(pi_(k)^(X)(c)):=pi_(k)^(Y)(sum_(i=1)^(r)a_(i)(f@sigma_(i)))quad(c=sum_(i=1)^(r)a_(i)sigma_(i)inC_(k)(X,F)).f_{\sharp}\left(\pi_{k}^{X}(c)\right):=\pi_{k}^{Y}\left(\sum_{i=1}^{r} a_{i}\left(f \circ \sigma_{i}\right)\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \sigma_{i} \in C_{k}(X, \mathbb{F})\right) .f♯(πkX(c)):=πkY(∑i=1rai(f∘σi))(c=∑i=1raiσi∈Ck(X,F)).
ここで, π k X π k X pi_(k)^(X)\pi_{k}^{X}πkX は, C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) から C k ( X , A ; F ) へ C k ( X , A ; F ) へ C_(k)(X,A;F)へC_{k}(X, A ; \mathbb{F}) へCk(X,A;F)へ 商写像を表し, π k Y π k Y pi_(k)^(Y)\pi_{k}^{Y}πkY は, C k ( Y , F ) C k ( Y , F ) C_(k)(Y,F)C_{k}(Y, \mathbb{F})Ck(Y,F) から C k ( Y , B ; F ) C k ( Y , B ; F ) C_(k)(Y,B;F)C_{k}(Y, B ; \mathbb{F})Ck(Y,B;F) への商写像を表す. f ( A ) ⊂ B f ( A ) ⊂ B f(A)sub Bf(A) \subset Bf(A)⊂B から, この準同型写像 f ♯ f ♯ f_(♯)f_{\sharp}f♯ が well-definedであることが導かれる。この準同型写像 f ♯ f ♯ f_(♯)f_{\sharp}f♯ を用いて, ( X , A ) , ( Y , B ) ( X , A ) , ( Y , B ) (X,A),(Y,B)(X, A),(Y, B)(X,A),(Y,B) の F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次相対特異ホモロジー群間の準同型写像 f ∗ : H k sing ( X , A , F ) → H k sing ( Y , B ; F ) f ∗ : H k sing ( X , A , F ) → H k sing ( Y , B ; F ) f_(**):H_(k)^(sing)(X,A,F)rarrH_(k)^(sing)(Y,B;F)f_{*}: H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, A, \mathbb{F}) \rightarrow H_{k}^{\operatorname{sing}}(Y, B ; \mathbb{F})f∗:Hksing(X,A,F)→Hksing(Y,B;F) が次のように定義される：
f ∗ ( [ σ ] ) := [ f ♯ ( σ ) ] ( [ σ ] ∈ H k sing ( X , A ; F ) ) . f ∗ ( [ σ ] ) := f ♯ ( σ ) [ σ ] ∈ H k sing ( X , A ; F ) . f_(**)([sigma]):=[f_(♯)(sigma)]quad([sigma]inH_(k)^(sing)(X,A;F)).f_{*}([\sigma]):=\left[f_{\sharp}(\sigma)\right] \quad\left([\sigma] \in H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, A ; \mathbb{F})\right) .f∗([σ]):=[f♯(σ)]([σ]∈Hksing(X,A;F)).
空間 3 対 ( X , A , B ) ( B ⊂ A ⊂ X ) ( X , A , B ) ( B ⊂ A ⊂ X ) (X,A,B)(B sub A sub X)(X, A, B)(B \subset A \subset X)(X,A,B)(B⊂A⊂X) に対し, 次のホモロジー完全系列が成 り立つ.
命題 5.3.9 ι A : A → X , ι B : B → A ι A : A → X , ι B : B → A iota_(A):A rarr X,iota_(B):B rarr A\iota_{A}: A \rightarrow X, \iota_{B}: B \rightarrow AιA:A→X,ιB:B→A を包含写像とし, π k X : C k ( X , F ) → π k X : C k ( X , F ) → pi_(k)^(X):C_(k)(X,F)rarr\pi_{k}^{X}: C_{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrowπkX:Ck(X,F)→ C k ( X , A ; F ) , π k A : C k ( A , F ) → C k ( A , B ; F ) C k ( X , A ; F ) , π k A : C k ( A , F ) → C k ( A , B ; F ) C_(k)(X,A;F),pi_(k)^(A):C_(k)(A,F)rarrC_(k)(A,B;F)C_{k}(X, A ; \mathbb{F}), \pi_{k}^{A}: C_{k}(A, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k}(A, B ; \mathbb{F})Ck(X,A;F),πkA:Ck(A,F)→Ck(A,B;F) を商写像とする。また, ( ∂ k ) ∗ ∂ k ∗ (del_(k))_(**)\left(\partial_{k}\right)_{*}(∂k)∗ :
H k sing ( X , A ; F ) → H k − 1 sing ( A , B ; F ) を H k sing  ( X , A ; F ) → H k − 1 sing  ( A , B ; F )  を  H_(k)^("sing ")(X,A;F)rarrH_(k-1)^("sing ")(A,B;F)" を "H_{k}^{\text {sing }}(X, A ; \mathbb{F}) \rightarrow H_{k-1}^{\text {sing }}(A, B ; \mathbb{F}) \text { を }Hksing (X,A;F)→Hk−1sing (A,B;F) を 
( ∂ k ) ∗ ( [ π k X ( c ) ] ) := [ π k A ( ∂ k X ( c ) ) ] ( c ∈ ( ∂ k X ) − 1 ( C k − 1 ( A , F ) ) ) ∂ k ∗ π k X ( c ) := π k A ∂ k X ( c ) c ∈ ∂ k X − 1 C k − 1 ( A , F ) (del_(k))_(**)([pi_(k)^(X)(c)]):=[pi_(k)^(A)(del_(k)^(X)(c))]quad(c in(del_(k)^(X))^(-1)(C_(k-1)(A,F)))\left(\partial_{k}\right)_{*}\left(\left[\pi_{k}^{X}(c)\right]\right):=\left[\pi_{k}^{A}\left(\partial_{k}^{X}(c)\right)\right] \quad\left(c \in\left(\partial_{k}^{X}\right)^{-1}\left(C_{k-1}(A, \mathbb{F})\right)\right)(∂k)∗([πkX(c)]):=[πkA(∂kX(c))](c∈(∂kX)−1(Ck−1(A,F)))
によって定義する. このとき, 次の系列は完全系列になる：
⋯ → ( id X ) ∗ H k + 1 sing ( X , A ; F ) → ( ∂ k + 1 ) ∗ H k sing ( A , B ; F ) → ( ι A ) ∗ H k sing ( X , B ; F ) → ( id x ) ∗ H k sing ( X , A ; F ) → ( ∂ k ) ∗ H k − 1 sing ( A , B ; F ) → ( ι A ) ∗ ⋯ ⋯ → id X ∗ H k + 1 sing ( X , A ; F ) → ∂ k + 1 ∗ H k sing ( A , B ; F ) → ι A ∗ H k sing ( X , B ; F ) → id x ∗ H k sing ( X , A ; F ) → ∂ k ∗ H k − 1 sing ( A , B ; F ) → ι A ∗ ⋯ {:[cdotsrarr"(id_(X))_(**)"H_(k+1)^(sing)(X","A;F)rarr"(del_(k+1))_(**)"H_(k)^(sing)(A","B;F)rarr"(iota_(A))_(**)"H_(k)^(sing)(X","B;F)],[rarr"(id_(x))_(**)"H_(k)^(sing)(X","A;F)rarr"(del_(k))_(**)"H_(k-1)^(sing)(A","B;F)rarr"(iota_(A))_(**)"cdots]:}\begin{aligned} \cdots \xrightarrow{\left(\mathrm{id}_{X}\right)_{*}} H_{k+1}^{\operatorname{sing}}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\partial_{k+1}\right)_{*}} H_{k}^{\operatorname{sing}}(A, B ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\iota_{A}\right)_{*}} H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, B ; \mathbb{F}) \\ \xrightarrow{\left(\mathrm{id}_{x}\right)_{*}} H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, A ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\partial_{k}\right)_{*}} H_{k-1}^{\operatorname{sing}}(A, B ; \mathbb{F}) \xrightarrow{\left(\iota_{A}\right)_{*}} \cdots \end{aligned}⋯→(idX)∗Hk+1sing(X,A;F)→(∂k+1)∗Hksing(A,B;F)→(ιA)∗Hksing(X,B;F)→(idx)∗Hksing(X,A;F)→(∂k)∗Hk−1sing(A,B;F)→(ιA)∗⋯
この命題の証明は省くことにする。以下,非負の各整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , A ; Z ) H k sing ( X , A ; Z ) H_(k)^(sing)(X,A;Z)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, A ; \mathbb{Z})Hksing(X,A;Z) は有限生成であるとする。このとき, 位相空間の対 ( X , A ) ( A ( X , A ) ( A (X,A)(A(X, A)(A(X,A)(A ⊂ X ) ⊂ X ) sub X)\subset X)⊂X) に対し, b k ( X , A ) , χ ( X , A ) b k ( X , A ) , χ ( X , A ) b_(k)(X,A),chi(X,A)b_{k}(X, A), \chi(X, A)bk(X,A),χ(X,A) を各々,
b k ( X , A ) := dim H k sing ( X , A ; Z ) , χ ( X , A ) := ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k dim H k sing ( X , A ; Z ) b k ( X , A ) := dim H k sing  ( X , A ; Z ) , χ ( X , A ) := ∑ k = 0 ∞   ( − 1 ) k dim H k sing ( X , A ; Z ) b_(k)(X,A):=dimH_(k)^("sing ")(X,A;Z),quad chi(X,A):=sum_(k=0)^(oo)(-1)^(k)dimH_(k)^(sing)(X,A;Z)b_{k}(X, A):=\operatorname{dim} H_{k}^{\text {sing }}(X, A ; \mathbb{Z}), \quad \chi(X, A):=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \operatorname{dim} H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, A ; \mathbb{Z})bk(X,A):=dimHksing (X,A;Z),χ(X,A):=∑k=0∞(−1)kdimHksing(X,A;Z)
により定義する。命題 5.3 .9 を用いて, 次の事実が導かれる.
補題 5.3.10 位相空間 X X XXX のフィルター付け X 1 ⊂ X 2 ⊂ ⋯ ⊂ X m − 1 ⊂ X 1 ⊂ X 2 ⊂ ⋯ ⊂ X m − 1 ⊂ X_(1)subX_(2)sub cdots subX_(m-1)subX_{1} \subset X_{2} \subset \cdots \subset X_{m-1} \subsetX1⊂X2⊂⋯⊂Xm−1⊂ X m = X X m = X X_(m)=XX_{m}=XXm=X に対し，次式が成り立つ：
b k ( X m , X 1 ) ≤ ∑ i = 1 m − 1 b k ( X i + 1 , X i ) , χ ( X , X 1 ) = ∑ i = 1 m − 1 χ ( X i + 1 , X i ) b k X m , X 1 ≤ ∑ i = 1 m − 1   b k X i + 1 , X i , χ X , X 1 = ∑ i = 1 m − 1   χ X i + 1 , X i b_(k)(X_(m),X_(1)) <= sum_(i=1)^(m-1)b_(k)(X_(i+1),X_(i)),quad chi(X,X_(1))=sum_(i=1)^(m-1)chi(X_(i+1),X_(i))b_{k}\left(X_{m}, X_{1}\right) \leq \sum_{i=1}^{m-1} b_{k}\left(X_{i+1}, X_{i}\right), \quad \chi\left(X, X_{1}\right)=\sum_{i=1}^{m-1} \chi\left(X_{i+1}, X_{i}\right)bk(Xm,X1)≤∑i=1m−1bk(Xi+1,Xi),χ(X,X1)=∑i=1m−1χ(Xi+1,Xi)
証明 m ≥ i 1 > i 2 > i 3 ≥ 1 m ≥ i 1 > i 2 > i 3 ≥ 1 m >= i_(1) > i_(2) > i_(3) >= 1m \geq i_{1}>i_{2}>i_{3} \geq 1m≥i1>i2>i3≥1 とする. 3 対 ( X i 1 , X i 2 , X i 3 ) X i 1 , X i 2 , X i 3 (X_(i_(1)),X_(i_(2)),X_(i_(3)))\left(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}, X_{i_{3}}\right)(Xi1,Xi2,Xi3) に対し, 命題 5.3.9を適用し, 加群のカテゴリーにおける準同型定理を用いることにより,
b k ( X i 1 , X i 3 ) = b k ( X i 1 , X i 2 ) + b k ( X i 2 , X i 3 ) − dim Im ( ∂ k + 1 ) ∗ − dim Im ( ∂ k ) ∗ b k X i 1 , X i 3 = b k X i 1 , X i 2 + b k X i 2 , X i 3 − dim Im ∂ k + 1 ∗ − dim Im ∂ k ∗ b_(k)(X_(i_(1)),X_(i_(3)))=b_(k)(X_(i_(1)),X_(i_(2)))+b_(k)(X_(i_(2)),X_(i_(3)))-dim Im(del_(k+1))_(**)-dim Im(del_(k))_(**)b_{k}\left(X_{i_{1}}, X_{i_{3}}\right)=b_{k}\left(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}\right)+b_{k}\left(X_{i_{2}}, X_{i_{3}}\right)-\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(\partial_{k+1}\right)_{*}-\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(\partial_{k}\right)_{*}bk(Xi1,Xi3)=bk(Xi1,Xi2)+bk(Xi2,Xi3)−dimIm(∂k+1)∗−dimIm(∂k)∗
が導かれ, さらにこの式から,
χ ( X i 1 , X i 3 ) = χ ( X i 1 , X i 2 ) + χ ( X i 2 , X i 3 ) χ X i 1 , X i 3 = χ X i 1 , X i 2 + χ X i 2 , X i 3 chi(X_(i_(1)),X_(i_(3)))=chi(X_(i_(1)),X_(i_(2)))+chi(X_(i_(2)),X_(i_(3)))\chi\left(X_{i_{1}}, X_{i_{3}}\right)=\chi\left(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}\right)+\chi\left(X_{i_{2}}, X_{i_{3}}\right)χ(Xi1,Xi3)=χ(Xi1,Xi2)+χ(Xi2,Xi3)
が導かれる. ここで, ( ∂ 0 ) ∗ = 0 ∂ 0 ∗ = 0 (del_(0))_(**)=0\left(\partial_{0}\right)_{*}=0(∂0)∗=0 を用いた。 これらの関係式から, 求めるべき 関係式が導かれる。
定理 5.3.8 の証明 C v C v C^(v)\mathcal{C}^{v}Cv を f f fff の臨界値全体からなる集合とする. M M MMM は閉多様
体なので, この集合は有限集合である。 C v = { c i ∣ 1 = 1 , 2 , … , m } ( c 1 < c 2 < C v = c i ∣ 1 = 1 , 2 , … , m c 1 < c 2 < C^(v)={c_(i)∣1=1,2,dots,m}(c_(1) < c_(2) < :}\mathcal{C}^{v}=\left\{c_{i} \mid 1=1,2, \ldots, m\right\}\left(c_{1}<c_{2}<\right.Cv={ci∣1=1,2,…,m}(c1<c2< … < c m ) … < c m {: dots < c_(m))\left.\ldots<c_{m}\right)…<cm) とする. 各 c i c i c_(i)c_{i}ci に対し, f − 1 ( c i ) = { p i 1 , … , p i m i } f − 1 c i = p i 1 , … , p i m i f^(-1)(c_(i))={p_(i1),dots,p_(im_(i))}f^{-1}\left(c_{i}\right)=\left\{p_{i 1}, \ldots, p_{i m_{i}}\right\}f−1(ci)={pi1,…,pimi} とし, 臨界点 p i j p i j p_(ij)p_{i j}pij の指数を k i j k i j k_(ij)k_{i j}kij と表す. J i := { 1 , … , m i } , J i k := { j ∈ J i ∣ k i j = k } ( k = J i := 1 , … , m i , J i k := j ∈ J i ∣ k i j = k ( k = J_(i):={1,dots,m_(i)},J_(i)^(k):={j inJ_(i)∣k_(ij)=k}(k=J_{i}:=\left\{1, \ldots, m_{i}\right\}, J_{i}^{k}:=\left\{j \in J_{i} \mid k_{i j}=k\right\}(k=Ji:={1,…,mi},Jik:={j∈Ji∣kij=k}(k= 0 , 1 , … , n ) 0 , 1 , … , n ) 0,1,dots,n)0,1, \ldots, n)0,1,…,n) とおき, m i k := ♯ J i k m i k := ♯ J i k m_(ik):=♯J_(i)^(k)m_{i k}:=\sharp J_{i}^{k}mik:=♯Jik とおく. 定理 5.3.4 の証明と同様に, 十分小 さな正の数 ε 1 , … , ε m ε 1 , … , ε m epsi_(1),dots,epsi_(m)\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{m}ε1,…,εm をとる. a i := c i + ε i ( i = 1 , … , m ) a i := c i + ε i ( i = 1 , … , m ) a_(i):=c_(i)+epsi_(i)(i=1,dots,m)a_{i}:=c_{i}+\varepsilon_{i}(i=1, \ldots, m)ai:=ci+εi(i=1,…,m) とおく. M M MMM のフィ ルター付け M f , a 1 ⊂ M f , a 2 ⊂ ⋯ ⊂ M f , a m − 1 ⊂ M f , a m = M M f , a 1 ⊂ M f , a 2 ⊂ ⋯ ⊂ M f , a m − 1 ⊂ M f , a m = M M_(f,a_(1))subM_(f,a_(2))sub cdots subM_(f,a_(m)-1)subM_(f,a_(m))=MM_{f, a_{1}} \subset M_{f, a_{2}} \subset \cdots \subset M_{f, a_{m}-1} \subset M_{f, a_{m}}=MMf,a1⊂Mf,a2⊂⋯⊂Mf,am−1⊂Mf,am=M に対し補題 5.3.10 を適用して,
(5.3.12) b k ( M , M f , a 1 ) ≤ ∑ i = 1 m − 1 b k ( M f , a i + 1 , M f , a i ) χ ( M , M f , a 1 ) = ∑ i = 1 m − 1 χ ( M f , a i + 1 , M f , a i ) (5.3.12) b k M , M f , a 1 ≤ ∑ i = 1 m − 1   b k M f , a i + 1 , M f , a i χ M , M f , a 1 = ∑ i = 1 m − 1   χ M f , a i + 1 , M f , a i {:[(5.3.12)b_(k)(M,M_(f,a_(1))) <= sum_(i=1)^(m-1)b_(k)(M_(f,a_(i+1)),M_(f,a_(i)))],[chi(M,M_(f,a_(1)))=sum_(i=1)^(m-1)chi(M_(f,a_(i+1)),M_(f,a_(i)))]:}\begin{align*} & b_{k}\left(M, M_{f, a_{1}}\right) \leq \sum_{i=1}^{m-1} b_{k}\left(M_{f, a_{i+1}}, M_{f, a_{i}}\right) \tag{5.3.12}\\ & \chi\left(M, M_{f, a_{1}}\right)=\sum_{i=1}^{m-1} \chi\left(M_{f, a_{i+1}}, M_{f, a_{i}}\right) \end{align*}(5.3.12)bk(M,Mf,a1)≤∑i=1m−1bk(Mf,ai+1,Mf,ai)χ(M,Mf,a1)=∑i=1m−1χ(Mf,ai+1,Mf,ai)
をえる。一方, 定理 5.3 .4 によれば, M f , a i + 1 / M f , a i M f , a i + 1 / M f , a i M_(f,a_(i+1))//M_(f,a_(i))M_{f, a_{i+1}} / M_{f, a_{i}}Mf,ai+1/Mf,ai は, 位相空間の族 { S k i j ( 1 ) ∣ j = 1 , … , m i } S k i j ( 1 ) ∣ j = 1 , … , m i {S^(k_(ij))(1)∣j=1,dots,m_(i)}\left\{S^{k_{i j}}(1) \mid j=1, \ldots, m_{i}\right\}{Skij(1)∣j=1,…,mi} の 1 点和 ⋁ j = 1 m i S k i j ( 1 ) ⋁ j = 1 m i   S k i j ( 1 ) vvv_(j=1)^(m_(i))S^(k_(ij))(1)\bigvee_{j=1}^{m_{i}} S^{k_{i j}}(1)⋁j=1miSkij(1) とホモトピー同值である. 位相空間の族の 1 点和の定義については, 下記の注意を参照のこと. それゆえ,
(5.3.13) b k ( M f , a i + 1 , M f , a i ) = { 1 ( k = 0 ) m i k ( k = 1 , … , n ) (5.3.13) b k M f , a i + 1 , M f , a i = 1 ( k = 0 ) m i k ( k = 1 , … , n ) {:(5.3.13)b_(k)(M_(f,a_(i+1)),M_(f,a_(i)))={[1,(k=0)],[m_(ik),(k=1","dots","n)]:}:}b_{k}\left(M_{f, a_{i+1}}, M_{f, a_{i}}\right)= \begin{cases}1 & (k=0) \tag{5.3.13}\\ m_{i k} & (k=1, \ldots, n)\end{cases}(5.3.13)bk(Mf,ai+1,Mf,ai)={1(k=0)mik(k=1,…,n)
をえる. 便宜上, m i 0 = 1 m i 0 = 1 m_(i0)=1m_{i 0}=1mi0=1 とする. 式 (5.3.12), (5.3.13) から,
b k ( M , M f , a 1 ) ≤ ∑ i = 1 m − 1 m i k = β k ( f ) (5.3.14) χ ( M , M f , a 1 ) = ∑ k = 0 n ∑ i = 1 m − 1 ( − 1 ) k m i k = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k β k ( f ) b k M , M f , a 1 ≤ ∑ i = 1 m − 1   m i k = β k ( f ) (5.3.14) χ M , M f , a 1 = ∑ k = 0 n   ∑ i = 1 m − 1   ( − 1 ) k m i k = ∑ k = 0 n   ( − 1 ) k β k ( f ) {:[b_(k)(M,M_(f,a_(1))) <= sum_(i=1)^(m-1)m_(ik)=beta_(k)(f)],[(5.3.14)chi(M,M_(f,a_(1)))=sum_(k=0)^(n)sum_(i=1)^(m-1)(-1)^(k)m_(ik)=sum_(k=0)^(n)(-1)^(k)beta_(k)(f)]:}\begin{align*} b_{k}\left(M, M_{f, a_{1}}\right) & \leq \sum_{i=1}^{m-1} m_{i k}=\beta_{k}(f) \\ \chi\left(M, M_{f, a_{1}}\right) & =\sum_{k=0}^{n} \sum_{i=1}^{m-1}(-1)^{k} m_{i k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \beta_{k}(f) \tag{5.3.14} \end{align*}bk(M,Mf,a1)≤∑i=1m−1mik=βk(f)(5.3.14)χ(M,Mf,a1)=∑k=0n∑i=1m−1(−1)kmik=∑k=0n(−1)kβk(f)
が導かれる. a 1 a 1 a_(1)a_{1}a1 は f f fff の最小値なので, J 1 = J 1 0 J 1 = J 1 0 J_(1)=J_(1)^(0)J_{1}=J_{1}^{0}J1=J10 である. それゆえ, M M MMM と M / M f , a 1 M / M f , a 1 M//M_(f,a_(1))M / M_{f, a_{1}}M/Mf,a1 はホモトピー同値であり, b k ( M ) = b k ( M , M f , a 1 ) , χ ( M ) = b k ( M ) = b k M , M f , a 1 , χ ( M ) = b_(k)(M)=b_(k)(M,M_(f,a_(1))),quad chi(M)=b_{k}(M)=b_{k}\left(M, M_{f, a_{1}}\right), \quad \chi(M)=bk(M)=bk(M,Mf,a1),χ(M)= χ ( M , M f , a 1 ) χ M , M f , a 1 chi(M,M_(f,a_(1)))\chi\left(M, M_{f, a_{1}}\right)χ(M,Mf,a1) が成り立つ. したがって, 求めるべき関係式が示される.
注意一般に, 位相空間の族 X 1 , … , X m X 1 , … , X m X_(1),dots,X_(m)X_{1}, \ldots, X_{m}X1,…,Xm の 1 m 1 m 1_(m)\underset{m}{1}1m 点和（wedge sum） v i = 1 X i v i = 1 X i v_(i=1)X_(i)\underset{i=1}{v} X_{i}vi=1Xi とは, p i ∈ X i ( i = 1 , … , m ) p i ∈ X i ( i = 1 , … , m ) p_(i)inX_(i)(i=1,dots,m)p_{i} \in X_{i}(i=1, \ldots, m)pi∈Xi(i=1,…,m) をとり，直和位相空間 ⨿ i = 1 X i ⨿ i = 1 X i ⨿_(i=1)X_(i)\underset{i=1}{\amalg} X_{i}⨿i=1Xi の部分集合 { p 1 , … , p m } p 1 , … , p m {p_(1),dots,p_(m)}\left\{p_{1}, \ldots, p_{m}\right\}{p1,…,pm} を 1 点につぶしてえられる位相空間 ( m i = 1 X i ) / { p 1 , … , p m } m i = 1 X i / p 1 , … , p m (m_(i=1)X_(i))//{p_(1),dots,p_(m)}\left(\underset{i=1}{m} X_{i}\right) /\left\{p_{1}, \ldots, p_{m}\right\}(mi=1Xi)/{p1,…,pm} のことである.

5.4 リー群作用

この節において, リー群, および, リー群の多様体への作用について述べ る。
まず, リー群を定義しよう。 G G GGG をハウスドルフ空間とする. 3 組 ( G , ⋅ , D ) ( G , ⋅ , D ) (G,*,D)(G, \cdot, \mathcal{D})(G,⋅,D) が次の 4 条件を満たすとする：
(i) ( G , ⋅ ) ( G , ⋅ ) (G,*)(G, \cdot)(G,⋅) は群である；
(ii) ( G , D ) ( G , D ) (G,D)(G, \mathcal{D})(G,D) は C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体である;
(iii) P ( g 1 , g 2 ) := g 1 ⋅ g 2 ( ( g 1 , g 2 ) ∈ G × G ) P g 1 , g 2 := g 1 ⋅ g 2 g 1 , g 2 ∈ G × G P(g_(1),g_(2)):=g_(1)*g_(2)((g_(1),g_(2))in G xx G)P\left(g_{1}, g_{2}\right):=g_{1} \cdot g_{2}\left(\left(g_{1}, g_{2}\right) \in G \times G\right)P(g1,g2):=g1⋅g2((g1,g2)∈G×G) によって定義される ( G × G , D × ( G × G , D × (G xx G,Dxx(G \times G, \mathcal{D} \times(G×G,D× D ) D ) D)\mathcal{D})D) から ( G , D ) ( G , D ) (G,D)(G, \mathcal{D})(G,D) への写像 P P PPP は C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像である；
(iv) I ( g ) := g − 1 ( g ∈ G ) I ( g ) := g − 1 ( g ∈ G ) I(g):=g^(-1)(g in G)I(g):=g^{-1}(g \in G)I(g):=g−1(g∈G) によって定義される ( G , D ) ( G , D ) (G,D)(G, \mathcal{D})(G,D) からそれ自身への写像 I I III は C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像である。ここで g − 1 g − 1 g^(-1)g^{-1}g−1 は, g g ggg の逆元を表す.
このとき, ( G , ⋅ , D ) ( G , ⋅ , D ) (G,*,D)(G, \cdot, \mathcal{D})(G,⋅,D) を C r C r C^(r)C^{r}Cr リー群（ C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-Lie group）という. 最も基本的な リー群の例を紹介する. g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g} l(n, \mathbb{R})gl(n,R) を n n nnn 次（実）正方行列全体からなる n 2 n 2 n^(2)n^{2}n2 次元 ベクトル空間（これは R n 2 R n 2 R^(n^(2))\mathbb{R}^{n^{2}}Rn2 と同一視される）とし，GL(n, R ) R {:R)\left.\mathbb{R}\right)R) を n n nnn 次（実）正則行列全体からなる集合とする。 G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) は行列積（これを・と表す）に関 して群となる。 G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) は, 一般線形群（general linear group）とよば れる。また、 G L ( n , R ) = det − 1 ( R ∖ { 0 } ) G L ( n , R ) = det − 1 ( R ∖ { 0 } ) GL(n,R)=det^(-1)(R\\{0})G L(n, \mathbb{R})=\operatorname{det}^{-1}(\mathbb{R} \backslash\{0\})GL(n,R)=det−1(R∖{0}) なので, det : g l ( n , R ) ( = R n 2 ) → R det : g l ( n , R ) = R n 2 → R det:gl(n,R)(=R^(n^(2)))rarrR\operatorname{det}: \mathfrak{g} l(n, \mathbb{R})\left(=\mathbb{R}^{n^{2}}\right) \rightarrow \mathbb{R}det:gl(n,R)(=Rn2)→R の連続性から, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) は g l ( n , R ) ( = R n 2 ) g l ( n , R ) = R n 2 gl(n,R)(=R^(n^(2)))\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})\left(=\mathbb{R}^{n^{2}}\right)gl(n,R)(=Rn2) の開集合であることがわかる. それゆえ, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) は g l l ( n , R ) ( = R n 2 ) g l l ( n , R ) = R n 2 gll(n,R)(=R^(n^(2)))\mathfrak{g l} l(n, \mathbb{R})\left(=\mathbb{R}^{n^{2}}\right)gll(n,R)(=Rn2) の開部分多様体として C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体に なる。その C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 構造を D D D\mathcal{D}D とする。このとき, ( G L ( n , R ) , ⋅ , D ) ( G L ( n , R ) , ⋅ , D ) (GL(n,R),*,D)(G L(n, \mathbb{R}), \cdot, \mathcal{D})(GL(n,R),⋅,D) は C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω リー群に なることが示される. その他, 基本的なコンパクトリー群の例として, 特殊直交群 S O ( n ) S O ( n ) SO(n)S O(n)SO(n), 特殊ユニタリー群 S U ( n ) S U ( n ) SU(n)S U(n)SU(n), シンプレクティック群 S p ( n ) S p ( n ) Sp(n)S p(n)Sp(n) 等の 古典リー群とよばれるもの, スピン群 Spin ( n ) Spin ( n ) Spin(n)\operatorname{Spin}(n)Spin(n) （これは S O ( n ) S O ( n ) SO(n)S O(n)SO(n) の 2 重被覆と みなされる)，および，例外リー群 E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 E_(6),E_(7),E_(8),F_(4),G_(2)E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}E6,E7,E8,F4,G2 が挙げられる。非コン パクトリー群の例は, これらのコンパクトリー群の非コンパクト双対とよば れるものとして与えられる。コンパクトリー群 G G GGG の非コンパクト双対 G ∗ G ∗ G^(**)G^{*}G∗ は, G G GGG の複素化である複素リー群 G C G C G^(C)G^{\mathbb{C}}GC の, G G GGG とは別の実形として定義される. 例 えば, S O ( n ) S O ( n ) SO(n)S O(n)SO(n) の非コンパクト双対には, S O ( k , n − k ) ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) S O ( k , n − k ) ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) SO(k,n-k)(1 <= k <= n-1)S O(k, n-k)(1 \leq k \leq n-1)SO(k,n−k)(1≤k≤n−1) と S O ∗ ( n ) ( n S O ∗ ( n ) ( n SO^(**)(n)(nS O^{*}(n)(nSO∗(n)(n が偶数の場合) があり, S U ( n ) S U ( n ) SU(n)S U(n)SU(n) の非コンパクト双対には, S U ( k S U ( k SU(kS U(kSU(k,
n − k ) ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) n − k ) ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) n-k)(1 <= k <= n-1)n-k)(1 \leq k \leq n-1)n−k)(1≤k≤n−1) と S U ∗ ( n ) S U ∗ ( n ) SU^(**)(n)S U^{*}(n)SU∗(n) （ n n nnn が偶数の場合）があり, S p ( n ) S p ( n ) Sp(n)S p(n)Sp(n) の非 コンパクト双対には, S p ( k , n − k ) ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) S p ( k , n − k ) ( 1 ≤ k ≤ n − 1 ) Sp(k,n-k)(1 <= k <= n-1)S p(k, n-k)(1 \leq k \leq n-1)Sp(k,n−k)(1≤k≤n−1) と S p ( n , R ) S p ( n , R ) Sp(n,R)S p(n, \mathbb{R})Sp(n,R) がある. これ らのリー群の定義については, [横田 1], [横田 2], [ H ] , [ Ko 8 ] [ H ] , [ Ko 8 ] [H],[Ko8][\mathrm{H}],[\mathrm{Ko} 8][H],[Ko8] 等を参照のこと.
次に, リー群作用を定義しよう. r ≥ 1 r ≥ 1 r >= 1r \geq 1r≥1 とする。 G G GGG を C r C r C^(r)C^{r}Cr リー群, M M MMM を C r C r C^(r)C^{r}Cr多様体とし, Φ : G × M → M Φ : G × M → M Phi:G xx M rarr M\Phi: G \times M \rightarrow MΦ:G×M→M を C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする. 以下, Φ ( g , p ) Φ ( g , p ) Phi(g,p)\Phi(g, p)Φ(g,p) を g ⋅ p g ⋅ p g*pg \cdot pg⋅p と表 す. Φ Φ Phi\PhiΦ が次の条件を満たすとする：
(i) e ⋅ p = p ( ∀ p ∈ M ) ( e e ⋅ p = p ( ∀ p ∈ M ) ( e e*p=p quad(AA p in M)(ee \cdot p=p \quad(\forall p \in M)(ee⋅p=p(∀p∈M)(e は G G GGG の単位元を表す) ;
(ii) ( g 1 ⋅ g 2 ) ⋅ p = g 1 ⋅ ( g 2 ⋅ p ) ( ∀ g 1 , g 2 ∈ G , ∀ p ∈ M ) g 1 ⋅ g 2 ⋅ p = g 1 ⋅ g 2 ⋅ p ∀ g 1 , g 2 ∈ G , ∀ p ∈ M (g_(1)*g_(2))*p=g_(1)*(g_(2)*p)quad(AAg_(1),g_(2)in G,AA p in M)\left(g_{1} \cdot g_{2}\right) \cdot p=g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot p\right) \quad\left(\forall g_{1}, g_{2} \in G, \forall p \in M\right)(g1⋅g2)⋅p=g1⋅(g2⋅p)(∀g1,g2∈G,∀p∈M).
このような Φ Φ Phi\PhiΦ が与えられているとき, G G GGG は M M MMM に滑らかに ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr 級で) 作用 する（G acts on M M MMM smoothly (in class C r ) C r {:C^(r))\left.C^{r}\right)Cr) ) といい, G ↷ M G ↷ M G↷MG \curvearrowright MG↷M と表 す。また, このとき, G G GGG は M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級のリー変換群（Lie transformation group of class C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr ) とよばれる。各 g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G に対し, 写像 ρ ( g ) : M → M ρ ( g ) : M → M rho(g):M rarr M\rho(g): M \rightarrow Mρ(g):M→M を ρ ( g ) ( p ) := g ⋅ p ( p ∈ M ) ρ ( g ) ( p ) := g ⋅ p ( p ∈ M ) rho(g)(p):=g*p(p in M)\rho(g)(p):=g \cdot p(p \in M)ρ(g)(p):=g⋅p(p∈M) によって定義する。 この写像は, M M MMM からそれ自身 への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像を与える. 実際, ρ ( g ) ρ ( g ) rho(g)\rho(g)ρ(g) の逆写像は ρ ( g − 1 ) ρ g − 1 rho(g^(-1))\rho\left(g^{-1}\right)ρ(g−1) によって与えられ る.しかも, ρ ( g 1 ⋅ g 2 ) = ρ ( g 1 ) ∘ ρ ( g 2 ) ( ∀ g 1 , g 2 ∈ G ) ρ g 1 ⋅ g 2 = ρ g 1 ∘ ρ g 2 ∀ g 1 , g 2 ∈ G rho(g_(1)*g_(2))=rho(g_(1))@rho(g_(2))(AAg_(1),g_(2)in G)\rho\left(g_{1} \cdot g_{2}\right)=\rho\left(g_{1}\right) \circ \rho\left(g_{2}\right)\left(\forall g_{1}, g_{2} \in G\right)ρ(g1⋅g2)=ρ(g1)∘ρ(g2)(∀g1,g2∈G) が成り立つので, ρ ρ rho\rhoρ は G G GGG から M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像全体のなす群 Diff r ( M ) Diff r ( M ) Diff^(r)(M)\operatorname{Diff}^{r}(M)Diffr(M) への群準同型写像を与える.特に, M M MMM がベクトル空間 V V VVV であり, 各 g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G に対し ρ ( g ) ρ ( g ) rho(g)\rho(g)ρ(g) が V V VVV の線形変換で あるとき, この G G GGG 作用は G G GGG の線形作用（linear action）とよばれ, ρ ρ rho\rhoρ は V V VVV を表現空間とする G G GGG の表現（representation of G G GGG with representation space V ) V ) V)V)V) とよばれる.
次に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級のリー群作用 G ↷ M G ↷ M G↷MG \curvearrowright MG↷M のイソトロピー部分群, および, 軌道を 定義することにする. p ∈ M p ∈ M p in Mp \in Mp∈M に対し, G p := { g ∈ G ∣ g ⋅ p = p } G p := { g ∈ G ∣ g ⋅ p = p } G_(p):={g in G∣g*p=p}G_{p}:=\{g \in G \mid g \cdot p=p\}Gp:={g∈G∣g⋅p=p} を G G G\boldsymbol{G}G の p p p\boldsymbol{p}p に おけるイソトロピー部分群（the isotropy group of G G G\boldsymbol{G}G at p p p\boldsymbol{p}p ) といい, 任意 の p ∈ G p ∈ G p in Gp \in Gp∈G に対し G p = { e } G p = { e } G_(p)={e}G_{p}=\{e\}Gp={e} が成り立つとき, G G G\boldsymbol{G}G は M M MMM に自由に作用する ( G ( G (G(G(G acts on M M MMM freely）という. G ⋅ p := { g ⋅ p ∣ g ∈ G } G ⋅ p := { g ⋅ p ∣ g ∈ G } G*p:={g*p∣g in G}G \cdot p:=\{g \cdot p \mid g \in G\}G⋅p:={g⋅p∣g∈G} を p p p\boldsymbol{p}p を通る G G G\boldsymbol{G}G 軌道（the G G G\boldsymbol{G}G-orbit through p p p\boldsymbol{p}p ) といい, G G GGG 軌道全体のなす空間 { G ⋅ p ∣ p ∈ M } { G ⋅ p ∣ p ∈ M } {G*p∣p in M}\{G \cdot p \mid p \in M\}{G⋅p∣p∈M} を G G GGG作用の軌道空間（orbit space）といい, M / G M / G M//GM / GM/G と表す. 写像 π : M → M / G π : M → M / G pi:M rarr M//G\pi: M \rightarrow M / Gπ:M→M/G を π ( p ) := G ⋅ p ( p ∈ M ) π ( p ) := G ⋅ p ( p ∈ M ) pi(p):=G*p(p in M)\pi(p):=G \cdot p(p \in M)π(p):=G⋅p(p∈M) によって定義する. この写像は, G G GGG 作用の軌道写像 (orbit map) とよばれる.
G G GGG がコンパクト, かつ, G G GGG が M M MMM に自由に作用しているとき, π π pi\piπ に関する
M / G M / G M//GM / GM/G の強位相は第 2 可算公理を满たすハウスドルフ位相になり, π : M → π : M → pi:M rarr\pi: M \rightarrowπ:M→ M / G M / G M//GM / GM/G が C r C r C^(r)C^{r}Cr 沈め达み写像になるように M / G M / G M//GM / GM/G の C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を与えることができ る（証明略）。このうに, 軌道空間 M / G M / G M//GM / GM/G は C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体になる。 実は π : M π : M pi:M\pi: Mπ:M → M / G → M / G rarr M//G\rightarrow M / G→M/G は, 次節で定義する G G GGG を構造群とする主バンドルの構造をもつこと が示される.
任意の 2 点 p , q ∈ M p , q ∈ M p,q in Mp, q \in Mp,q∈M に対し, g ⋅ p = q g ⋅ p = q g*p=qg \cdot p=qg⋅p=q となる g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G が存在するとき, つ まり, M / G M / G M//GM / GM/G が 1 点集合であるとき, G G GGG は M M MMM に推移的に作用する ( G ( G (G(G(G acts on M M MMM transitively) という. G G GGG が M M MMM に推移的に（ C r C r C^(r)C^{r}Cr で）作用していると き, 対応 g G p ↦ g ⋅ p g G p ↦ g ⋅ p gG_(p)|->g*pg G_{p} \mapsto g \cdot pgGp↦g⋅p により, G p G p G_(p)G_{p}Gp による左剩頳の全体 G / G p G / G p G//G_(p)G / G_{p}G/Gp と M M MMM の間の 1 対 1 対応がえられる. G p G p G_(p)G_{p}Gp が G G GGG の閉部分群であることから, G / G p G / G p G//G_(p)G / G_{p}G/Gp には商多様体とよばれる C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体の構造が与えられ, この 1 対 1 対応は, 商多様体 G / G p G / G p G//G_(p)G / G_{p}G/Gp から M M MMM への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像を与える. 通常, この C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像を通じて, M M MMM は G / G p G / G p G//G_(p)G / G_{p}G/Gp と同一視される.
C r C r C^(r)C^{r}Cr リー群 G G GGG が C r C r C^(r)C^{r}Cr リーマン多様体 ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)(M,gM) に滑らかに（ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級で）作用し,各 g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G に対し, ρ ( g ) ρ ( g ) rho(g)\rho(g)ρ(g) が ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)(M,gM) の等長変換（つまり ρ ( g ) ∗ g M = g M ρ ( g ) ∗ g M = g M rho(g)^(**)g_(M)=g_(M)\rho(g)^{*} \mathbf{g}_{M}=\mathbf{g}_{M}ρ(g)∗gM=gM ) であ るとき, G G GGG は ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathrm{~g}_{M}\right)(M, gM) に等長的に作用する ( G G (G:}\left(G\right.(G acts on ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathrm{~g}_{M}\right)(M, gM) isometrically)という。また, このとき、GはMの C r C r C^(r)C^{r}Cr 級等長変換群（isometry group of class C r ) C r {:C^(r))\left.C^{r}\right)Cr) とよばれる。 G G GGG が ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)(M,gM) に等長的に作用し ているとき, その G G GGG 軌道たちは ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)(M,gM) 内の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リーマン部分多様体の族 を与え，その全体は ( M , g M ) M , g M (M,g_(M))\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)(M,gM) 上の C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級特異リーマン葉層構造（singular Riemannian foliation of class C r C r C^(r)C^{r}Cr ) とよばれる幾何学模様を与える. リ 一群作用の軌道幾何学を本格的に学びたい方は, [ K o 8 ] [ K o 8 ] [Ko8][K o 8][Ko8] の第 6 章を参照のこ と.

5.5 ファイバーバンドル

この節において, ファイバーバンドルを定義し, その特別なものとして, 主 バンドルが定義されることを述べる。さらに，主バンドルとその構造群（これ はリー群）のある多様体への作用から，その多様体を標準ファイバーとしても つファイバーバンドルが定義されることを述べることにしょう.
まず，ファイバーバンドルを定義しよう。 E , M , F E , M , F E,M,FE, M, FE,M,F を C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体とし， π π pi\piπ : E → M E → M E rarr ME \rightarrow ME→M を上への C r C r C^(r)C^{r}Cr 沈め込み写像とする。また, C r C r C^(r)C^{r}Cr リー群 G G GGG が F F FFF に滑らか
に（C C r C r C^(r)C^{r}Cr 級で）作用するとする. 各点 p ∈ M p ∈ M p in Mp \in Mp∈M に対し， E p := π − 1 ( p ) E p := π − 1 ( p ) E_(p):=pi^(-1)(p)E_{p}:=\pi^{-1}(p)Ep:=π−1(p) とおく.次の 2 条件を満たす族 { ( U λ , φ λ ) ∣ λ ∈ Λ } U λ , φ λ ∣ λ ∈ Λ {(U_(lambda),varphi_(lambda))∣lambda in Lambda}\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}{(Uλ,φλ)∣λ∈Λ} が存在するとする：
(i) { U λ ∣ λ ∈ Λ } U λ ∣ λ ∈ Λ {U_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{Uλ∣λ∈Λ} は M M MMM の開被覆であり, φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ は π − 1 ( U λ ) π − 1 U λ pi^(-1)(U_(lambda))\pi^{-1}\left(U_{\lambda}\right)π−1(Uλ) から U λ × F U λ × F U_(lambda)xx FU_{\lambda} \times FUλ×F への C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像で pr U λ ∘ φ λ = π pr U λ ∘ φ λ = π pr_(U_(lambda))@varphi_(lambda)=pi\mathrm{pr}_{U_{\lambda}} \circ \varphi_{\lambda}=\piprUλ∘φλ=π を満たす ( pr U λ pr U λ (pr_(U_(lambda)):}\left(\mathrm{pr}_{U_{\lambda}}\right.(prUλ は U λ × F U λ × F U_(lambda)xx FU_{\lambda} \times FUλ×F から U λ U λ U_(lambda)U_{\lambda}Uλ への自然な射影を表す）；
(ii) U λ ∩ U μ ≠ ∅ U λ ∩ U μ ≠ ∅ quadU_(lambda)nnU_(mu)!=O/\quad U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptysetUλ∩Uμ≠∅ のとき, φ μ ∘ φ λ − 1 : ( U λ ∩ U μ ) × F → ( U λ ∩ U μ ) × F φ μ ∘ φ λ − 1 : U λ ∩ U μ × F → U λ ∩ U μ × F varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1):(U_(lambda)nnU_(mu))xx F rarr(U_(lambda)nnU_(mu))xx F\varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}:\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \times F \rightarrow\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \times Fφμ∘φλ−1:(Uλ∩Uμ)×F→(Uλ∩Uμ)×F は, ある C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 g λ μ : U λ ∩ U μ → G g λ μ : U λ ∩ U μ → G g_(lambda mu):U_(lambda)nnU_(mu)rarr Gg_{\lambda \mu}: U_{\lambda} \cap U_{\mu} \rightarrow Ggλμ:Uλ∩Uμ→G を用いて, 次式のように記述される：
( φ μ ∘ φ λ − 1 ) ( p , u ) := ( p , g λ μ ( p ) ⋅ u ) ( ( p , u ) ∈ ( U λ ∩ U μ ) × F ) φ μ ∘ φ λ − 1 ( p , u ) := p , g λ μ ( p ) ⋅ u ( p , u ) ∈ U λ ∩ U μ × F (varphi_(mu)@varphi_(lambda)^(-1))(p,u):=(p,g_(lambda mu)(p)*u)quad((p,u)in(U_(lambda)nnU_(mu))xx F)\left(\varphi_{\mu} \circ \varphi_{\lambda}^{-1}\right)(p, u):=\left(p, g_{\lambda \mu}(p) \cdot u\right) \quad\left((p, u) \in\left(U_{\lambda} \cap U_{\mu}\right) \times F\right)(φμ∘φλ−1)(p,u):=(p,gλμ(p)⋅u)((p,u)∈(Uλ∩Uμ)×F)
このとき, π : E → M π : E → M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:E→M を M M MMM 上の標準ファイバー F F F\boldsymbol{F}F と構造群 G G G\boldsymbol{G}G をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr級ファイバーバンドル ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-fibre bundle over M M MMM with standard fibre F F F\boldsymbol{F}F and structure group G ) G ) G)\boldsymbol{G})G) といい, E p E p E_(p)E_{p}Ep を p p ppp 上ファイバー（fibre), (ii) における φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を局所自明化写像（local trivialization），(ii）にお ける g λ μ g λ μ g_(lambda mu)g_{\lambda \mu}gλμ を変換関数（transition function）という. リー群 G G GGG の E E EEE への作用が次のように定義されることを注意しておく：
g ⋅ u := φ λ − 1 ( π ( u ) , g ⋅ ( pr F ∘ φ λ ) ( u ) ) ( u ∈ E , g ∈ G ) g ⋅ u := φ λ − 1 π ( u ) , g ⋅ pr F ∘ φ λ ( u ) ( u ∈ E , g ∈ G ) g*u:=varphi_(lambda)^(-1)(pi(u),g*(pr_(F)@varphi_(lambda))(u))quad(u in E,g in G)g \cdot u:=\varphi_{\lambda}^{-1}\left(\pi(u), g \cdot\left(\operatorname{pr}_{F} \circ \varphi_{\lambda}\right)(u)\right) \quad(u \in E, g \in G)g⋅u:=φλ−1(π(u),g⋅(prF∘φλ)(u))(u∈E,g∈G)
ここで, φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ は, π ( u ) ∈ U λ π ( u ) ∈ U λ pi(u)inU_(lambda)\pi(u) \in U_{\lambda}π(u)∈Uλ となる局所自明化写像を表し, pr F pr F pr_(F)\operatorname{pr}_{F}prF は U λ × F U λ × F U_(lambda)xx FU_{\lambda} \times FUλ×F か ら F F FFF への自然な射影を表す。この作用が well-definedであること，つまり、 π ( u ) ∈ U λ π ( u ) ∈ U λ pi(u)inU_(lambda)\pi(u) \in U_{\lambda}π(u)∈Uλ となる局所自明化写像 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ のとり方によらないことは, 上述の条件 (ii) を用いて容易に示される。
特に, F = G F = G F=GF=GF=G であり, G G GGG が F = G F = G F=GF=GF=G へ右作用で作用しているとき, π π pi\piπ : E → M E → M E rarr ME \rightarrow ME→M は, 構造群 G G GGG をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級主バンドル（principal bundle with structure group G ) G ) G)G)G), または, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 G G GGG バンドル ( G ( G (G(G(G-bundle) とよばれ る. このとき, 明らかに, G G GGG の E E EEE への作用は自由な作用になる. 逆に, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 リー群 G G GGG がコンパクトである場合, G G GGG が C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 E E EEE に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級で自由に作用 しているならば, その軌道写像 π : E → E / G π : E → E / G pi:E rarr E//G\pi: E \rightarrow E / Gπ:E→E/G は, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 G G GGG バンドルの構造を もつことが容易に示される。ここで，Gのコンパクト性が必要であることを 例証しよう. 例えば,（非コンパクトな） 1 次元可換リー群 ( R , + ) ( R , + ) (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) がトーラス T 2 = R 2 / Z 2 T 2 = R 2 / Z 2 T^(2)=R^(2)//Z^(2)T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \mathbb{Z}^{2}T2=R2/Z2 に次のように作用している場合を考える：
t ⋅ [ ( x 1 , x 2 ) ] = [ ( x 1 + t , x 2 + 2 t ) ] ( t ∈ R , [ ( x 1 , x 2 ) ] ∈ T 2 ) t ⋅ x 1 , x 2 = x 1 + t , x 2 + 2 t t ∈ R , x 1 , x 2 ∈ T 2 t*[(x_(1),x_(2))]=[(x_(1)+t,x_(2)+sqrt2t)]quad(t inR,quad[(x_(1),x_(2))]inT^(2))t \cdot\left[\left(x_{1}, x_{2}\right)\right]=\left[\left(x_{1}+t, x_{2}+\sqrt{2} t\right)\right] \quad\left(t \in \mathbb{R}, \quad\left[\left(x_{1}, x_{2}\right)\right] \in T^{2}\right)t⋅[(x1,x2)]=[(x1+t,x2+2t)](t∈R,[(x1,x2)]∈T2)
ここで, T 2 = R 2 / Z 2 T 2 = R 2 / Z 2 T^(2)=R^(2)//Z^(2)T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \mathbb{Z}^{2}T2=R2/Z2 は, 離散群 Z 2 Z 2 Z^(2)\mathbb{Z}^{2}Z2 の R 2 R 2 R^(2)\mathbb{R}^{2}R2 への作用 ( z 1 , z 2 ) ⋅ ( x 1 , x 2 ) := ( x 1 + z 1 , z 2 ⋅ x 1 , x 2 := x 1 + (z_(1),z_(2))*(x_(1),x_(2)):=(x_(1)+:}\left(z_{1}, z_{2}\right) \cdot\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left(x_{1}+\right.(z1,z2)⋅(x1,x2):=(x1+ z 1 , x 2 + z 2 ) ( ( z 1 , z 2 ) ∈ Z 2 , ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ) z 1 , x 2 + z 2 z 1 , z 2 ∈ Z 2 , x 1 , x 2 ∈ R 2 {:z_(1),x_(2)+z_(2))quad((z_(1),z_(2))inZ^(2),quad(x_(1),x_(2))inR^(2))\left.z_{1}, x_{2}+z_{2}\right) \quad\left(\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathbb{Z}^{2}, \quad\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right)z1,x2+z2)((z1,z2)∈Z2,(x1,x2)∈R2) の軌道空間を表す. 明らかに, こ の作用 R ↷ T 2 R ↷ T 2 R↷T^(2)\mathbb{R} \curvearrowright T^{2}R↷T2 は自由な作用であるが, その軌道写像 π : T 2 → T 2 / R π : T 2 → T 2 / R pi:T^(2)rarrT^(2)//R\pi: T^{2} \rightarrow T^{2} / \mathbb{R}π:T2→T2/R は R R R\mathbb{R}R バ ンドルの構造をもたない. 実際, 商位相空間 T 2 / R T 2 / R T^(2)//RT^{2} / \mathbb{R}T2/R は, ハウスドルフ空間で はなく, それゆえ, 多様体にならない。
π ： E → M π ： E → M pi：E rarr M\pi ： E \rightarrow Mπ：E→M を標準ファイバー F F FFF と構造群 G G GGG をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ファイバーバン ドルとする. M M MMM から E E EEE への C s C s C^(s)C^{s}Cs 写像 σ ( 0 ≤ s ≤ r ) σ ( 0 ≤ s ≤ r ) sigma(0 <= s <= r)\sigma(0 \leq s \leq r)σ(0≤s≤r) で, π ∘ σ = id M π ∘ σ = id M pi@sigma=id_(M)\pi \circ \sigma=\mathrm{id}_{M}π∘σ=idM となる ようなものをファイバーバンドル E E EEE の C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断という. E E EEE の C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断全体の なす空間は Γ loc s ( E ) Γ loc s ( E ) Gamma_(loc)^(s)(E)\Gamma_{\mathrm{loc}}^{s}(E)Γlocs(E) で表され, 特に, E E EEE の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 切断全体のなす空間は Γ ∞ ( E ) Γ ∞ ( E ) Gamma^(oo)(E)\Gamma^{\infty}(E)Γ∞(E) で表される。明らかに, 変換関数の族 { g λ μ ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ 2 g λ μ ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ 2 {g_(lambda mu)∣(lambda,mu)inLambda^(2):}\left\{g_{\lambda \mu} \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2}\right.{gλμ∣(λ,μ)∈Λ2 s.t. U λ ∩ U μ ∉ ∅ } U λ ∩ U μ ∉ ∅ {:U_(lambda)nnU_(mu)!in O/}\left.U_{\lambda} \cap U_{\mu} \notin \emptyset\right\}Uλ∩Uμ∉∅} は,
(5.5.1) g μ ν ⋅ g λ μ = g λ ν ( ∀ ( λ , μ , ν ) ∈ Λ 3 s.t. U λ ∩ U μ ∩ U ν ≠ ∅ ) (5.5.1) g μ ν ⋅ g λ μ = g λ ν ∀ ( λ , μ , ν ) ∈ Λ 3  s.t.  U λ ∩ U μ ∩ U ν ≠ ∅ {:(5.5.1)g_(mu nu)*g_(lambda mu)=g_(lambda nu)quad(AA(lambda,mu,nu)inLambda^(3)" s.t. "U_(lambda)nnU_(mu)nnU_(nu)!=O/):}\begin{equation*} g_{\mu \nu} \cdot g_{\lambda \mu}=g_{\lambda \nu} \quad\left(\forall(\lambda, \mu, \nu) \in \Lambda^{3} \text { s.t. } U_{\lambda} \cap U_{\mu} \cap U_{\nu} \neq \emptyset\right) \tag{5.5.1} \end{equation*}(5.5.1)gμν⋅gλμ=gλν(∀(λ,μ,ν)∈Λ3 s.t. Uλ∩Uμ∩Uν≠∅)
を満たす。
逆に, M M MMM の開被覆 { U λ ∣ λ ∈ Λ } U λ ∣ λ ∈ Λ {U_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{U_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{Uλ∣λ∈Λ} と C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像の族
{ g λ μ : U λ ∩ U μ → G ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ 2 s.t. U λ ∩ U μ ≠ ∅ } g λ μ : U λ ∩ U μ → G ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ 2  s.t.  U λ ∩ U μ ≠ ∅ {g_(lambda mu):U_(lambda)nnU_(mu)rarr G∣(lambda,mu)inLambda^(2)" s.t. "U_(lambda)nnU_(mu)!=O/}\left\{g_{\lambda \mu}: U_{\lambda} \cap U_{\mu} \rightarrow G \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2} \text { s.t. } U_{\lambda} \cap U_{\mu} \neq \emptyset\right\}{gλμ:Uλ∩Uμ→G∣(λ,μ)∈Λ2 s.t. Uλ∩Uμ≠∅}
で式 (5.5.1) を満たすような族が与えられたとき,この族から， M M MMM 上の標準フ アイバー F F FFF と構造群 G G GGG をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ファイバーバンドルを次のように構成す ることができる. { λ } × U λ × F ( λ ∈ Λ ) { λ } × U λ × F ( λ ∈ Λ ) {lambda}xxU_(lambda)xx F(lambda in Lambda)\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times F(\lambda \in \Lambda){λ}×Uλ×F(λ∈Λ) の (外) 直和 E ~ := ⨿ λ ( { λ } × U λ × F ) E ~ := ⨿ λ { λ } × U λ × F widetilde(E):=⨿_(lambda)({lambda}xxU_(lambda)xx F)\widetilde{E}:=\underset{\lambda}{\amalg}\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times F\right)E~:=⨿λ({λ}×Uλ×F) における同値関係〜を
( λ , p , u ) ∼ ( μ , q , v ) ⟺ def p = q かつ v = g λ μ ( p ) ⋅ u ( λ , p , u ) ∼ ( μ , q , v ) ⟺ def p = q  かつ  v = g λ μ ( p ) ⋅ u (lambda,p,u)∼(mu,q,v)Longleftrightarrow_(def)p=q" かつ "v=g_(lambda mu)(p)*u(\lambda, p, u) \sim(\mu, q, v) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} p=q \text { かつ } v=g_{\lambda \mu}(p) \cdot u(λ,p,u)∼(μ,q,v)⟺defp=q かつ v=gλμ(p)⋅u
によって定義する, 〜による商集合 E ~ / E ~ / widetilde(E)//\widetilde{E} /E~/ 〜を E E EEE で表し, 〜に関する商写像を ψ ψ psi\psiψ で表す。また, ( λ , p , u ) ( λ , p , u ) (lambda,p,u)(\lambda, p, u)(λ,p,u) の属する同値類を [ ( λ , p , u ) ] [ ( λ , p , u ) ] [(lambda,p,u)][(\lambda, p, u)][(λ,p,u)] で表すことにする. π π pi\piπ : E → M E → M E rarr ME \rightarrow ME→M を π ( [ ( λ , p , u ) ] ) := p π ( [ ( λ , p , u ) ] ) := p pi([(lambda,p,u)]):=p\pi([(\lambda, p, u)]):=pπ([(λ,p,u)]):=p で定め, φ λ : ψ ( { λ } × U λ × F ) → U λ × F φ λ : ψ { λ } × U λ × F → U λ × F varphi_(lambda):psi({lambda}xxU_(lambda)xx F)rarrU_(lambda)xx F\varphi_{\lambda}: \psi\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times F\right) \rightarrow U_{\lambda} \times Fφλ:ψ({λ}×Uλ×F)→Uλ×F を φ λ ( [ ( λ , p , u ) ] ) := ( p , u ) φ λ ( [ ( λ , p , u ) ] ) := ( p , u ) varphi_(lambda)([(lambda,p,u)]):=(p,u)\varphi_{\lambda}([(\lambda, p, u)]):=(p, u)φλ([(λ,p,u)]):=(p,u) によって定める. このとき, 各 ψ ( { λ } × U λ × F ) ψ { λ } × U λ × F psi({lambda}xxU_(lambda)xx F)\psi\left(\{\lambda\} \times U_{\lambda} \times F\right)ψ({λ}×Uλ×F) を開集合とし, 各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を同相写像とするような位相（これは第 2 可算公理を満
たすハウスドルフ位相）を E E EEE に一意的に与えることができ, さらに，各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像とするような C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造を E E EEE に与えることができる. このとき π : E → M π : E → M pi:E rarr M\pi: E \rightarrow Mπ:E→M は, 各 φ λ φ λ varphi_(lambda)\varphi_{\lambda}φλ を局所自明化写像とするような標準ファイバー F F FFF と構造群 G G GGG をつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ファイバーバンドルになる。このように, 上述のような C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像族 { g λ μ } ( λ , μ ) ∈ Λ 2 g λ μ ( λ , μ ) ∈ Λ 2 {g_(lambda mu)}_((lambda,mu)inLambda^(2))\left\{g_{\lambda \mu}\right\}_{(\lambda, \mu) \in \Lambda^{2}}{gλμ}(λ,μ)∈Λ2 から標準ファイバー F F FFF と構造群 G G GGG をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ファ イバーバンドルを構成することができる.
ここで, ファイバーバンドル, 主バンドルの例を与えることにしよう.
例 5.5.1 ( M , D ) ( M , D ) (M,D)(M, \mathcal{D})(M,D) を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体とし, F ( T p M ) F T p M F(T_(p)M)\mathcal{F}\left(T_{p} M\right)F(TpM) を T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の基底の全体 とし, F ( M ) := ⨿ p ∈ M F ( T p M ) F ( M ) := ⨿ p ∈ M F T p M F(M):=⨿_(p in M)F(T_(p)M)\mathcal{F}(M):=\underset{p \in M}{\amalg} \mathcal{F}\left(T_{p} M\right)F(M):=⨿p∈MF(TpM) とおく.また, F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) から M M MMM への自然な射影 を π π pi\piπ と表す. M M MMM の各局所チャート ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) ( ∈ D ) U , φ = x 1 , … , x n ( ∈ D ) (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))(inD)\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(\in \mathcal{D})(U,φ=(x1,…,xn))(∈D) に対し， φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ : π − 1 ( U ) → U × G L ( n , R ) π − 1 ( U ) → U × G L ( n , R ) pi^(-1)(U)rarr U xx GL(n,R)\pi^{-1}(U) \rightarrow U \times G L(n, \mathbb{R})π−1(U)→U×GL(n,R) を
φ ~ ( u ) := ( π ( u ) , ( a i j ) ) ( u = ( e 1 , … , e n ) ∈ F ( M ) ) ( e i = ∑ j = 1 n a i j ( ∂ ∂ x j ) π ( u ) ) φ ~ ( u ) := π ( u ) , a i j u = e 1 , … , e n ∈ F ( M ) e i = ∑ j = 1 n   a i j ∂ ∂ x j π ( u ) {:[ widetilde(varphi)(u):=(pi(u),(a_(ij)))quad(u=(e_(1),dots,e_(n))inF(M))],[(e_(i)=sum_(j=1)^(n)a_(ij)((del)/(delx_(j)))_(pi(u)))]:}\begin{gathered} \widetilde{\varphi}(u):=\left(\pi(u),\left(a_{i j}\right)\right) \quad\left(u=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \in \mathcal{F}(M)\right) \\ \left(\boldsymbol{e}_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{\pi(u)}\right) \end{gathered}φ~(u):=(π(u),(aij))(u=(e1,…,en)∈F(M))(ei=∑j=1naij(∂∂xj)π(u))
と定義する. このとき, 各 π − 1 ( U ) π − 1 ( U ) pi^(-1)(U)\pi^{-1}(U)π−1(U) を開集合とし, 各 φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ を同相写像とするよ うな F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の位相が一意に定まる。明らかに, F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) は, この位相に関して 第 2 可算公理を満たすハウスドルフ空間になり。族
D ~ := { ( π − 1 ( U ) , φ ~ ) ∣ ( U , φ ) ∈ D } D ~ := π − 1 ( U ) , φ ~ ∣ ( U , φ ) ∈ D widetilde(D):={(pi^(-1)(U),( widetilde(varphi)))∣(U,varphi)inD}\widetilde{\mathcal{D}}:=\left\{\left(\pi^{-1}(U), \widetilde{\varphi}\right) \mid(U, \varphi) \in \mathcal{D}\right\}D~:={(π−1(U),φ~)∣(U,φ)∈D}
が, このハウスドルフ空間 F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 構造になることが示される. ここで, U × G L ( n , R ) U × G L ( n , R ) U xx GL(n,R)U \times G L(n, \mathbb{R})U×GL(n,R) を R n + n 2 R n + n 2 R^(n+n^(2))\mathbb{R}^{n+n^{2}}Rn+n2 の開集合とみなすことにより, φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ を R n + n 2 R n + n 2 R^(n+n^(2))\mathbb{R}^{n+n^{2}}Rn+n2 への写像と みなしている. さらに, π : F ( M ) → M π : F ( M ) → M pi:F(M)rarr M\pi: \mathcal{F}(M) \rightarrow Mπ:F(M)→M が, φ ~ φ ~ widetilde(varphi)\widetilde{\varphi}φ~ たちを局所自明写像とするよ うな C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) バンドルになることがわかる。この G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) バンド ルを M M MMM の枠バンドル（frame bundle）という.
例 5.5.2 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リマン多様体とし, π : T M → M π : T M → M pi:TM rarr M\pi: T M \rightarrow Mπ:TM→M を 接ベクトルバンドルとする. S M S M SMS MSM を
S M := { v ∈ T M ∣ g π ( v ) ( v , v ) = 1 } S M := v ∈ T M ∣ g π ( v ) ( v , v ) = 1 SM:={v in TM∣g_(pi(v))(v,v)=1}S M:=\left\{\boldsymbol{v} \in T M \mid g_{\pi(\boldsymbol{v})}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=1\right\}SM:={v∈TM∣gπ(v)(v,v)=1}
と定義する。明らかに, S M S M SMS MSM は T M T M TMT MTM の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 正則超曲面になり, それゆえ, ( 2 n − 1 ) ( 2 n − 1 ) (2n-1)(2 n-1)(2n−1) 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体になる. π s := π | S M π s := π S M pi_(s):= pi|_(SM)\pi_{s}:=\left.\pi\right|_{S M}πs:=π|SM とおく. π s : S M → M π s : S M → M pi_(s):SM rarr M\pi_{s}: S M \rightarrow Mπs:SM→M は,標準ファイバー S n − 1 ( 1 ) S n − 1 ( 1 ) S^(n-1)(1)S^{n-1}(1)Sn−1(1) と構造群 O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) をつ C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級ファイバーバンドルに なることが次のように示される。ここで, O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) が S n − 1 ( 1 ) S n − 1 ( 1 ) S^(n-1)(1)S^{n-1}(1)Sn−1(1) に自然に作用する ことに注意する. 各点 p ∈ M p ∈ M p in Mp \in Mp∈M に対し, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の零ベクトル 0 p 0 p 0_(p)\mathbf{0}_{p}0p の星状型の開近傍 U ~ p U ~ p widetilde(U)_(p)\widetilde{U}_{p}U~p で exp p | U ~ p exp p U ~ p exp_(p)|_( tilde(U)_(p))\left.\exp _{p}\right|_{\tilde{U}_{p}}expp|U~p が M M MMM のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になるようなものと， ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底 ( e 1 p , … , e n p ) e 1 p , … , e n p (e_(1)^(p),dots,e_(n)^(p))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{p}\right)(e1p,…,enp) をとる。 U p := exp p ⁡ ( U ~ p ) U p := exp p ⁡ U ~ p U_(p):=exp_(p)( widetilde(U)_(p))U_{p}:=\exp _{p}\left(\widetilde{U}_{p}\right)Up:=expp⁡(U~p) とおく. e i p e i p e_(i)^(p)\boldsymbol{e}_{i}^{p}eip を p p ppp を発する U p U p U_(p)U_{p}Up 内の各測地線に沿って平行移動することによってえられる U p U p U_(p)U_{p}Up 上のベクトル場を E i p E i p E_(i)^(p)E_{i}^{p}Eip とする。 E i p E i p E_(i)^(p)E_{i}^{p}Eip は, U p U p U_(p)U_{p}Up 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ ベクトル場になること が示される（証明略）。平行移動は等長線形変換なので, U p U p U_(p)U_{p}Up の各点 q q qqq に対し, ( ( E 1 p ) q , … , ( E n p ) q ) E 1 p q , … , E n p q ((E_(1)^(p))_(q),dots,(E_(n)^(p))_(q))\left(\left(E_{1}^{p}\right)_{q}, \ldots,\left(E_{n}^{p}\right)_{q}\right)((E1p)q,…,(Enp)q) は, ( T q M , g q ) T q M , g q (T_(q)M,g_(q))\left(T_{q} M, g_{q}\right)(TqM,gq) の正規直交基底を与えることがわかる. つ まり, 対応 q ↦ ( ( E 1 p ) q , … , ( E n p ) q ) ( q ∈ U p ) q ↦ E 1 p q , … , E n p q q ∈ U p q|->((E_(1)^(p))_(q),dots,(E_(n)^(p))_(q))(q inU_(p))q \mapsto\left(\left(E_{1}^{p}\right)_{q}, \ldots,\left(E_{n}^{p}\right)_{q}\right)\left(q \in U_{p}\right)q↦((E1p)q,…,(Enp)q)(q∈Up) は, U p U p U_(p)U_{p}Up 上の局所正規直交基底場を与える. φ p : π s − 1 ( U p ) → U p × S n − 1 ( 1 ) φ p : π s − 1 U p → U p × S n − 1 ( 1 ) varphi_(p):pi_(s)^(-1)(U_(p))rarrU_(p)xxS^(n-1)(1)\varphi_{p}: \pi_{s}^{-1}\left(U_{p}\right) \rightarrow U_{p} \times S^{n-1}(1)φp:πs−1(Up)→Up×Sn−1(1) を
φ p ( v ) := ( π ( v ) , v 1 , … , v n ) ( v = ∑ i = 1 n v i ( E i p ) π s ( v ) ∈ π s − 1 ( U p ) ) φ p ( v ) := π ( v ) , v 1 , … , v n v = ∑ i = 1 n   v i E i p π s ( v ) ∈ π s − 1 U p varphi_(p)(v):=(pi(v),v_(1),dots,v_(n))quad(v=sum_(i=1)^(n)v_(i)(E_(i)^(p))_(pi_(s)(v))inpi_(s)^(-1)(U_(p)))\varphi_{p}(\boldsymbol{v}):=\left(\pi(\boldsymbol{v}), v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(E_{i}^{p}\right)_{\pi_{s}(\boldsymbol{v})} \in \pi_{s}^{-1}\left(U_{p}\right)\right)φp(v):=(π(v),v1,…,vn)(v=∑i=1nvi(Eip)πs(v)∈πs−1(Up))
によって定義する. このとき, π s : S M → M π s : S M → M pi_(s):SM rarr M\pi_{s}: S M \rightarrow Mπs:SM→M が, { φ p ∣ p ∈ M } φ p ∣ p ∈ M {varphi_(p)∣p in M}\left\{\varphi_{p} \mid p \in M\right\}{φp∣p∈M} を局所自明化写像としてもつような標準ファイバー S n − 1 ( 1 ) S n − 1 ( 1 ) S^(n-1)(1)S^{n-1}(1)Sn−1(1) と構造群 O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) をもつ C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞級ファイバーバンドルになることが示される。この C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級ファイバーバンド ル π s : S M → M π s : S M → M pi_(s):SM rarr M\pi_{s}: S M \rightarrow Mπs:SM→M を ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の単位接ベクトルバンドル（unit tangent bundle) という.
( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底の全体を O ( T p M ) O T p M O(T_(p)M)\mathcal{O}\left(T_{p} M\right)O(TpM) と表す。また, O ( M ) := O ( M ) := O(M):=\mathcal{O}(M):=O(M):= ⨿ p ∈ M O ( T p M ) ⨿ p ∈ M O T p M ⨿_(p in M)O(T_(p)M)\underset{p \in M}{\amalg} \mathcal{O}\left(T_{p} M\right)⨿p∈MO(TpM) とおく. たた, O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) から M M MMM への自然な射影を π o π o pi^(o)\pi^{o}πo と表す. 明 らかに, O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) は F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 正則部分多様体になる. 上述のように p p ppp の開近傍 U p U p U_(p)U_{p}Up 上の局所正規直交基底場 ( E 1 p , … , E n p ) E 1 p , … , E n p (E_(1)^(p),dots,E_(n)^(p))\left(E_{1}^{p}, \ldots, E_{n}^{p}\right)(E1p,…,Enp) をとり, ψ p : ( π o ) − 1 ( U p ) → ψ p : π o − 1 U p → psi_(p):(pi^(o))^(-1)(U_(p))rarr\psi_{p}:\left(\pi^{o}\right)^{-1}\left(U_{p}\right) \rightarrowψp:(πo)−1(Up)→ U p × O ( n ) U p × O ( n ) U_(p)xx O(n)U_{p} \times O(n)Up×O(n) を
ψ p ( u ) := ( π o ( u ) , ( a i j ) ) ( u = ( e 1 , … , e n ) ∈ ( π o ) − 1 ( U p ) ) ( e i = ∑ j = 1 n a i j ( E j p ) π o ( u ) ) ψ p ( u ) := π o ( u ) , a i j u = e 1 , … , e n ∈ π o − 1 U p e i = ∑ j = 1 n   a i j E j p π o ( u ) {:[psi_(p)(u):=(pi^(o)(u),(a_(ij)))quad(u=(e_(1),dots,e_(n))in(pi^(o))^(-1)(U_(p)))],[(e_(i)=sum_(j=1)^(n)a_(ij)(E_(j)^(p))_(pi^(o)(u)))]:}\begin{gathered} \psi_{p}(u):=\left(\pi^{o}(u),\left(a_{i j}\right)\right) \quad\left(u=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \in\left(\pi^{o}\right)^{-1}\left(U_{p}\right)\right) \\ \left(\boldsymbol{e}_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(E_{j}^{p}\right)_{\pi^{o}(u)}\right) \end{gathered}ψp(u):=(πo(u),(aij))(u=(e1,…,en)∈(πo)−1(Up))(ei=∑j=1naij(Ejp)πo(u))
によって定める. このとき, π o : O ( M ) → M π o : O ( M ) → M pi^(o):O(M)rarr M\pi^{o}: \mathcal{O}(M) \rightarrow Mπo:O(M)→M が, { ψ p ∣ p ∈ M } ψ p ∣ p ∈ M {psi_(p)∣p in M}\left\{\psi_{p} \mid p \in M\right\}{ψp∣p∈M} を局所自明化写像としてもつような C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) バンドルになることが示される.こ の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) バンドル π o : O ( M ) → M π o : O ( M ) → M pi^(o):O(M)rarr M\pi^{o}: \mathcal{O}(M) \rightarrow Mπo:O(M)→M を ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の正規直交枠バンドル (orthonormal frame bundle) という.
例 5.5.3 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を ( n + k ) ( n + k ) (n+k)(n+k)(n+k) 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン多様体 ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内の f f fff によって はめ込まれた n n nnn 次元リーマン部分多様体とし, F ( T p ⊥ M ) F T p ⊥ M F(T_(p)^(_|_)M)\mathcal{F}\left(T_{p}^{\perp} M\right)F(Tp⊥M) を法空間 T p ⊥ M T p ⊥ M T_(p)^(_|_)MT_{p}^{\perp} MTp⊥M の 基底の全体とする。 F ⊥ ( M ) := ⨿ p ∈ M F ( T p ⊥ M ) F ⊥ ( M ) := ⨿ p ∈ M F T p ⊥ M F^(_|_)(M):=⨿_(p in M)F(T_(p)^(_|_)M)\mathcal{F}^{\perp}(M):=\underset{p \in M}{\amalg} \mathcal{F}\left(T_{p}^{\perp} M\right)F⊥(M):=⨿p∈MF(Tp⊥M) とおき, F ⊥ ( M ) F ⊥ ( M ) F^(_|_)(M)\mathcal{F}^{\perp}(M)F⊥(M) から M M MMM への 自然な射影を π π pi\piπ と表す. 各点 p ∈ M p ∈ M p in Mp \in Mp∈M に対し, p p ppp の M M MMM における十分小さな開近傍 U p U p U_(p)U_{p}Up と f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの M ~ M ~ widetilde(M)\widetilde{M}M~ の局所チャート ( V p , ψ p = ( y 1 p , … , y n + k p ) ) V p , ψ p = y 1 p , … , y n + k p (V_(p),psi_(p)=(y_(1)^(p),dots,y_(n+k)^(p)))\left(V_{p}, \psi_{p}=\left(y_{1}^{p}, \ldots, y_{n+k}^{p}\right)\right)(Vp,ψp=(y1p,…,yn+kp)) で, f ( U p ) = { q ∈ V ∣ y n + 1 p ( q ) = ⋯ = y n + k p ( q ) = 0 } f U p = q ∈ V ∣ y n + 1 p ( q ) = ⋯ = y n + k p ( q ) = 0 f(U_(p))={q in V∣y_(n+1)^(p)(q)=cdots=y_(n+k)^(p)(q)=0}f\left(U_{p}\right)=\left\{q \in V \mid y_{n+1}^{p}(q)=\cdots=y_{n+k}^{p}(q)=0\right\}f(Up)={q∈V∣yn+1p(q)=⋯=yn+kp(q)=0} となるようなものをとる. 写像 η p : π − 1 ( U p ) → U p × G L ( k , R ) η p : π − 1 U p → U p × G L ( k , R ) eta_(p):pi^(-1)(U_(p))rarrU_(p)xx GL(k,R)\eta_{p}: \pi^{-1}\left(U_{p}\right) \rightarrow U_{p} \times G L(k, \mathbb{R})ηp:π−1(Up)→Up×GL(k,R) を
η p ( u ) := ( π ( u ) , ( b i j ) ) ( u = ( ξ 1 , … , ξ k ) ∈ π − 1 ( U p ) ) ( ξ i = ∑ j = 1 n a i j ( ∂ ∂ y j ) π ( ξ ) + ∑ j = 1 k b i j ( ∂ ∂ y n + j ) π ( ξ ) ) η p ( u ) := π ( u ) , b i j u = ξ 1 , … , ξ k ∈ π − 1 U p ξ i = ∑ j = 1 n   a i j ∂ ∂ y j π ( ξ ) + ∑ j = 1 k   b i j ∂ ∂ y n + j π ( ξ ) {:[eta_(p)(u):=(pi(u),(b_(ij)))quad(u=(xi_(1),dots,xi_(k))inpi^(-1)(U_(p)))],[(xi_(i):}{:=sum_(j=1)^(n)a_(ij)((del)/(dely_(j)))_(pi(xi))+sum_(j=1)^(k)b_(ij)((del)/(dely_(n+j)))_(pi(xi)))]:}\begin{aligned} \eta_{p}(u) & :=\left(\pi(u),\left(b_{i j}\right)\right) \quad\left(u=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}\right) \in \pi^{-1}\left(U_{p}\right)\right) \\ \left(\xi_{i}\right. & \left.=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(\frac{\partial}{\partial y_{j}}\right)_{\pi(\xi)}+\sum_{j=1}^{k} b_{i j}\left(\frac{\partial}{\partial y_{n+j}}\right)_{\pi(\xi)}\right) \end{aligned}ηp(u):=(π(u),(bij))(u=(ξ1,…,ξk)∈π−1(Up))(ξi=∑j=1naij(∂∂yj)π(ξ)+∑j=1kbij(∂∂yn+j)π(ξ))
と定める. このとき, π : F ⊥ ( M ) → M π : F ⊥ ( M ) → M pi:F^(_|_)(M)rarr M\pi: \mathcal{F}^{\perp}(M) \rightarrow Mπ:F⊥(M)→M は, { η p ∣ p ∈ M } η p ∣ p ∈ M {eta_(p)∣p in M}\left\{\eta_{p} \mid p \in M\right\}{ηp∣p∈M} を局所自明化写像 とするような C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の G L ( k , R ) G L ( k , R ) GL(k,R)G L(k, \mathbb{R})GL(k,R) バンドルになることが容易に示される. この G L ( k , R ) G L ( k , R ) GL(k,R)G L(k, \mathbb{R})GL(k,R) バンドルを M M MMM の法枠バンドル（normal frame bundle）という.
例 5.5.4 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を ( n + k ) ( n + k ) (n+k)(n+k)(n+k) 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン多様体 ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内の f f fff によって はめ込まれた n n nnn 次元リーマン部分多様体とし, π : T ⊥ M → M π : T ⊥ M → M pi:T^(_|_)M rarr M\pi: T^{\perp} M \rightarrow Mπ:T⊥M→M を M M MMM の法べ クトルバンドルとする。 S ⊥ M S ⊥ M S^(_|_)MS^{\perp} MS⊥M を
S ⊥ M := { ξ ∈ T ⊥ M ∣ g ~ f ( π ( ξ ) ) ( ξ , ξ ) = 1 } S ⊥ M := ξ ∈ T ⊥ M ∣ g ~ f ( π ( ξ ) ) ( ξ , ξ ) = 1 S^(_|_)M:={xi inT^(_|_)M∣ widetilde(g)_(f(pi(xi)))(xi,xi)=1}S^{\perp} M:=\left\{\xi \in T^{\perp} M \mid \widetilde{g}_{f(\pi(\xi))}(\xi, \xi)=1\right\}S⊥M:={ξ∈T⊥M∣g~f(π(ξ))(ξ,ξ)=1}
と定義する。明らかに, S ⊥ M S ⊥ M S^(_|_)MS^{\perp} MS⊥M は T ⊥ M T ⊥ M T^(_|_)MT^{\perp} MT⊥M の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 正則超曲面になり, それゆえ, ( n + k − 1 ) ( n + k − 1 ) (n+k-1)(n+k-1)(n+k−1) 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体になる. π s := π | S ⊥ M π s := π S ⊥ M pi_(s):= pi|_(S^(_|_)M)\pi_{s}:=\left.\pi\right|_{S^{\perp} M}πs:=π|S⊥M とおく. π s : S ⊥ M → π s : S ⊥ M → pi_(s):S^(_|_)M rarr\pi_{s}: S^{\perp} M \rightarrowπs:S⊥M→ M M MMM は, 標準ファイバー S k − 1 ( 1 ) S k − 1 ( 1 ) S^(k-1)(1)S^{k-1}(1)Sk−1(1) と構造群 O ( k ) O ( k ) O(k)O(k)O(k) をもつ C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級ファイバーバン ドルになることが次のように示される. 各点 p ∈ M p ∈ M p in Mp \in Mp∈M に対し, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の零べ クトル 0 p 0 p 0_(p)\mathbf{0}_{p}0p の星状型の開近傍 U ~ p U ~ p widetilde(U)_(p)\widetilde{U}_{p}U~p で exp p | U ~ p exp p U ~ p exp_(p)|_( widetilde(U)_(p))\left.\exp _{p}\right|_{\widetilde{U}_{p}}expp|U~p が M M MMM のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になるようなものと, ( T p ⊥ M , g ~ f ( p ) ) T p ⊥ M , g ~ f ( p ) (T_(p)^(_|_)M, widetilde(g)_(f(p)))\left(T_{p}^{\perp} M, \widetilde{g}_{f(p)}\right)(Tp⊥M,g~f(p)) の正規直交基底 ( ξ 1 p , … , ξ k p ) ξ 1 p , … , ξ k p (xi_(1)^(p),dots,xi_(k)^(p))\left(\xi_{1}^{p}, \ldots, \xi_{k}^{p}\right)(ξ1p,…,ξkp) をとる.
( T p ⊥ M , g ~ f ( p ) ) T p ⊥ M , g ~ f ( p ) (T_(p)^(_|_)M, widetilde(g)_(f(p)))\left(T_{p}^{\perp} M, \widetilde{g}_{f(p)}\right)(Tp⊥M,g~f(p)) の正規直交基底は, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の p p ppp における正規直交法枠（orthonormal normal frame）とよばれる。. U p := exp p ⁡ ( U ~ p ) U p := exp p ⁡ U ~ p U_(p):=exp_(p)( widetilde(U)_(p))U_{p}:=\exp _{p}\left(\widetilde{U}_{p}\right)Up:=expp⁡(U~p) とおく. ξ i p ξ i p xi_(i)^(p)\xi_{i}^{p}ξip を, p p ppp を発する U p U p U_(p)U_{p}Up 内の各測地線に沿って法接続 ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に関して平行移動することによってえられる U p U p U_(p)U_{p}Up 上の法ベクトル場を, Ξ i p Ξ i p Xi_(i)^(p)\Xi_{i}^{p}Ξip と表す. Ξ i p Ξ i p Xi_(i)^(p)\Xi_{i}^{p}Ξip は, U p U p U_(p)U_{p}Up 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 法べクトル場になることが示される（証明略）. 法接続に 関する平行移動は等長線形変換なので, U p U p U_(p)U_{p}Up の各点 q q qqq に対し, ( ( Ξ 1 p ) q , … Ξ 1 p q , … ((Xi_(1)^(p))_(q),dots:}\left(\left(\Xi_{1}^{p}\right)_{q}, \ldots\right.((Ξ1p)q,…, ( Ξ k p ) q ) Ξ k p q {:(Xi_(k)^(p))_(q))\left.\left(\Xi_{k}^{p}\right)_{q}\right)(Ξkp)q) は, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の点 q q qqq における正規直交法枠を与えることがわかる.つま り, 対応 q ↦ ( ( Ξ 1 p ) q , … , ( Ξ k p ) q ) ( q ∈ U p ) q ↦ Ξ 1 p q , … , Ξ k p q q ∈ U p q|->((Xi_(1)^(p))_(q),dots,(Xi_(k)^(p))_(q))(q inU_(p))q \mapsto\left(\left(\Xi_{1}^{p}\right)_{q}, \ldots,\left(\Xi_{k}^{p}\right)_{q}\right)\left(q \in U_{p}\right)q↦((Ξ1p)q,…,(Ξkp)q)(q∈Up) は, 局所正規直交法枠場（orthonormal normal frame field）を与える。 φ p : π s − 1 ( U p ) → U p × S k − 1 ( 1 ) φ p : π s − 1 U p → U p × S k − 1 ( 1 ) varphi_(p):pi_(s)^(-1)(U_(p))rarrU_(p)xxS^(k-1)(1)\varphi_{p}: \pi_{s}^{-1}\left(U_{p}\right) \rightarrow U_{p} \times S^{k-1}(1)φp:πs−1(Up)→Up×Sk−1(1) を
φ p ( ξ ) := ( π s ( ξ ) , a 1 , … , a k ) ( ξ = ∑ i = 1 k a i ( Ξ i p ) π s ( ξ ) ∈ π s − 1 ( U p ) ) φ p ( ξ ) := π s ( ξ ) , a 1 , … , a k ξ = ∑ i = 1 k   a i Ξ i p π s ( ξ ) ∈ π s − 1 U p varphi_(p)(xi):=(pi_(s)(xi),a_(1),dots,a_(k))quad(xi=sum_(i=1)^(k)a_(i)(Xi_(i)^(p))_(pi_(s)(xi))inpi_(s)^(-1)(U_(p)))\varphi_{p}(\xi):=\left(\pi_{s}(\xi), a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \quad\left(\xi=\sum_{i=1}^{k} a_{i}\left(\Xi_{i}^{p}\right)_{\pi_{s}(\xi)} \in \pi_{s}^{-1}\left(U_{p}\right)\right)φp(ξ):=(πs(ξ),a1,…,ak)(ξ=∑i=1kai(Ξip)πs(ξ)∈πs−1(Up))
によって定義する。 このとき, π s : S ⊥ M → M π s : S ⊥ M → M pi_(s):S^(_|_)M rarr M\pi_{s}: S^{\perp} M \rightarrow Mπs:S⊥M→M が, { φ p ∣ p ∈ M } φ p ∣ p ∈ M {varphi_(p)∣p in M}\left\{\varphi_{p} \mid p \in M\right\}{φp∣p∈M} を局所自明化写像としてもつような標準ファイバー S k − 1 ( 1 ) S k − 1 ( 1 ) S^(k-1)(1)S^{k-1}(1)Sk−1(1) と構造群 O ( k ) O ( k ) O(k)O(k)O(k) をもつ C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級ファイバーバンドルになることが示される。この C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級ファイバーバ ンドル π s : S ⊥ M → M π s : S ⊥ M → M pi_(s):S^(_|_)M rarr M\pi_{s}: S^{\perp} M \rightarrow Mπs:S⊥M→M を ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の単位法ベクトルバンドル (unit normal bundle) という.
M M MMM の点 p p ppp における正規直交法枠の全体を O ( T p ⊥ M ) O T p ⊥ M O(T_(p)^(_|_)M)\mathcal{O}\left(T_{p}^{\perp} M\right)O(Tp⊥M) と表し, O ⊥ ( M ) := O ⊥ ( M ) := O^(_|_)(M):=\mathcal{O}^{\perp}(M):=O⊥(M):= ⨿ p ∈ M O ( T p ⊥ M ) ⨿ p ∈ M O T p ⊥ M ⨿_(p in M)O(T_(p)^(_|_)M)\underset{p \in M}{\amalg} \mathcal{O}\left(T_{p}^{\perp} M\right)⨿p∈MO(Tp⊥M) とおき, O ⊥ ( M ) O ⊥ ( M ) O^(_|_)(M)\mathcal{O}^{\perp}(M)O⊥(M) から M M MMM への自然な射影を π ∘ π ∘ pi^(@)\pi^{\circ}π∘ と表す. 明らか に, O ⊥ ( M ) O ⊥ ( M ) O^(_|_)(M)\mathcal{O}^{\perp}(M)O⊥(M) は F ⊥ ( M ) F ⊥ ( M ) F^(_|_)(M)\mathcal{F}^{\perp}(M)F⊥(M) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 正則部分多様体になる.上述のように p p ppp の開近傍 U p U p U_(p)U_{p}Up 上の局所正規直交法枠場 ( Ξ 1 p , … , Ξ n p ) Ξ 1 p , … , Ξ n p (Xi_(1)^(p),dots,Xi_(n)^(p))\left(\Xi_{1}^{p}, \ldots, \Xi_{n}^{p}\right)(Ξ1p,…,Ξnp) をとり, ψ p : ( π o ) − 1 ( U p ) → ψ p : π o − 1 U p → psi_(p):(pi^(o))^(-1)(U_(p))rarr\psi_{p}:\left(\pi^{o}\right)^{-1}\left(U_{p}\right) \rightarrowψp:(πo)−1(Up)→ U p × O ( k ) U p × O ( k ) U_(p)xx O(k)U_{p} \times O(k)Up×O(k) を
ψ p ( u ) := ( π o ( u ) , ( a i j ) ) ( u = ( ξ 1 , … , ξ k ) ∈ ( π o ) − 1 ( U p ) ) ( ξ i = ∑ j = 1 k a i j ( Ξ j p ) π o ( u ) ) ψ p ( u ) := π o ( u ) , a i j u = ξ 1 , … , ξ k ∈ π o − 1 U p ξ i = ∑ j = 1 k   a i j Ξ j p π o ( u ) {:[psi_(p)(u):=(pi^(o)(u),(a_(ij)))quad(u=(xi_(1),dots,xi_(k))in(pi^(o))^(-1)(U_(p)))],[(xi_(i)=sum_(j=1)^(k)a_(ij)(Xi_(j)^(p))_(pi^(o)(u)))]:}\begin{aligned} \psi_{p}(u):=\left(\pi^{o}(u),\left(a_{i j}\right)\right) \quad\left(u=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}\right) \in\left(\pi^{o}\right)^{-1}\left(U_{p}\right)\right) \\ \left(\xi_{i}=\sum_{j=1}^{k} a_{i j}\left(\Xi_{j}^{p}\right)_{\pi^{o}(u)}\right) \end{aligned}ψp(u):=(πo(u),(aij))(u=(ξ1,…,ξk)∈(πo)−1(Up))(ξi=∑j=1kaij(Ξjp)πo(u))
によって定める. このとき, π ∘ : O ⊥ ( M ) → M π ∘ : O ⊥ ( M ) → M pi^(@):O^(_|_)(M)rarr M\pi^{\circ}: \mathcal{O}^{\perp}(M) \rightarrow Mπ∘:O⊥(M)→M は, { ψ p ∣ p ∈ M } ψ p ∣ p ∈ M {psi_(p)∣p in M}\left\{\psi_{p} \mid p \in M\right\}{ψp∣p∈M} を局所自明化写像としてもつような C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の O ( k ) O ( k ) O(k)O(k)O(k) バンドルになる. この C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の O ( k ) O ( k ) O(k)O(k)O(k) バンドル π o : O ⊥ ( M ) → M π o : O ⊥ ( M ) → M pi^(o):O^(_|_)(M)rarr M\pi^{o}: \mathcal{O}^{\perp}(M) \rightarrow Mπo:O⊥(M)→M をリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の正規直交法枠バ
ンドル(orthonormal normal frame bundle) という.
この節の最後に, G G GGG バンドルと G G GGG の表現に付随して定義される同伴ベクト ルバンドルについて述べることにする. π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を G G GGG バンドルとし, ρ ρ rho\rhoρ : G → G L ( V ) G → G L ( V ) G rarr GL(V)G \rightarrow G L(V)G→GL(V) を G G GGG の表現とする. P × V P × V P xx VP \times VP×V における同值関係〜を
( u 1 , v 1 ) ∼ ( u 2 , v 2 ) ⟺ def ∃ g ∈ G s.t. R g ( u 1 ) = u 2 , ρ ( g − 1 ) ( v 1 ) = v 2 ( ( u 1 , v 1 ) , ( u 2 , v 2 ) ∈ P × V ) u 1 , v 1 ∼ u 2 , v 2 ⟺ def ∃ g ∈ G  s.t.  R g u 1 = u 2 , ρ g − 1 v 1 = v 2 u 1 , v 1 , u 2 , v 2 ∈ P × V {:[(u_(1),v_(1))∼(u_(2),v_(2))Longleftrightarrow_(def)EE g in G" s.t. "R_(g)(u_(1))=u_(2)","rho(g^(-1))(v_(1))=v_(2)],[((u_(1),v_(1)),(u_(2),v_(2))in P xx V)]:}\begin{array}{r} \left(u_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right) \sim\left(u_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right) \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \exists g \in G \text { s.t. } R_{g}\left(u_{1}\right)=u_{2}, \rho\left(g^{-1}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)=\boldsymbol{v}_{2} \\ \left(\left(u_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right),\left(u_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right) \in P \times V\right) \end{array}(u1,v1)∼(u2,v2)⟺def∃g∈G s.t. Rg(u1)=u2,ρ(g−1)(v1)=v2((u1,v1),(u2,v2)∈P×V)
によって定義する. この同値関係による商集合 ( P × V ) / ∼ ( P × V ) / ∼ (P xx V)//∼(P \times V) / \sim(P×V)/∼ を P × ρ V P × ρ V P xx rho VP \times \rho VP×ρV と表し, ( u , v ) ( ∈ P × G ) ( u , v ) ( ∈ P × G ) (u,v)(in P xx G)(u, \boldsymbol{v})(\in P \times G)(u,v)(∈P×G) の属する同値類を [ ( u , v ) ] [ ( u , v ) ] [(u,v)][(u, \boldsymbol{v})][(u,v)] と表す. 写像 π ρ : P × ρ V → M π ρ : P × ρ V → M pi_(rho):Pxx_(rho)V rarr M\pi_{\rho}: P \times_{\rho} V \rightarrow Mπρ:P×ρV→M を π ρ ( [ ( u , v ) ] ) := π ( u ) ( [ ( u , v ) ] ∈ P × ρ V ) π ρ ( [ ( u , v ) ] ) := π ( u ) [ ( u , v ) ] ∈ P × ρ V pi_(rho)([(u,v)]):=pi(u)([(u,v)]in Pxx_(rho)V)\pi_{\rho}([(u, \boldsymbol{v})]):=\pi(u)\left([(u, \boldsymbol{v})] \in P \times_{\rho} V\right)πρ([(u,v)]):=π(u)([(u,v)]∈P×ρV) で定める. このとき, π ρ : P × ρ V → π ρ : P × ρ V → pi_(rho):Pxx_(rho)V rarr\pi_{\rho}: P \times_{\rho} V \rightarrowπρ:P×ρV→ M M MMM は V V VVV を標準ファイバーとする C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級ベクトルバンドルになる。 このベク トルバンドルを G G GGG バンドル P P PPP の表現 ρ ρ rho\rhoρ による同伴ベクトルバンドル（the associated vector bundle of the G G GGG-bundle P P PPP by the representation o) という.
例 5.5.5 ρ : G L ( n , R ) → G L ( R n ) ρ : G L ( n , R ) → G L R n rho:GL(n,R)rarr GL(R^(n))\rho: G L(n, \mathbb{R}) \rightarrow G L\left(\mathbb{R}^{n}\right)ρ:GL(n,R)→GL(Rn) を
ρ ( A ) ( x 1 , … , x n ) := ( x 1 , … , x n ) A ( A ∈ G L ( n , R ) , ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ) ρ ( A ) x 1 , … , x n := x 1 , … , x n A A ∈ G L ( n , R ) , x 1 , … , x n ∈ R n rho(A)(x_(1),dots,x_(n)):=(x_(1),dots,x_(n))A quad(A in GL(n,R),quad(x_(1),dots,x_(n))inR^(n))\rho(A)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A \quad\left(A \in G L(n, \mathbb{R}), \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right)ρ(A)(x1,…,xn):=(x1,…,xn)A(A∈GL(n,R),(x1,…,xn)∈Rn)
によって定義する. ここで, 右辺の ( x 1 , … , x n ) A x 1 , … , x n A (x_(1),dots,x_(n))A\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A(x1,…,xn)A は, ( x 1 , … , x n ) x 1 , … , x n (x_(1),dots,x_(n))\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(x1,…,xn) と A A AAA の行列積を表す. n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体 M M MMM の枠バンドル F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の, この表現 ρ ρ rho\rhoρ によ る同伴ベクトルバンドル F ( M ) × ρ R n F ( M ) × ρ R n F(M)xx_(rho)R^(n)\mathcal{F}(M) \times{ }_{\rho} \mathbb{R}^{n}F(M)×ρRn は, 次の対応により接ベクトルバンド ル TM と同一視される：
[ ( ( e 1 , … , e n ) , ( x 1 , … , x n ) ) ] ⟷ ∑ i = 1 n x i e i ( ( e 1 , … , e n ) ∈ F ( M ) , ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ) e 1 , … , e n , x 1 , … , x n ⟷ ∑ i = 1 n   x i e i e 1 , … , e n ∈ F ( M ) , x 1 , … , x n ∈ R n {:[{:[((e_(1),dots,e_(n)),(x_(1),dots,x_(n)))]longleftrightarrowsum_(i=1)^(n)x_(i)e_(i):}],[((e_(1),dots,e_(n))inF(M),quad(x_(1),dots,x_(n))inR^(n))]:}\begin{gathered} {\left[\left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)\right] \longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \boldsymbol{e}_{i}} \\ \left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \in \mathcal{F}(M), \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right) \end{gathered}[((e1,…,en),(x1,…,xn))]⟷∑i=1nxiei((e1,…,en)∈F(M),(x1,…,xn)∈Rn)
例 5.5.6 ρ : O ( n ) → G L ( R n ) ρ : O ( n ) → G L R n rho:O(n)rarr GL(R^(n))\rho: O(n) \rightarrow G L\left(\mathbb{R}^{n}\right)ρ:O(n)→GL(Rn) を
ρ ( A ) ( x 1 , … , x n ) := ( x 1 , … , x n ) A ( A ∈ O ( n ) , ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ) ρ ( A ) x 1 , … , x n := x 1 , … , x n A A ∈ O ( n ) , x 1 , … , x n ∈ R n rho(A)(x_(1),dots,x_(n)):=(x_(1),dots,x_(n))A quad(A in O(n),quad(x_(1),dots,x_(n))inR^(n))\rho(A)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A \quad\left(A \in O(n), \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right)ρ(A)(x1,…,xn):=(x1,…,xn)A(A∈O(n),(x1,…,xn)∈Rn)
と定義する. n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の正規直交枠バンドル
O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の, この表現 ρ ρ rho\rhoρ による同伴ベクトルバンドル O ( M ) × ρ R n O ( M ) × ρ R n O(M)xx_(rho)R^(n)\mathcal{O}(M) \times{ }_{\rho} \mathbb{R}^{n}O(M)×ρRn は, 上述と 同様の対応により接ベクトルバンドル T M T M TMT MTM と同一視される.

5.6 偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理

この節の前半部では, ユークリッド空間内の偶数次元閉リーマン部分多様体 に対するガウス・ボンネ型定理について述べ, 後半部では, 球面内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理について述べることにす る.
( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を ( 2 n + k ) ( 2 n + k ) (2n+k)(2 n+k)(2n+k) 次元ユークリッド空間 ( E 2 n + k , g ~ E ) E 2 n + k , g ~ E (E^(2n+k), widetilde(g)_(E))\left(\mathbb{E}^{2 n+k}, \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right)(E2n+k,g~E) 内の f f fff によってはめ 达まれた 2 n 2 n 2n2 n2n 次元の向き付けられた C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リマン部分多様体とし, A A AAA を ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の形テンソル場とし, π : S ⊥ M → M π : S ⊥ M → M pi:S^(_|_)M rarr M\pi: S^{\perp} M \rightarrow Mπ:S⊥M→M を ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の単位法ベクトルバンドルと する. S ⊥ M S ⊥ M S^(_|_)MS^{\perp} MS⊥M から E 2 n + k E 2 n + k E^(2n+k)\mathbb{E}^{2 n+k}E2n+k 内の単位球面 S 2 n + k − 1 ( 1 ) := { p ∈ A 2 n + k ∣ ‖ o p → ‖ = 1 } S 2 n + k − 1 ( 1 ) := p ∈ A 2 n + k ∣ ‖ o p → ‖ = 1 S^(2n+k-1)(1):={p inA^(2n+k)∣|| vec(op)||=1}S^{2 n+k-1}(1):=\left\{p \in \mathbb{A}^{2 n+k} \mid\|\overrightarrow{o p}\|=1\right\}S2n+k−1(1):={p∈A2n+k∣‖op→‖=1} への写像 ν ν nu\nuν を
o ν ( ξ → ) → = ξ ( ξ ∈ S ⊥ M ) o ν ( ξ → ) → = ξ ξ ∈ S ⊥ M vec(o nu(( vec(xi))))=xiquad(xi inS^(_|_)M)\overrightarrow{o \nu(\vec{\xi})}=\xi \quad\left(\xi \in S^{\perp} M\right)oν(ξ→)→=ξ(ξ∈S⊥M)
によって定義する。この写像は, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 写像であることが示される（証明略）.本書では, この写像 ν ν nu\nuν をリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のガウス写像（Gauss map）とよぶことにする。
注意 通常, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の f f fff によってはめ込まれた向き付けられた C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) に対し, その（向きの定める）単位法ベクトル場を N N NNN として, ガウス 写像 ν : M → S n ( 1 ) ν : M → S n ( 1 ) nu:M rarrS^(n)(1)\nu: M \rightarrow S^{n}(1)ν:M→Sn(1) が
o ν ( p ) → = N p ( p ∈ M ) o ν ( p ) → = N p ( p ∈ M ) vec(o nu(p))=N_(p)quad(p in M)\overrightarrow{o \nu(p)}=\boldsymbol{N}_{p} \quad(p \in M)oν(p)→=Np(p∈M)
によって定義される.
また, E n + k E n + k E^(n+k)\mathbb{E}^{n+k}En+k 内の f f fff によってはめ达まれた n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) に対し, ν T : M → G n ( R n + k ) ν T : M → G n R n + k nu_(T):M rarrG_(n)(R^(n+k))\nu_{T}: M \rightarrow G_{n}\left(\mathbb{R}^{n+k}\right)νT:M→Gn(Rn+k) と ν ⊥ : M → G k ( R n + k ) ν ⊥ : M → G k R n + k nu_(_|_):M rarrG_(k)(R^(n+k))\nu_{\perp}: M \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{R}^{n+k}\right)ν⊥:M→Gk(Rn+k) を,
ν T ( p ) = T p M , ν ⊥ ( p ) = T p ⊥ M ( p ∈ M ) ν T ( p ) = T p M , ν ⊥ ( p ) = T p ⊥ M ( p ∈ M ) nu_(T)(p)=T_(p)M,quadnu_(_|_)(p)=T_(p)^(_|_)M quad(p in M)\nu_{T}(p)=T_{p} M, \quad \nu_{\perp}(p)=T_{p}^{\perp} M \quad(p \in M)νT(p)=TpM,ν⊥(p)=Tp⊥M(p∈M)
と定義する。ここで, T f ( p ) E n + k T f ( p ) E n + k T_(f(p))E^(n+k)T_{f(p)} \mathbb{E}^{n+k}Tf(p)En+k と R n + k R n + k R^(n+k)\mathbb{R}^{n+k}Rn+k の同一視の下, T p M , T p ⊥ M T p M , T p ⊥ M T_(p)M,T_(p)^(_|_)MT_{p} M, T_{p}^{\perp} MTpM,Tp⊥M を R n + k R n + k R^(n+k)\mathbb{R}^{n+k}Rn+k の部分ベクトル空間とみなしている。また, G n ( R n + k ) , G k ( R n + k ) G n R n + k , G k R n + k G_(n)(R^(n+k)),G_(k)(R^(n+k))G_{n}\left(\mathbb{R}^{n+k}\right), G_{k}\left(\mathbb{R}^{n+k}\right)Gn(Rn+k),Gk(Rn+k) は, グラスマン多様体を表す。これらの写像 ν T , ν ⊥ ν T , ν ⊥ nu_(T),nu_(_|_)\nu_{T}, \nu_{\perp}νT,ν⊥ は各々, 接ガウス写像（tan-
gential Gauss map), 法ガウス写像（normal Gauss map）とよばれる. S ⊥ M S ⊥ M S^(_|_)MS^{\perp} MS⊥M 上の鉛直分布 V V V\mathcal{V}V と ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の法接続 ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に関する水平分布 H H H\mathcal{H}H が次のよ うに定義される：
V ξ := T ξ ( π − 1 ( π ( ξ ) ) ) , H ξ := { v ξ L ∣ v ∈ T π ( ξ ) M } ( ξ ∈ S ⊥ M ) V ξ := T ξ π − 1 ( π ( ξ ) ) , H ξ := v ξ L ∣ v ∈ T π ( ξ ) M ξ ∈ S ⊥ M V_(xi):=T_(xi)(pi^(-1)(pi(xi))),quadH_(xi):={v_(xi)^(L)∣v inT_(pi(xi))M}quad(xi inS^(_|_)M)\mathcal{V}_{\xi}:=T_{\xi}\left(\pi^{-1}(\pi(\xi))\right), \quad \mathcal{H}_{\xi}:=\left\{\boldsymbol{v}_{\xi}^{L} \mid \boldsymbol{v} \in T_{\pi(\xi)} M\right\} \quad\left(\xi \in S^{\perp} M\right)Vξ:=Tξ(π−1(π(ξ))),Hξ:={vξL∣v∈Tπ(ξ)M}(ξ∈S⊥M)
ここで v ξ L v ξ L v_(xi)^(L)\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}vξL は, c ′ ( 0 ) = v c ′ ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c′(0)=v となる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線 c c ccc, および, c c ccc に沿う ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に 関して平行な法ベクトル場 ξ ~ ξ ~ widetilde(xi)\widetilde{\xi}ξ~ をと、, v ξ L := ξ ~ ′ ( 0 ) v ξ L := ξ ~ ′ ( 0 ) v_(xi)^(L):= widetilde(xi)^(')(0)\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}:=\widetilde{\xi}^{\prime}(0)vξL:=ξ~′(0) によって定義される T ξ ( S ⊥ M ) T ξ S ⊥ M T_(xi)(S^(_|_)M)T_{\xi}\left(S^{\perp} M\right)Tξ(S⊥M) の元である. v ξ L v ξ L v_(xi)^(L)\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}vξL は v v v\boldsymbol{v}v の ξ ξ xi\xiξ への水平リフト（horizontal lift）とよ ばれる. 容易に, T ξ ( S ⊥ M ) = V ξ ⊕ H ξ T ξ S ⊥ M = V ξ ⊕ H ξ T_(xi)(S^(_|_)M)=V_(xi)o+H_(xi)T_{\xi}\left(S^{\perp} M\right)=\mathcal{V}_{\xi} \oplus \mathcal{H}_{\xi}Tξ(S⊥M)=Vξ⊕Hξ が成り立つことが示される。 S ⊥ M S ⊥ M S^(_|_)MS^{\perp} MS⊥M 上 の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン計量 g S g S g_(S)g_{S}gS が
{ ( g S ) ξ ( w 1 , w 2 ) = g ~ E ( w 1 , w 2 ) ( w 1 , w 2 ∈ V ξ ) ( g S ) ξ ( ( v 1 ) ξ L , ( v 2 ) ξ L ) = g π ( ξ ) ( v 1 , v 2 ) ( ( v 1 ) ξ L , ( v 2 ) ξ L ∈ H ξ ) ( g S ) ξ ( v ξ L , w ) = 0 ( v ξ L ∈ H ξ , w ∈ V ξ ) g S ξ w 1 , w 2 = g ~ E w 1 , w 2 w 1 , w 2 ∈ V ξ g S ξ v 1 ξ L , v 2 ξ L = g π ( ξ ) v 1 , v 2 v 1 ξ L , v 2 ξ L ∈ H ξ g S ξ v ξ L , w = 0 v ξ L ∈ H ξ , w ∈ V ξ {[(g_(S))_(xi)(w_(1),w_(2))= widetilde(g)_(E)(w_(1),w_(2))quad(w_(1),w_(2)inV_(xi))],[(g_(S))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L),(v_(2))_(xi)^(L))=g_(pi(xi))(v_(1),v_(2))quad((v_(1))_(xi)^(L),(v_(2))_(xi)^(L)inH_(xi))],[(g_(S))_(xi)(v_(xi)^(L),w)=0quad(v_(xi)^(L)inH_(xi),w inV_(xi))]:}\left\{\begin{array}{l} \left(g_{S}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}\right)=\widetilde{g}_{\mathbb{E}}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}\right) \quad\left(\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2} \in \mathcal{V}_{\xi}\right) \\ \left(g_{S}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L},\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)_{\xi}^{L}\right)=g_{\pi(\xi)}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right) \quad\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L},\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)_{\xi}^{L} \in \mathcal{H}_{\xi}\right) \\ \left(g_{S}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}, \boldsymbol{w}\right)=0 \quad\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L} \in \mathcal{H}_{\xi}, \boldsymbol{w} \in \mathcal{V}_{\xi}\right) \end{array}\right.{(gS)ξ(w1,w2)=g~E(w1,w2)(w1,w2∈Vξ)(gS)ξ((v1)ξL,(v2)ξL)=gπ(ξ)(v1,v2)((v1)ξL,(v2)ξL∈Hξ)(gS)ξ(vξL,w)=0(vξL∈Hξ,w∈Vξ)
によって定められる. このリーマン計量 g S g S g_(S)g_{S}gS は, 佐々木計量 (Sasaki metric) とよばれる.
ガウス写像 ν : S ⊥ M → S 2 n + k − 1 ( 1 ) ν : S ⊥ M → S 2 n + k − 1 ( 1 ) nu:S^(_|_)M rarrS^(2n+k-1)(1)\nu: S^{\perp} M \rightarrow S^{2 n+k-1}(1)ν:S⊥M→S2n+k−1(1) に対し, 次の事実が成り立つ.
命題 5.6.1 (i) w ∈ V ξ w ∈ V ξ w inV_(xi)\boldsymbol{w} \in \mathcal{V}_{\xi}w∈Vξ に対し, d ν ξ ( w ) = w d ν ξ ( w ) = w dnu_(xi)(w)=wd \nu_{\xi}(\boldsymbol{w})=\boldsymbol{w}dνξ(w)=w が成り立つ. ここで, 左辺の d ν ξ ( w ) d ν ξ ( w ) dnu_(xi)(w)d \nu_{\xi}(\boldsymbol{w})dνξ(w) は, 下記のように T ν ( ξ ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) T ν ( ξ ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) T_(nu(xi))S^(2n+k-1)(1)T_{\nu(\xi)} S^{2 n+k-1}(1)Tν(ξ)S2n+k−1(1) を R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k の部分ベクト ル空間とみなした上で, R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k のベクトルとみなしており, また右辺の w w w\boldsymbol{w}w は, 下記のように V ξ V ξ V_(xi)\mathcal{V}_{\xi}Vξ を R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k の部分ベクトル空間とみなした上で, R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k のベクトルとみなしている：
T ν ( ξ ) S n + k − 1 ( 1 ) ⊂ T ν ( ξ ) A 2 n + k = R 2 n + k = V ξ ⊂ T ξ ( T π ( ξ ) ⊥ M ) == ident. T π ( ξ ) ⊥ M ⊂ T ξ A 2 n + k = ident. R 2 n + k T ν ( ξ ) S n + k − 1 ( 1 ) ⊂ T ν ( ξ ) A 2 n + k = R 2 n + k = V ξ ⊂ T ξ T π ( ξ ) ⊥ M ==  ident.  T π ( ξ ) ⊥ M ⊂ T ξ A 2 n + k =  ident.  R 2 n + k {:[T_(nu(xi))S^(n+k-1)(1)subT_(nu(xi))A^(2n+k)=R^(2n+k)=],[V_(xi)subT_(xi)(T_(pi(xi))^(_|_)M)==_(" ident. ")T_(pi(xi))^(_|_)M subT_(xi)A^(2n+k)=_(" ident. ")R^(2n+k)]:}\begin{gathered} T_{\nu(\xi)} S^{n+k-1}(1) \subset T_{\nu(\xi)} \mathbb{A}^{2 n+k}=\mathbb{R}^{2 n+k}= \\ \mathcal{V}_{\xi} \subset T_{\xi}\left(T_{\pi(\xi)}^{\perp} M\right) \underset{\text { ident. }}{==} T_{\pi(\xi)}^{\perp} M \subset T_{\xi} \mathbb{A}^{2 n+k} \underset{\text { ident. }}{=} \mathbb{R}^{2 n+k} \end{gathered}Tν(ξ)Sn+k−1(1)⊂Tν(ξ)A2n+k=R2n+k=Vξ⊂Tξ(Tπ(ξ)⊥M)== ident. Tπ(ξ)⊥M⊂TξA2n+k= ident. R2n+k
(ii) v ∈ T p M , ξ ∈ π − 1 ( p ) ( = T p ⊥ M ) v ∈ T p M , ξ ∈ π − 1 ( p ) = T p ⊥ M v inT_(p)M,xi inpi^(-1)(p)(=T_(p)^(_|_)M)\boldsymbol{v} \in T_{p} M, \xi \in \pi^{-1}(p)\left(=T_{p}^{\perp} M\right)v∈TpM,ξ∈π−1(p)(=Tp⊥M) とする. v ξ L ∈ H ξ v ξ L ∈ H ξ v_(xi)^(L)inH_(xi)\boldsymbol{v}_{\xi}^{L} \in \mathcal{H}_{\xi}vξL∈Hξ に対し,
(5.6.1) d ν ξ ( v ξ L ) = − d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) (5.6.1) d ν ξ v ξ L = − d f p A p ξ ( v ) {:(5.6.1)dnu_(xi)(v_(xi)^(L))=-df_(p)((A_(p))_(xi)(v)):}\begin{equation*} d \nu_{\xi}\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}\right)=-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right) \tag{5.6.1} \end{equation*}(5.6.1)dνξ(vξL)=−dfp((Ap)ξ(v))
が成り立つ. ここで左辺の d ν ξ ( v ξ L ) d ν ξ v ξ L dnu_(xi)(v_(xi)^(L))d \nu_{\xi}\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}\right)dνξ(vξL) は, 上述のように T ν ( ξ ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) T ν ( ξ ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) T_(nu(xi))S^(2n+k-1)(1)T_{\nu(\xi)} S^{2 n+k-1}(1)Tν(ξ)S2n+k−1(1) を R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k の部分ベクトル空間とみなした上で, R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k のベクトルとみな
しており、また右辺の − d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) − d f p A p ξ ( v ) -df_(p)((A_(p))_(xi)(v))-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)−dfp((Ap)ξ(v)) は, 下記のように d f p ( T p M ) d f p T p M df_(p)(T_(p)M)d f_{p}\left(T_{p} M\right)dfp(TpM) を R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k の部分ベクトル空間とみなした上で, R 2 n + k R 2 n + k R^(2n+k)\mathbb{R}^{2 n+k}R2n+k のベクトルとみなし ている：
d f p ( T p M ) ⊂ T f ( p ) A 2 n + k = ident. R 2 n + k d f p T p M ⊂ T f ( p ) A 2 n + k =  ident.  R 2 n + k df_(p)(T_(p)M)subT_(f(p))A^(2n+k)=_(" ident. ")R^(2n+k)d f_{p}\left(T_{p} M\right) \subset T_{f(p)} \mathbb{A}^{2 n+k} \underset{\text { ident. }}{=} \mathbb{R}^{2 n+k}dfp(TpM)⊂Tf(p)A2n+k= ident. R2n+k
(iii) ξ ∈ π − 1 ( p ) ξ ∈ π − 1 ( p ) xi inpi^(-1)(p)\xi \in \pi^{-1}(p)ξ∈π−1(p) とする. このとき，
(5.6.2) ( ν ∗ d V g s , 1 ) ξ = det ( A p ) ξ ⋅ ( d V g S ) ξ (5.6.2) ν ∗ d V g s , 1 ξ = det A p ξ ⋅ d V g S ξ {:(5.6.2)(nu^(**)dV_(g_(s,1)))_(xi)=det(A_(p))_(xi)*(dV_(g_(S)))_(xi):}\begin{equation*} \left(\nu^{*} d V_{g_{\mathrm{s}, 1}}\right)_{\xi}=\operatorname{det}\left(A_{p}\right)_{\xi} \cdot\left(d V_{g_{S}}\right)_{\xi} \tag{5.6.2} \end{equation*}(5.6.2)(ν∗dVgs,1)ξ=det(Ap)ξ⋅(dVgS)ξ
が成り立つ. ここで, d V g S , 1 , d V g S d V g S , 1 , d V g S dV_(g_(S,1)),dV_(g_(S))d V_{g_{\mathrm{S}, 1}}, d V_{g_{S}}dVgS,1,dVgS は各々, S 2 n + k − 1 ( 1 ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) S^(2n+k-1)(1)S^{2 n+k-1}(1)S2n+k−1(1) の標準計量 g S , 1 g S , 1 g_(S,1)g_{\mathbb{S}, 1}gS,1 と佐々木計量 g S g S g_(S)g_{S}gS のリーマン体積要素を表す.
証明 (i) は明らかである. (ii) を示そう. v = c ′ ( 0 ) v = c ′ ( 0 ) v=c^(')(0)\boldsymbol{v}=c^{\prime}(0)v=c′(0) となる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線 c : ( − ε , ε ) → M c : ( − ε , ε ) → M c:(-epsi,epsi)rarr Mc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mc:(−ε,ε)→M をとり, ξ ~ ξ ~ widetilde(xi)\widetilde{\xi}ξ~ を c c ccc に沿う ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に関して平行な法ベクトル場と する. このとき, ν ν nu\nuν との定義から,
d ν ξ ( v ξ L ) = d ν ( ξ ~ t ) d t | t = 0 = ( ∇ ~ c ′ ξ ~ ) 0 = − d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) d ν ξ v ξ L = d ν ξ ~ t d t t = 0 = ∇ ~ c ′ ξ ~ 0 = − d f p A p ξ ( v ) dnu_(xi)(v_(xi)^(L))=(d nu( widetilde(xi)_(t)))/(dt)|_(t=0)=( widetilde(grad)_(c^('))( widetilde(xi)))_(0)=-df_(p)((A_(p))_(xi)(v))d \nu_{\xi}\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}\right)=\left.\frac{d \nu\left(\widetilde{\xi}_{t}\right)}{d t}\right|_{t=0}=\left(\widetilde{\nabla}_{c^{\prime}} \widetilde{\xi}\right)_{0}=-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)dνξ(vξL)=dν(ξ~t)dt|t=0=(∇~c′ξ~)0=−dfp((Ap)ξ(v))
が導かれ, 主張 (ii)が示される。ここで, ∇ ~ ∇ ~ widetilde(grad)\widetilde{\nabla}∇~ は g ~ E g ~ E widetilde(g)_(E)\widetilde{g}_{\mathbb{E}}g~E のリーマン接続を表す. 次 に，主張（iii）を示そう。任意に, ( v 1 , … , v 2 n ) ∈ F ( T p M ) v 1 , … , v 2 n ∈ F T p M (v_(1),dots,v_(2n))inF(T_(p)M)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{2 n}\right) \in \mathcal{F}\left(T_{p} M\right)(v1,…,v2n)∈F(TpM) と ( w 1 , … w 1 , … (w_(1),dots:}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots\right.(w1,…, w k − 1 ) ∈ F ( V ξ ) w k − 1 ∈ F V ξ {:w_(k-1))inF(V_(xi))\left.\boldsymbol{w}_{k-1}\right) \in \mathcal{F}\left(\mathcal{V}_{\xi}\right)wk−1)∈F(Vξ) をとる. このとき, (i), (ii)における関係式を用いて,
( ν ∗ d V g s , 1 ) ξ ( ( v 1 ) ξ L , … , ( v 2 n ) ξ L , w 1 , … , w k − 1 ) = ( d V g S , 1 ) ν ( ξ ) ( ( d ν ) ξ ( ( v 1 ) ξ L ) , … , ( d ν ) ξ ( ( v 2 n ) ξ L ) , ( d ν ) ξ ( w 1 ) , … , ( d ν ) ξ ( w k − 1 ) ) = ( d V g s , 1 ) ν ( ξ ) ( − d f p ( ( A p ) ξ ( v 1 ) ) , … , − d f p ( ( A p ) ξ ( v 2 n ) ) , w 1 , … , w k − 1 ) = ( − 1 ) 2 n ⋅ det ( A p ) ξ ⋅ ( d V g S ) ξ ( ( v 1 ) ξ L , … , ( v 2 n ) ξ L , w 1 , … , w k − 1 ) = det ( A p ) ξ ⋅ ( d V g S ) ξ ( ( v 1 ) ξ L , … , ( v 2 n ) ξ L , w 1 , … , w k − 1 ) ν ∗ d V g s , 1 ξ v 1 ξ L , … , v 2 n ξ L , w 1 , … , w k − 1 = d V g S , 1 ν ( ξ ) ( d ν ) ξ v 1 ξ L , … , ( d ν ) ξ v 2 n ξ L , ( d ν ) ξ w 1 , … , ( d ν ) ξ w k − 1 = d V g s , 1 ν ( ξ ) − d f p A p ξ v 1 , … , − d f p A p ξ v 2 n , w 1 , … , w k − 1 = ( − 1 ) 2 n ⋅ det A p ξ ⋅ d V g S ξ v 1 ξ L , … , v 2 n ξ L , w 1 , … , w k − 1 = det A p ξ ⋅ d V g S ξ v 1 ξ L , … , v 2 n ξ L , w 1 , … , w k − 1 {:[(nu^(**)dV_(g_(s,1)))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L),dots,(v_(2n))_(xi)^(L),w_(1),dots,w_(k-1))],[=(dV_(g_(S,1)))_(nu(xi))((d nu)_(xi)((v_(1))_(xi)^(L)),dots,(d nu)_(xi)((v_(2n))_(xi)^(L)),(d nu)_(xi)(w_(1)),dots,(d nu)_(xi)(w_(k-1)))],[=(dV_(g_(s,1)))_(nu(xi))(-df_(p)((A_(p))_(xi)(v_(1))),dots,-df_(p)((A_(p))_(xi)(v_(2n))),w_(1),dots,w_(k-1))],[=(-1)^(2n)*det(A_(p))_(xi)*(dV_(g_(S)))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L),dots,(v_(2n))_(xi)^(L),w_(1),dots,w_(k-1))],[=det(A_(p))_(xi)*(dV_(g_(S)))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L),dots,(v_(2n))_(xi)^(L),w_(1),dots,w_(k-1))]:}\begin{aligned} & \left(\nu^{*} d V_{g_{\mathrm{s}, 1}}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}, \ldots,\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k-1}\right) \\ = & \left(d V_{g_{\mathrm{S}, 1}}\right)_{\nu(\xi)}\left((d \nu)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}\right), \ldots,(d \nu)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}\right),(d \nu)_{\xi}\left(\boldsymbol{w}_{1}\right), \ldots,(d \nu)_{\xi}\left(\boldsymbol{w}_{k-1}\right)\right) \\ = & \left(d V_{g_{\mathrm{s}, 1}}\right)_{\nu(\xi)}\left(-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)\right), \ldots,-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)\right), \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k-1}\right) \\ = & (-1)^{2 n} \cdot \operatorname{det}\left(A_{p}\right)_{\xi} \cdot\left(d V_{g_{S}}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}, \ldots,\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k-1}\right) \\ = & \operatorname{det}\left(A_{p}\right)_{\xi} \cdot\left(d V_{g_{S}}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}, \ldots,\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k-1}\right) \end{aligned}(ν∗dVgs,1)ξ((v1)ξL,…,(v2n)ξL,w1,…,wk−1)=(dVgS,1)ν(ξ)((dν)ξ((v1)ξL),…,(dν)ξ((v2n)ξL),(dν)ξ(w1),…,(dν)ξ(wk−1))=(dVgs,1)ν(ξ)(−dfp((Ap)ξ(v1)),…,−dfp((Ap)ξ(v2n)),w1,…,wk−1)=(−1)2n⋅det(Ap)ξ⋅(dVgS)ξ((v1)ξL,…,(v2n)ξL,w1,…,wk−1)=det(Ap)ξ⋅(dVgS)ξ((v1)ξL,…,(v2n)ξL,w1,…,wk−1)
が示される。それゆえ，主張 (iii)における関係式が成り立つことがわかる.
h w h w h_(w)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}hw を w ∈ S n ( 1 ) w ∈ S n ( 1 ) w inS^(n)(1)\boldsymbol{w} \in S^{n}(1)w∈Sn(1) に対する高さ関数, つまり, 次式によって定義される M M MMM上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級関数とする：
h w ( p ) := o f ( p ) → ⋅ w ( p ∈ M ) h w ( p ) := o f ( p ) → ⋅ w ( p ∈ M ) h_(w)(p):= vec(of(p))*w quad(p in M)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}(p):=\overrightarrow{o f(p)} \cdot \boldsymbol{w} \quad(p \in M)hw(p):=of(p)→⋅w(p∈M)
h w h w h_(w)\mathbf{h}_{w}hw に対し，次の事実が成り立つ.
命題 5.6.2 (i) p p ppp が h w h w h_(w)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}hw の臨界点であることと w ∈ T p ⊥ M w ∈ T p ⊥ M w inT_(p)^(_|_)M\boldsymbol{w} \in T_{p}^{\perp} Mw∈Tp⊥M が成り立つこ とは同値である.
(ii) p p ppp を h w h w h_(w)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}hw の臨界点であるとする. このとき, v 1 , v 2 ∈ T p M v 1 , v 2 ∈ T p M v_(1),v_(2)inT_(p)M\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in T_{p} Mv1,v2∈TpM に対し,
(5.6.3) ( H h w ) p ( v 1 , v 2 ) = g p ( ( A p ) w ( v 1 ) , v 2 ) (5.6.3) H h w p v 1 , v 2 = g p A p w v 1 , v 2 {:(5.6.3)(Hh_(w))_(p)(v_(1),v_(2))=g_(p)((A_(p))_(w)(v_(1)),v_(2)):}\begin{equation*} \left(H \mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right)=g_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\boldsymbol{w}}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \boldsymbol{v}_{2}\right) \tag{5.6.3} \end{equation*}(5.6.3)(Hhw)p(v1,v2)=gp((Ap)w(v1),v2)
が成り立つ. ここで, A A AAA は ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の形テンソル場を表す.
証明 v ( = c ′ ( 0 ) ) ∈ T p M v = c ′ ( 0 ) ∈ T p M v(=c^(')(0))inT_(p)M\boldsymbol{v}\left(=c^{\prime}(0)\right) \in T_{p} Mv(=c′(0))∈TpM に対し，
( d h w ) p ( v ) = d d t | t = 0 h w ( c ( t ) ) = d d t | t = 0 ( o f ( c ( t ) ) → ⋅ ( w ) = d f p ( v ) ⋅ w d h w p ( v ) = d d t t = 0 h w ( c ( t ) ) = d d t t = 0 o f ( c ( t ) ) → ⋅ ( w ) = d f p ( v ) ⋅ w (dh_(w))_(p)(v)=(d)/(dt)|_(t=0)h_(w)(c(t))=(d)/(dt)|_(t=0)( vec(of(c(t)))*(w)=df_(p)(v)*w:}\left(d \mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)_{p}(\boldsymbol{v})=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}(c(t))=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\overrightarrow{o f(c(t))} \cdot(\boldsymbol{w})=d f_{p}(\boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{w}\right.(dhw)p(v)=ddt|t=0hw(c(t))=ddt|t=0(of(c(t))→⋅(w)=dfp(v)⋅w
をえる。それゆえ, p p ppp が h w h w h_(w)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}hw の臨界点であることと w ∈ T p ⊥ M w ∈ T p ⊥ M w inT_(p)^(_|_)M\boldsymbol{w} \in T_{p}^{\perp} Mw∈Tp⊥M であることは 同値であることがわかる. p p ppp が h w h w h_(w)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}hw の臨界点であるとする。 v 1 , v 2 ∈ T p M v 1 , v 2 ∈ T p M v_(1),v_(2)inT_(p)M\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in T_{p} Mv1,v2∈TpM と し、 X 2 X 2 X_(2)\boldsymbol{X}_{2}X2 を ( X 2 ) p = v 2 X 2 p = v 2 (X_(2))_(p)=v_(2)\left(\boldsymbol{X}_{2}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{2}(X2)p=v2 となる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接べクトル場とする. このとき、
( H h w ) p ( v 1 , v 2 ) = ( ∇ v 1 d h w ) p ( v 2 ) = v 1 ( X 2 ( h w ) ) − ( ∇ v 1 X 2 ) ( h w ) = v 1 ( d f ( X 2 ) ⋅ w ) = ( ∇ ~ v 1 f d f ( X 2 ) ) ⋅ w = h p ( v 1 , v 2 ) ⋅ w = g p ( ( A p ) w ( v 1 ) , v 2 ) H h w p v 1 , v 2 = ∇ v 1 d h w p v 2 = v 1 X 2 h w − ∇ v 1 X 2 h w = v 1 d f X 2 ⋅ w = ∇ ~ v 1 f d f X 2 ⋅ w = h p v 1 , v 2 ⋅ w = g p A p w v 1 , v 2 {:[(Hh_(w))_(p)(v_(1),v_(2))=(grad_(v_(1))dh_(w))_(p)(v_(2))=v_(1)(X_(2)(h_(w)))-(grad_(v_(1))X_(2))(h_(w))],[=v_(1)(df(X_(2))*w)=( widetilde(grad)_(v_(1))^(f)df(X_(2)))*w=h_(p)(v_(1),v_(2))*w],[=g_(p)((A_(p))_(w)(v_(1)),v_(2))]:}\begin{aligned} & \left(H \mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right)=\left(\nabla_{\boldsymbol{v}_{1}} d \mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)=\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{X}_{2}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)\right)-\left(\nabla_{\boldsymbol{v}_{1}} \boldsymbol{X}_{2}\right)\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right) \\ = & \boldsymbol{v}_{1}\left(d f\left(\boldsymbol{X}_{2}\right) \cdot \boldsymbol{w}\right)=\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{v}_{1}}^{f} d f\left(\boldsymbol{X}_{2}\right)\right) \cdot \boldsymbol{w}=h_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right) \cdot \boldsymbol{w} \\ = & g_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\boldsymbol{w}}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \boldsymbol{v}_{2}\right) \end{aligned}(Hhw)p(v1,v2)=(∇v1dhw)p(v2)=v1(X2(hw))−(∇v1X2)(hw)=v1(df(X2)⋅w)=(∇~v1fdf(X2))⋅w=hp(v1,v2)⋅w=gp((Ap)w(v1),v2)
が示される.
命題 5.6.1 の (i), (ii) から, ガウス写像 ν ν nu\nuν の臨界点について, 次の事実が導 かれる.
命題 5.6.3 ξ ∈ S p ⊥ M ξ ∈ S p ⊥ M xi inS_(p)^(_|_)M\xi \in S_{p}^{\perp} Mξ∈Sp⊥M が ν ν nu\nuν の臨界点であることと Ker ( A p ) ξ ≠ { 0 } Ker A p ξ ≠ { 0 } Ker(A_(p))_(xi)!={0}\operatorname{Ker}\left(A_{p}\right)_{\xi} \neq\{\mathbf{0}\}Ker(Ap)ξ≠{0} が成り 立つことは同値である.
これらの命題を用いて, ユークリッド空間内の向き付けられた偶数次元閉リ ーマン部分多様体に対する次のガウス・ボンネ型定理が示される.
定理 5.6.4（ガウス・ボンネ型定理）（M, g)を f f fff によってはめ込まれた E 2 n + k E 2 n + k E^(2n+k)\mathbb{E}^{2 n+k}E2n+k 内の向き付けられた 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉リーマン部分多様体とする. この
とき, 次の積分公式が成り立つ：
(5.6.4) ∫ S ⊥ M det A ∙ d V g S = Vol ( S 2 n + k − 1 ( 1 ) ) χ ( M ) (5.6.4) ∫ S ⊥ M   det A ∙ d V g S = Vol S 2 n + k − 1 ( 1 ) χ ( M ) {:(5.6.4)int_(S^(_|_)M)det A∙dV_(g_(S))=Vol(S^(2n+k-1)(1))chi(M):}\begin{equation*} \int_{S^{\perp} M} \operatorname{det} A \bullet d V_{g_{S}}=\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k-1}(1)\right) \chi(M) \tag{5.6.4} \end{equation*}(5.6.4)∫S⊥MdetA∙dVgS=Vol(S2n+k−1(1))χ(M)
ここで, A A AAA は ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の形テンソル場を表し, Vol ( S 2 n + k − 1 ( 1 ) ) Vol S 2 n + k − 1 ( 1 ) Vol(S^(2n+k-1)(1))\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k-1}(1)\right)Vol(S2n+k−1(1)) は ( S 2 n + k − 1 ( 1 ) , g S , 1 ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) , g S , 1 (S^(2n+k-1)(1),g_(S,1))\left(S^{2 n+k-1}(1), g_{\mathbb{S}, 1}\right)(S2n+k−1(1),gS,1) の体積を表し, χ ( M ) χ ( M ) chi(M)\chi(M)χ(M) は M M MMM のオイラー標数を表す.
証明 命題 5.6.1 の (iii)によれば,
(5.6.5) ∫ S ⊥ M ν ∗ d V g S , 1 = ∫ S ⊥ M det A ∙ d V g S (5.6.5) ∫ S ⊥ M   ν ∗ d V g S , 1 = ∫ S ⊥ M   det A ∙ d V g S {:(5.6.5)int_(S^(_|_)M)nu^(**)dV_(g_(S,1))=int_(S^(_|_)M)det A∙dV_(g_(S)):}\begin{equation*} \int_{S^{\perp} M} \nu^{*} d V_{g_{\mathrm{S}, 1}}=\int_{S^{\perp} M} \operatorname{det} A \bullet d V_{g_{S}} \tag{5.6.5} \end{equation*}(5.6.5)∫S⊥Mν∗dVgS,1=∫S⊥MdetA∙dVgS
が成り立つ. れゆえ,
∫ S ⊥ M ν ∗ d V g S , 1 = Vol ( S 2 n + k − 1 ( 1 ) ) χ ( M ) ∫ S ⊥ M   ν ∗ d V g S , 1 = Vol S 2 n + k − 1 ( 1 ) χ ( M ) int_(S^(_|_)M)nu^(**)dV_(g_(S,1))=Vol(S^(2n+k-1)(1))chi(M)\int_{S^{\perp} M} \nu^{*} d V_{g_{\mathrm{S}, 1}}=\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k-1}(1)\right) \chi(M)∫S⊥Mν∗dVgS,1=Vol(S2n+k−1(1))χ(M)
を示せばよい. 以下, この関係式が成り立つことを示すことにする。 ν ν nu\nuν の臨界値の全体を C ν C ν C_(nu)\mathcal{C}_{\nu}Cν と表す。サードの定理（定理3.5.1）によれば, C ν C ν C_(nu)\mathcal{C}_{\nu}Cν は S 2 n + k − 1 ( 1 ) S 2 n + k − 1 ( 1 ) S^(2n+k-1)(1)S^{2 n+k-1}(1)S2n+k−1(1) において測度 0 である. w ∈ S 2 n + k − 1 ( 1 ) ∖ C ν w ∈ S 2 n + k − 1 ( 1 ) ∖ C ν w inS^(2n+k-1)(1)\\C_(nu)\boldsymbol{w} \in S^{2 n+k-1}(1) \backslash \mathcal{C}_{\nu}w∈S2n+k−1(1)∖Cν とする。このとき,命題 5.6.2 の（ii）と命題 5.6 .3 を用いて, h w h w h_(w)\mathbf{h}_{w}hw がモース関数であることが示さ れる. h w h w h_(w)\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}hw の臨界点の個数を β ( h w ) β h w beta(h_(w))\beta\left(\mathbf{h}_{w}\right)β(hw) と表し, h w h w h_(w)\mathbf{h}_{w}hw の指数が偶数の臨界点の個数, および, 指数が奇数の臨界点の個数を各々, β even ( h w ) , β odd ( h w ) β even h w , β odd h w beta_(even)(h_(w)),beta_(odd)(h_(w))\beta_{\mathrm{even}}\left(\mathbf{h}_{w}\right), \beta_{\mathrm{odd}}\left(\mathbf{h}_{w}\right)βeven(hw),βodd(hw) と表 す. 5.3 節のモース理論で述べた定理 5.3 .8 によれば,
(5.6.6) β even ( h w ) − β odd ( h w ) = χ ( M ) (5.6.6) β even  h w − β odd  h w = χ ( M ) {:(5.6.6)beta_("even ")(h_(w))-beta_("odd ")(h_(w))=chi(M):}\begin{equation*} \beta_{\text {even }}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)-\beta_{\text {odd }}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)=\chi(M) \tag{5.6.6} \end{equation*}(5.6.6)βeven (hw)−βodd (hw)=χ(M)
が成り立つ. また, ν − 1 ( w ) 土を各々, ν − 1 ( w ) 土を各々,  nu^(-1)(w)_("土を各々, ")\nu^{-1}(\boldsymbol{w})_{\text {土を各々, }}ν−1(w)土を各々, 
ν − 1 ( w ) + := { ξ ∈ ν − 1 ( w ) ∣ d ν ξ : 向きを保つ } ν − 1 ( w ) − := { ξ ∈ ν − 1 ( w ) ∣ d ν ξ : 向きを逆にする } ν − 1 ( w ) + := ξ ∈ ν − 1 ( w ) ∣ d ν ξ :  向きを保つ  ν − 1 ( w ) − := ξ ∈ ν − 1 ( w ) ∣ d ν ξ :  向きを逆にする  {:[nu^(-1)(w)_(+):={xi innu^(-1)(w)∣dnu_(xi):" 向きを保つ "}],[nu^(-1)(w)_(-):={xi innu^(-1)(w)∣dnu_(xi):" 向きを逆にする "}]:}\begin{aligned} & \nu^{-1}(\boldsymbol{w})_{+}:=\left\{\xi \in \nu^{-1}(\boldsymbol{w}) \mid d \nu_{\xi}: \text { 向きを保つ }\right\} \\ & \nu^{-1}(\boldsymbol{w})_{-}:=\left\{\xi \in \nu^{-1}(\boldsymbol{w}) \mid d \nu_{\xi}: \text { 向きを逆にする }\right\} \end{aligned}ν−1(w)+:={ξ∈ν−1(w)∣dνξ: 向きを保つ }ν−1(w)−:={ξ∈ν−1(w)∣dνξ: 向きを逆にする }
と定義する。命題 5.6.2 の (i) によれば, β ( h w ) = ♯ ν − 1 ( w ) β h w = ♯ ν − 1 ( w ) beta(h_(w))=♯nu^(-1)(w)\beta\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)=\sharp \nu^{-1}(\boldsymbol{w})β(hw)=♯ν−1(w) が成り立つ. ξ ∈ ξ ∈ xi in\xi \inξ∈ ν − 1 ( w ) ν − 1 ( w ) nu^(-1)(w)\nu^{-1}(\boldsymbol{w})ν−1(w) とし, p := π ( ξ ) p := π ( ξ ) p:=pi(xi)p:=\pi(\xi)p:=π(ξ) とおく. このとき, 命題5.6.1 の (iii)によれば, d ν ξ d ν ξ dnu_(xi)d \nu_{\xi}dνξ が向きを保つ（resp. 向きを逆にする）ことと
(5.6.7) det ( A p ) ξ > 0 ( resp. < 0 ) (5.6.7) det A p ξ > 0 (  resp.  < 0 ) {:(5.6.7)det(A_(p))_(xi) > 0(" resp. " < 0):}\begin{equation*} \operatorname{det}\left(A_{p}\right)_{\xi}>0(\text { resp. }<0) \tag{5.6.7} \end{equation*}(5.6.7)det(Ap)ξ>0( resp. <0)
が成り立つことは同値である。一方, 命題5.6.2の (ii)によれば, h w h w h_(w)\mathbf{h}_{w}hw の臨界
点 p p ppp の指数が偶数（resp. 奇数）であることと式 (5.6.7) が成り立つことは同値である.
(5.6.8) ♯ ν − 1 ( w ) + = β even ( h w ) , ♯ ν − 1 ( w ) − = β odd ( h w ) (5.6.8) ♯ ν − 1 ( w ) + = β even  h w , ♯ ν − 1 ( w ) − = β odd  h w {:(5.6.8)♯nu^(-1)(w)_(+)=beta_("even ")(h_(w))","quad♯nu^(-1)(w)_(-)=beta_("odd ")(h_(w)):}\begin{equation*} \sharp \nu^{-1}(\boldsymbol{w})_{+}=\beta_{\text {even }}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right), \quad \sharp \nu^{-1}(\boldsymbol{w})_{-}=\beta_{\text {odd }}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right) \tag{5.6.8} \end{equation*}(5.6.8)♯ν−1(w)+=βeven (hw),♯ν−1(w)−=βodd (hw)
が示される. 式 (5.6.6) と式 (5.6.8) を用いて,
∫ S ⊥ M ν ∗ d V g S , 1 = ∫ w ∈ S 2 n + k − 1 ( 1 ) ∖ C ν ( β even ( h w ) − β odd ( h w ) ) d V g s , 1 = Vol ( S 2 n + k − 1 ( 1 ) ) χ ( M ) ∫ S ⊥ M   ν ∗ d V g S , 1 = ∫ w ∈ S 2 n + k − 1 ( 1 ) ∖ C ν   β even  h w − β odd h w d V g s , 1 = Vol S 2 n + k − 1 ( 1 ) χ ( M ) {:[int_(S^(_|_)M)nu^(**)dV_(g_(S,1))=int_(w inS^(2n+k-1)(1)\\C_(nu))(beta_("even ")(h_(w))-beta_(odd)(h_(w)))dV_(g_(s,1))],[=Vol(S^(2n+k-1)(1))chi(M)]:}\begin{aligned} \int_{S^{\perp} M} \nu^{*} d V_{g_{\mathrm{S}, 1}} & =\int_{\boldsymbol{w} \in S^{2 n+k-1}(1) \backslash \mathcal{C}_{\nu}}\left(\beta_{\text {even }}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)-\beta_{\mathrm{odd}}\left(\mathbf{h}_{\boldsymbol{w}}\right)\right) d V_{g_{\mathrm{s}, 1}} \\ & =\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k-1}(1)\right) \chi(M) \end{aligned}∫S⊥Mν∗dVgS,1=∫w∈S2n+k−1(1)∖Cν(βeven (hw)−βodd(hw))dVgs,1=Vol(S2n+k−1(1))χ(M)
が示される. したがって, 求めるべき積分公式が導かれる.
注意 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が, f f fff によてはめ込まれたユークリッド空間内の向き付けられた 奇数次元の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉リーマン部分多様体の場合を考える. dim M = 2 n + 1 dim M = 2 n + 1 dim M=2n+1\operatorname{dim} M=2 n+1dimM=2n+1 とする. このとき, 命題 5.6.1 の (iii) より, 各 ξ ∈ S p ⊥ M ξ ∈ S p ⊥ M xi inS_(p)^(_|_)M\xi \in S_{p}^{\perp} Mξ∈Sp⊥M に対し,
det d ν − ξ = det ( A p ) − ξ = ( − 1 ) 2 n + 1 det ( A p ) ξ = − det d ν ξ det d ν − ξ = det A p − ξ = ( − 1 ) 2 n + 1 det A p ξ = − det d ν ξ det dnu_(-xi)=det(A_(p))_(-xi)=(-1)^(2n+1)det(A_(p))_(xi)=-det dnu_(xi)\operatorname{det} d \nu_{-\xi}=\operatorname{det}\left(A_{p}\right)_{-\xi}=(-1)^{2 n+1} \operatorname{det}\left(A_{p}\right)_{\xi}=-\operatorname{det} d \nu_{\xi}detdν−ξ=det(Ap)−ξ=(−1)2n+1det(Ap)ξ=−detdνξ
つまり,
det d ν ξ + det d ν − ξ = 0 det d ν ξ + det d ν − ξ = 0 det dnu_(xi)+det dnu_(-xi)=0\operatorname{det} d \nu_{\xi}+\operatorname{det} d \nu_{-\xi}=0detdνξ+detdν−ξ=0
が示される。それゆえ,
∫ S ⊥ M ν ∗ d V g s = 0 ∫ S ⊥ M   ν ∗ d V g s = 0 int_(S^(_|_)M)nu^(**)dV_(g_(s))=0\int_{S^{\perp} M} \nu^{*} d V_{g_{\mathrm{s}}}=0∫S⊥Mν∗dVgs=0
が導かれる。一方, M M MMM は奇数次元なので, 5.1 節で述べたように χ ( M ) = 0 χ ( M ) = 0 chi(M)=0\chi(M)=0χ(M)=0 となる. したがって, 積分公式 (5.6.4) は, 奇数次元閉リーマン部分多様体の場合も成り立つ (両辺共に0 になる).
特に, ユークリッド空間内の偶数次元閉リーマン超曲面の場合に, 次のガウ ス・ボンネの定理をえる.
定理 5.6.5（ガウス・ボンネの定理）（M, g)を f f fff にってはめ込まれた E 2 n + 1 E 2 n + 1 E^(2n+1)\mathbb{E}^{2 n+1}E2n+1 内の向き付けられた C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉リーマン超曲面とする.このとき，次の積分公式が成り立つ：
(5.6.9) ∫ M det A d V g = 1 2 Vol ( S 2 n ( 1 ) ) χ ( M ) (5.6.9) ∫ M   det A d V g = 1 2 Vol S 2 n ( 1 ) χ ( M ) {:(5.6.9)int_(M)detAdV_(g)=(1)/(2)Vol(S^(2n)(1))chi(M):}\begin{equation*} \int_{M} \operatorname{det} \mathcal{A} d V_{g}=\frac{1}{2} \operatorname{Vol}\left(S^{2 n}(1)\right) \chi(M) \tag{5.6.9} \end{equation*}(5.6.9)∫MdetAdVg=12Vol(S2n(1))χ(M)
ここで, A A A\mathcal{A}A は ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の（向きを定める）単位法ベクトル場 N N NNN に対する形作
用素 A N A N A_(N)A_{N}AN を表す.
証明 S ⊥ M = { N p ∣ p ∈ M } ⨿ { − N p ∣ p ∈ M } S ⊥ M = N p ∣ p ∈ M ⨿ − N p ∣ p ∈ M S^(_|_)M={N_(p)∣p in M}⨿{-N_(p)∣p in M}S^{\perp} M=\left\{\boldsymbol{N}_{p} \mid p \in M\right\} \amalg\left\{-\boldsymbol{N}_{p} \mid p \in M\right\}S⊥M={Np∣p∈M}⨿{−Np∣p∈M} であることに注意すると，
∫ S ⊥ M det A ⋅ d V g S = 2 ∫ M det A d V g ∫ S ⊥ M   det A ⋅ d V g S = 2 ∫ M   det A d V g int_(S^(_|_)M)det A*dV_(g_(S))=2int_(M)detAdV_(g)\int_{S^{\perp} M} \operatorname{det} A \cdot d V_{g_{S}}=2 \int_{M} \operatorname{det} \mathcal{A} d V_{g}∫S⊥MdetA⋅dVgS=2∫MdetAdVg
が成り立つことがわかる. それゆえ定理 5.6.4から, 求めるべき積分公式が導 かれる。
注意 n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 の場合, det A det A detA\operatorname{det} \mathcal{A}detA は ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のガウス曲率 K K KKK に等しく, Vol ( S 2 ( 1 ) ) = Vol S 2 ( 1 ) = Vol(S^(2)(1))=\operatorname{Vol}\left(S^{2}(1)\right)=Vol(S2(1))= 4 π 4 π 4pi4 \pi4π なので, 式 (5.6.9) は, 定理 2.9.2における積分公式と一致する.
この節の後半部では, 球面内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウ ス・ボンネ型定理について述べることにする。そのために, まず, リーマン部分多様体の法指数写像, および, 焦点を定義することにする。. ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を f f fff に よってはめ込まれた ( n + k ) ( n + k ) (n+k)(n+k)(n+k) 次元リーマン多様体 ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級リーマン 部分多様体とし, π : T ⊥ M → M π : T ⊥ M → M pi:T^(_|_)M rarr M\pi: T^{\perp} M \rightarrow Mπ:T⊥M→M をその法ベクトルバンドルとする. exp ⊥ exp ⊥ exp^(_|_)\exp ^{\perp}exp⊥ : T ⊥ M → M ~ T ⊥ M → M ~ T^(_|_)M rarr widetilde(M)T^{\perp} M \rightarrow \widetilde{M}T⊥M→M~ を
exp ⊥ ⁡ ( ξ ) := exp ~ f ( p ) ( ξ ) ( p ∈ M , ξ ∈ T p ⊥ M ) exp ⊥ ⁡ ( ξ ) := exp ~ f ( p ) ( ξ ) p ∈ M , ξ ∈ T p ⊥ M exp^(_|_)(xi):= widetilde(exp)_(f(p))(xi)quad(p in M,xi inT_(p)^(_|_)M)\exp ^{\perp}(\xi):=\widetilde{\exp }_{f(p)}(\xi) \quad\left(p \in M, \xi \in T_{p}^{\perp} M\right)exp⊥⁡(ξ):=exp~f(p)(ξ)(p∈M,ξ∈Tp⊥M)
により定義する。ここで exp ~ f ( p ) exp ~ f ( p ) widetilde(exp)_(f(p))\widetilde{\exp }_{f(p)}exp~f(p) は, ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) の f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) における指数写像を表す. この写像 exp ⊥ exp ⊥ exp^(_|_)\exp ^{\perp}exp⊥ を, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の法指数写像（normal exponential map）という.
T ⊥ M T ⊥ M T^(_|_)MT^{\perp} MT⊥M 上の鉛直分布 V V V\mathcal{V}V と f f fff の法接続 ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に関する水平分布 H H H\mathcal{H}H を
V ξ := T ξ ( π − 1 ( π ( ξ ) ) ) , H ξ := { v ξ L ∣ v ∈ T π ( ξ ) M } ( ξ ∈ T ⊥ M ) V ξ := T ξ π − 1 ( π ( ξ ) ) , H ξ := v ξ L ∣ v ∈ T π ( ξ ) M ξ ∈ T ⊥ M V_(xi):=T_(xi)(pi^(-1)(pi(xi))),quadH_(xi):={v_(xi)^(L)∣v inT_(pi(xi))M}quad(xi inT^(_|_)M)\mathcal{V}_{\xi}:=T_{\xi}\left(\pi^{-1}(\pi(\xi))\right), \quad \mathcal{H}_{\xi}:=\left\{\boldsymbol{v}_{\xi}^{L} \mid \boldsymbol{v} \in T_{\pi(\xi)} M\right\} \quad\left(\xi \in T^{\perp} M\right)Vξ:=Tξ(π−1(π(ξ))),Hξ:={vξL∣v∈Tπ(ξ)M}(ξ∈T⊥M)
と定める. ここで, v ξ L v ξ L v_(xi)^(L)\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}vξL は v v v\boldsymbol{v}v の ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に関する ξ ξ xi\xiξ への水平リフトを表す. 容易 に, 各 ξ ∈ T ⊥ M ξ ∈ T ⊥ M xi inT^(_|_)M\xi \in T^{\perp} Mξ∈T⊥M に対し, T ξ ( T ⊥ M ) = V ξ ⊕ H ξ T ξ T ⊥ M = V ξ ⊕ H ξ T_(xi)(T^(_|_)M)=V_(xi)o+H_(xi)T_{\xi}\left(T^{\perp} M\right)=\mathcal{V}_{\xi} \oplus \mathcal{H}_{\xi}Tξ(T⊥M)=Vξ⊕Hξ が成り立つことが示され る. ξ ξ xi\xiξ を M M MMM 点 p p ppp における単位法ベクトルとし， r r rrr を実数とする。 γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ を M M MMM の ξ ξ xi\xiξ 方向の法測地線（つまり， γ ξ ′ ( 0 ) = ξ γ ξ ′ ( 0 ) = ξ gamma_(xi)^(')(0)=xi\gamma_{\xi}^{\prime}(0)=\xiγξ′(0)=ξ となる ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内の測地線）とする. d π r ξ ( Ker d exp r ξ ⊥ ) ≠ { 0 } d π r ξ Ker d exp r ξ ⊥ ≠ { 0 } dpi_(r xi)(Ker dexp_(r xi)^(_|_))!={0}d \pi_{r \xi}\left(\operatorname{Ker} d \exp _{r \xi}^{\perp}\right) \neq\{0\}dπrξ(Kerdexprξ⊥)≠{0} であるとき, γ ξ ( r ) = exp ⊥ ⁡ ( r ξ ) γ ξ ( r ) = exp ⊥ ⁡ ( r ξ ) gamma_(xi)(r)=exp^(_|_)(r xi)\gamma_{\xi}(r)=\exp ^{\perp}(r \xi)γξ(r)=exp⊥⁡(rξ) を M M MMM の γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿う 焦点（focal point）といい, r r rrr をの γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿う焦半径（focal radius）と いう. また, d π r ξ ( Ker d exp ξ ⊥ ) ( ⊂ T π ( ξ ) M ) d π r ξ Ker d exp ξ ⊥ ⊂ T π ( ξ ) M dpi_(r xi)(Ker dexp_(xi)^(_|_))(subT_(pi(xi))M)d \pi_{r \xi}\left(\operatorname{Ker} d \exp _{\xi}^{\perp}\right)\left(\subset T_{\pi(\xi)} M\right)dπrξ(Kerdexpξ⊥)(⊂Tπ(ξ)M) を, 焦点 γ ξ ( r ) γ ξ ( r ) gamma_(xi)(r)\gamma_{\xi}(r)γξ(r) に対する零化空間
図 5.6.1 焦点
(nullity space) といい, その次元を焦点 γ ξ ( r ) γ ξ ( r ) gamma_(xi)(r)\gamma_{\xi}(r)γξ(r) の重複度（multiplicity） という. 図 5.6.1 をみてわかるように, γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿う焦点は M M MMM の法測地線が 1 次 の無限小レベルで集中する点なので, γ ξ ( r ) γ ξ ( r ) gamma_(xi)(r)\gamma_{\xi}(r)γξ(r) が γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿う焦点であることと γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿うヤコビ場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y で Y ( 0 ) ( ≠ 0 ) ∈ d f p ( T p M ) Y ( 0 ) ( ≠ 0 ) ∈ d f p T p M Y(0)(!=0)in df_(p)(T_(p)M)\boldsymbol{Y}(0)(\neq 0) \in d f_{p}\left(T_{p} M\right)Y(0)(≠0)∈dfp(TpM) かつ Y ( r ) = 0 Y ( r ) = 0 Y(r)=0\boldsymbol{Y}(r)=0Y(r)=0 となるようなも のが存在することが同値である.
( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を f f fff によてはめ込まれた半径 r r rrr の ( 2 n + k ) ( 2 n + k ) (2n+k)(2 n+k)(2n+k) 次元球面 ( S 2 n + k ( r ) , g S , r ) S 2 n + k ( r ) , g S , r (S^(2n+k)(r),g_(S,r))\left(S^{2 n+k}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(S2n+k(r),gS,r) 内の 2 n 2 n 2n2 n2n 次元リーマン部分多様体とし, exp ⊥ : T ⊥ M → exp ⊥ : T ⊥ M → exp^(_|_):T^(_|_)M rarr\exp ^{\perp}: T^{\perp} M \rightarrowexp⊥:T⊥M→ S 2 n + k ( r ) S 2 n + k ( r ) S^(2n+k)(r)S^{2 n+k}(r)S2n+k(r) をその法指数写像とする。前述の S ⊥ M S ⊥ M S^(_|_)MS^{\perp} MS⊥M の佐々木計量と同様に, T ⊥ M T ⊥ M T^(_|_)MT^{\perp} MT⊥M の佐々木計量 g S g S g_(S)g_{S}gS が定義される.
法指数写像 exp ⊥ exp ⊥ exp^(_|_)\exp ^{\perp}exp⊥ に対し, 次の事実が成り立つ.
命題 5.6.6
(i) ( g S , r ) f ( p ) ( w , ξ ) = 0 g S , r f ( p ) ( w , ξ ) = 0 quad(g_(S,r))_(f(p))(w,xi)=0\quad\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(p)}(\boldsymbol{w}, \xi)=0(gS,r)f(p)(w,ξ)=0 となる w ∈ V ξ w ∈ V ξ w inV_(xi)\boldsymbol{w} \in \mathcal{V}_{\xi}w∈Vξ に対し,
(5.6.10) d exp ξ ⊥ ⁡ ( w ) = r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ( w ) (5.6.10) d exp ξ ⊥ ⁡ ( w ) = r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ( w ) {:(5.6.10)dexp_(xi)^(_|_)(w)=(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*P_(gamma_(xi)∣[0,1])(w):}\begin{equation*} d \exp _{\xi}^{\perp}(\boldsymbol{w})=\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot P_{\gamma_{\xi} \mid[0,1]}(\boldsymbol{w}) \tag{5.6.10} \end{equation*}(5.6.10)dexpξ⊥⁡(w)=r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅Pγξ∣[0,1](w)
が成り立つ.
(ii) v ∈ T p M , ξ ∈ π − 1 ( p ) v ∈ T p M , ξ ∈ π − 1 ( p ) v inT_(p)M,xi inpi^(-1)(p)\boldsymbol{v} \in T_{p} M, \xi \in \pi^{-1}(p)v∈TpM,ξ∈π−1(p) とする. v ξ L ∈ H ξ v ξ L ∈ H ξ v_(xi)^(L)inH_(xi)\boldsymbol{v}_{\xi}^{L} \in \mathcal{H}_{\xi}vξL∈Hξ に対し,
(5.6.11) d exp ξ ⊥ ⁡ ( v ξ L ) = ( P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ∘ d f p ) ( cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ v − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ ( A p ) ξ ( v ) ) (5.6.11) d exp ξ ⊥ ⁡ v ξ L = P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ∘ d f p cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ v − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ A p ξ ( v ) {:(5.6.11)dexp_(xi)^(_|_)(v_(xi)^(L))=(P_(gamma_(xi)∣[0,1])@df_(p))(cos((||xi||)/(r))*v-(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*(A_(p))_(xi)(v)):}\begin{equation*} d \exp _{\xi}^{\perp}\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}\right)=\left(P_{\gamma_{\xi} \mid[0,1]} \circ d f_{p}\right)\left(\cos \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \boldsymbol{v}-\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right) \tag{5.6.11} \end{equation*}(5.6.11)dexpξ⊥⁡(vξL)=(Pγξ∣[0,1]∘dfp)(cos⁡‖ξ‖r⋅v−r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅(Ap)ξ(v))
が成り立つ.
(iii) ξ ∈ π − 1 ( p ) ξ ∈ π − 1 ( p ) xi inpi^(-1)(p)\xi \in \pi^{-1}(p)ξ∈π−1(p) とする. このとき,
( exp ⊥ ) ∗ ( d V g s , r ) ξ = det ( cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ id T p M − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ ( A p ) ξ ) (5.6.12) × r k − 1 ‖ ξ ‖ k − 1 ⋅ sin k − 1 ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ ( d V g S ) ξ exp ⊥ ∗ d V g s , r ξ = det cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ id T p M − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ A p ξ (5.6.12) × r k − 1 ‖ ξ ‖ k − 1 ⋅ sin k − 1 ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ d V g S ξ {:[(exp^(_|_))^(**)(dV_(g_(s,r)))_(xi)=det(cos((||xi||)/(r))*id_(T_(p)M)-(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*(A_(p))_(xi))],[(5.6.12) xx(r^(k-1))/(||xi||^(k-1))*sin^(k-1)((||xi||)/(r))*(dV_(g_(S)))_(xi)]:}\begin{align*} \left(\exp ^{\perp}\right)^{*}\left(d V_{g_{\mathrm{s}, r}}\right)_{\xi}= & \operatorname{det}\left(\cos \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \operatorname{id}_{T_{p} M}-\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot\left(A_{p}\right)_{\xi}\right) \\ & \times \frac{r^{k-1}}{\|\xi\|^{k-1}} \cdot \sin ^{k-1} \frac{\|\xi\|}{r} \cdot\left(d V_{g_{S}}\right)_{\xi} \tag{5.6.12} \end{align*}(exp⊥)∗(dVgs,r)ξ=det(cos⁡‖ξ‖r⋅idTpM−r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅(Ap)ξ)(5.6.12)×rk−1‖ξ‖k−1⋅sink−1⁡‖ξ‖r⋅(dVgS)ξ
が成り立つ.
証明最初に, (i)を示そう。 S 2 n + k ( r ) S 2 n + k ( r ) S^(2n+k)(r)S^{2 n+k}(r)S2n+k(r) における C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の測地変形 { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) γ t t ∈ ( − ε , ε ) {gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γt}t∈(−ε,ε) を
γ t ( s ) := exp ⊥ ⁡ ( s ( ξ + t w ) ) ( ( t , s ) ∈ [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) ) γ t ( s ) := exp ⊥ ⁡ ( s ( ξ + t w ) ) ( ( t , s ) ∈ [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) ) gamma_(t)(s):=exp^(_|_)(s(xi+tw))quad((t,s)in[0,1]xx(-epsi,epsi))\gamma_{t}(s):=\exp ^{\perp}(s(\xi+t \boldsymbol{w})) \quad((t, s) \in[0,1] \times(-\varepsilon, \varepsilon))γt(s):=exp⊥⁡(s(ξ+tw))((t,s)∈[0,1]×(−ε,ε))
によって定義し， δ ( s , t ) := γ t ( s ) δ ( s , t ) := γ t ( s ) delta(s,t):=gamma_(t)(s)\delta(s, t):=\gamma_{t}(s)δ(s,t):=γt(s) とおく. この測地変形の変分ベクトル場（こ れは γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿うヤコビ場）を Y Y Y\boldsymbol{Y}Y と表す。このとき, 明らかに Y ( 1 ) = Y ( 1 ) = Y(1)=\boldsymbol{Y}(1)=Y(1)= d exp ξ ⊥ ⁡ ( w ) d exp ξ ⊥ ⁡ ( w ) dexp_(xi)^(_|_)(w)d \exp _{\xi}^{\perp}(\boldsymbol{w})dexpξ⊥⁡(w) が成り立つ. 一方, Y ( 0 ) = 0 Y ( 0 ) = 0 Y(0)=0\boldsymbol{Y}(0)=\mathbf{0}Y(0)=0, および
Y ′ ( 0 ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ t ) ) ( 0 , 0 ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ d δ ( ∂ ∂ s ) ) ( 0 , 0 ) = d ( ξ + t w ) d t | t = 0 = w Y ′ ( 0 ) = ∇ ~ ∂ ∂ s δ d δ ∂ ∂ t ( 0 , 0 ) = ∇ ~ ∂ ∂ t δ d δ ∂ ∂ s ( 0 , 0 ) = d ( ξ + t w ) d t t = 0 = w Y^(')(0)=( widetilde(grad)_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t)))_((0,0))=( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)))_((0,0))=(d(xi+tw))/(dt)|_(t=0)=w\boldsymbol{Y}^{\prime}(0)=\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(0,0)}=\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(0,0)}=\left.\frac{d(\xi+t \boldsymbol{w})}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{w}Y′(0)=(∇~∂∂sδdδ(∂∂t))(0,0)=(∇~∂∂tδdδ(∂∂s))(0,0)=d(ξ+tw)dt|t=0=w
が成り立つので, 例 4.5 .2 より,
Y ( 1 ) = P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ( cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ 0 + r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ w ) = r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ( w ) Y ( 1 ) = P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ 0 + r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ w = r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ( w ) Y(1)=P_(gamma_(xi)∣[0,1])(cos((||xi||)/(r))*0+(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*w)=(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*P_(gamma_(xi)∣[0,1])(w)\boldsymbol{Y}(1)=P_{\gamma_{\xi} \mid[0,1]}\left(\cos \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \mathbf{0}+\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \boldsymbol{w}\right)=\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot P_{\gamma_{\xi} \mid[0,1]}(\boldsymbol{w})Y(1)=Pγξ∣[0,1](cos⁡‖ξ‖r⋅0+r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅w)=r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅Pγξ∣[0,1](w)
が示される. それゆえ, 式 (5.6.10) が導かれる。
次に, (ii) を示そう. c : ( − ε , ε ) → M c : ( − ε , ε ) → M c:(-epsi,epsi)rarr Mc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mc:(−ε,ε)→M を c ′ ( 0 ) = v c ′ ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c′(0)=v となる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線とし、芕を ξ ~ 0 = ξ ξ ~ 0 = ξ widetilde(xi)_(0)=xi\widetilde{\xi}_{0}=\xiξ~0=ξ となる c c ccc に沿う（ ∇ ⊥ ∇ ⊥ grad^(_|_)\nabla^{\perp}∇⊥ に関して）平行な法ベクトル場とす る. S 2 n + k ( r ) S 2 n + k ( r ) S^(2n+k)(r)S^{2 n+k}(r)S2n+k(r) における C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の測地変形 { γ ^ t } t ∈ ( − ε , ε ) γ ^ t t ∈ ( − ε , ε ) { hat(gamma)_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\hat{\gamma}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γ^t}t∈(−ε,ε) を
γ ^ t ( s ) := exp ⊥ ⁡ ( s ξ ~ t ) ( ( t , s ) ∈ [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) ) γ ^ t ( s ) := exp ⊥ ⁡ s ξ ~ t ( ( t , s ) ∈ [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) ) hat(gamma)_(t)(s):=exp^(_|_)(s widetilde(xi)_(t))quad((t,s)in[0,1]xx(-epsi,epsi))\hat{\gamma}_{t}(s):=\exp ^{\perp}\left(s \widetilde{\xi}_{t}\right) \quad((t, s) \in[0,1] \times(-\varepsilon, \varepsilon))γ^t(s):=exp⊥⁡(sξ~t)((t,s)∈[0,1]×(−ε,ε))
によって定義し, δ ^ ( s , t ) := γ ^ t ( s ) δ ^ ( s , t ) := γ ^ t ( s ) hat(delta)(s,t):= hat(gamma)_(t)(s)\hat{\delta}(s, t):=\hat{\gamma}_{t}(s)δ^(s,t):=γ^t(s) とおく. この測地変形の変分ベクトル場（こ
れは γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿うヤコビ場）を Y ^ Y ^ hat(Y)\hat{\boldsymbol{Y}}Y^ と表す.このとき、明らかに Y ^ ( 1 ) = Y ^ ( 1 ) = hat(Y)(1)=\hat{\boldsymbol{Y}}(1)=Y^(1)= d exp ξ ⊥ ⁡ ( v ξ L ) d exp ξ ⊥ ⁡ v ξ L dexp_(xi)^(_|_)(v_(xi)^(L))d \exp _{\xi}^{\perp}\left(\boldsymbol{v}_{\xi}^{L}\right)dexpξ⊥⁡(vξL) が成り立つ. 一方, Y ^ ( 0 ) = d f p ( v ) Y ^ ( 0 ) = d f p ( v ) hat(Y)(0)=df_(p)(v)\hat{\boldsymbol{Y}}(0)=d f_{p}(\boldsymbol{v})Y^(0)=dfp(v), および,
Y ^ ′ ( 0 ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ ^ d δ ^ ( ∂ ∂ t ) ) ( 0 , 0 ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ ^ d δ ^ ( ∂ ∂ s ) ) ( 0 , 0 ) = − d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) + ∇ v ⊥ ξ ~ = − d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) Y ^ ′ ( 0 ) = ∇ ~ ∂ ∂ s δ ^ d δ ^ ∂ ∂ t ( 0 , 0 ) = ∇ ~ ∂ ∂ t δ ^ d δ ^ ∂ ∂ s ( 0 , 0 ) = − d f p A p ξ ( v ) + ∇ v ⊥ ξ ~ = − d f p A p ξ ( v ) {:[ hat(Y)^(')(0)=( widetilde(grad)_((del)/(del s))^( hat(delta))d( hat(delta))((del)/(del t)))_((0,0))=( widetilde(grad)_((del)/(del t))^( hat(delta))d( hat(delta))((del)/(del s)))_((0,0))],[=-df_(p)((A_(p))_(xi)(v))+grad_(v)^(_|_) widetilde(xi)=-df_(p)((A_(p))_(xi)(v))]:}\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{Y}}^{\prime}(0) & =\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\hat{\delta}} d \hat{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(0,0)}=\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\hat{\delta}} d \hat{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(0,0)} \\ & =-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)+\nabla_{v}^{\perp} \widetilde{\xi}=-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right) \end{aligned}Y^′(0)=(∇~∂∂sδ^dδ^(∂∂t))(0,0)=(∇~∂∂tδ^dδ^(∂∂s))(0,0)=−dfp((Ap)ξ(v))+∇v⊥ξ~=−dfp((Ap)ξ(v))
が成り立つので, 例 4.5.2より,
Y ^ ( 1 ) = ( P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ∘ d f p ) ( cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ v − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ ( A p ) ξ ( v ) ) Y ^ ( 1 ) = P γ ξ ∣ [ 0 , 1 ] ∘ d f p cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ v − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ A p ξ ( v ) hat(Y)(1)=(P_(gamma_(xi)∣[0,1])@df_(p))(cos((||xi||)/(r))*v-(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*(A_(p))_(xi)(v))\hat{\boldsymbol{Y}}(1)=\left(P_{\gamma_{\xi} \mid[0,1]} \circ d f_{p}\right)\left(\cos \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \boldsymbol{v}-\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)Y^(1)=(Pγξ∣[0,1]∘dfp)(cos⁡‖ξ‖r⋅v−r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅(Ap)ξ(v))
が示される、 それゆえ，式 (5.6.11)が導かれる。次に, (iii)を示そう。任意 に ( v 1 , … , v 2 n ) ∈ F ( T p M ) v 1 , … , v 2 n ∈ F T p M (v_(1),dots,v_(2n))inF(T_(p)M)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{2 n}\right) \in \mathcal{F}\left(T_{p} M\right)(v1,…,v2n)∈F(TpM) と ( w 1 , … , w k ) ∈ F ( V ξ ) w 1 , … , w k ∈ F V ξ (w_(1),dots,w_(k))inF(V_(xi))\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \in \mathcal{F}\left(\mathcal{V}_{\xi}\right)(w1,…,wk)∈F(Vξ) をとる. このとき, 式 (5.6.10), (5.6.11)を用いて,
( ( exp ⊥ ) ∗ d V g s , r ) ξ ( ( v 1 ) ξ L , … , ( v 2 n ) ξ L , w 1 , … , w k ) = ( d V g S , r ) exp ⊥ ⁡ ( ξ ) ( ( d exp ⊥ ) ξ ( ( v 1 ) ξ L ) , … , ( d exp ⊥ ) ξ ( ( v 2 n ) ξ L ) , ( d exp ⊥ ) ξ ( w 1 ) , … , ( d exp ⊥ ) ξ ( w k ) ) = r k − 1 ‖ ξ ‖ k − 1 ⋅ sin k − 1 ⋅ ‖ ξ ‖ r ⋅ det ( cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ id T p M − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ ( A p ) ξ ) × ( d V g s ) ξ ( ( v 1 ) ξ L , … , ( v 2 n ) ξ L , w 1 , … , w k ) exp ⊥ ∗ d V g s , r ξ v 1 ξ L , … , v 2 n ξ L , w 1 , … , w k = d V g S , r exp ⊥ ⁡ ( ξ ) d exp ⊥ ξ v 1 ξ L , … , d exp ⊥ ξ v 2 n ξ L , d exp ⊥ ξ w 1 , … , d exp ⊥ ξ w k = r k − 1 ‖ ξ ‖ k − 1 ⋅ sin k − 1 ⋅ ‖ ξ ‖ r ⋅ det cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ id T p M − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ A p ξ × d V g s ξ v 1 ξ L , … , v 2 n ξ L , w 1 , … , w k {:[((exp^(_|_))^(**)dV_(g_(s,r)))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L),dots,(v_(2n))_(xi)^(L),w_(1),dots,w_(k))],[=(dV_(g_(S,r)))_(exp^(_|_)(xi))((dexp^(_|_))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L)),dots,(dexp^(_|_))_(xi)((v_(2n))_(xi)^(L)),:}],[{:(dexp^(_|_))_(xi)(w_(1)),dots,(dexp^(_|_))_(xi)(w_(k)))],[=(r^(k-1))/(||xi||^(k-1))*sin^(k-1)*(||xi||)/(r)*det(cos((||xi||)/(r))*id_(T_(p)M)-(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*(A_(p))_(xi))],[ xx(dV_(g_(s)))_(xi)((v_(1))_(xi)^(L),dots,(v_(2n))_(xi)^(L),w_(1),dots,w_(k))]:}\begin{aligned} & \left(\left(\exp ^{\perp}\right)^{*} d V_{g_{\mathrm{s}, r}}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}, \ldots,\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \\ = & \left(d V_{g_{S, r}}\right)_{\exp ^{\perp}(\xi)}\left(\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}\right), \ldots,\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}\right),\right. \\ & \left.\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{w}_{1}\right), \ldots,\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{w}_{k}\right)\right) \\ = & \frac{r^{k-1}}{\|\xi\|^{k-1}} \cdot \sin ^{k-1} \cdot \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \operatorname{det}\left(\cos \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \operatorname{id}_{T_{p} M}-\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot\left(A_{p}\right)_{\xi}\right) \\ & \times\left(d V_{g_{s}}\right)_{\xi}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\xi}^{L}, \ldots,\left(\boldsymbol{v}_{2 n}\right)_{\xi}^{L}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \end{aligned}((exp⊥)∗dVgs,r)ξ((v1)ξL,…,(v2n)ξL,w1,…,wk)=(dVgS,r)exp⊥⁡(ξ)((dexp⊥)ξ((v1)ξL),…,(dexp⊥)ξ((v2n)ξL),(dexp⊥)ξ(w1),…,(dexp⊥)ξ(wk))=rk−1‖ξ‖k−1⋅sink−1⋅‖ξ‖r⋅det(cos⁡‖ξ‖r⋅idTpM−r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅(Ap)ξ)×(dVgs)ξ((v1)ξL,…,(v2n)ξL,w1,…,wk)
が示される. それゆえ, 式 (5.6.12)が導かれる。
C M C M C_(M)C_{M}CM を f ( M ) f ( M ) f(M)f(M)f(M) の点の対極点全体からなる集合, つまり C M := { − q ∣ q ∈ C M := { − q ∣ q ∈ C_(M):={-q∣q inC_{M}:=\{-\boldsymbol{q} \mid \boldsymbol{q} \inCM:={−q∣q∈ f ( M ) } f ( M ) } f(M)}f(M)\}f(M)} とする. ここで, − q − q -q-\boldsymbol{q}−q は o ( − q ) → = − o q → o ( − q ) → = − o q → vec(o(-q))=- vec(oq)\overrightarrow{o(-\boldsymbol{q})}=-\overrightarrow{o \boldsymbol{q}}o(−q)→=−oq→ となる S 2 n + k ( r ) S 2 n + k ( r ) S^(2n+k)(r)S^{2 n+k}(r)S2n+k(r) の点を表す．明らかに, C M C M C_(M)C_{M}CM は S 2 n + k ( r ) S 2 n + k ( r ) S^(2n+k)(r)S^{2 n+k}(r)S2n+k(r) の測度 0 の集合である. p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ C M p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ C M p inS^(2n+k)(r)\\C_(M)\boldsymbol{p} \in S^{2 n+k}(r) \backslash C_{M}p∈S2n+k(r)∖CM を固定する. 各点 q ∈ M q ∈ M q in Mq \in Mq∈M に対し, p p p\boldsymbol{p}p を始点とし, f ( q ) f ( q ) f(q)f(q)f(q) を終点とする [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] を定義域とする ( S 2 n + k ( r ) , g § , r ) S 2 n + k ( r ) , g § , r (S^(2n+k)(r),g_(§,r))\left(S^{2 n+k}(r), g_{\S, r}\right)(S2n+k(r),g§,r) 上の測地線を γ q γ q gamma_(q)\gamma_{q}γq と表すことにする. p p p\boldsymbol{p}p からの 2 乗距離関数
d p 2 : M → R ⟺ def d p 2 ( f ( q ) ) := d g s , r ( p , f ( q ) ) 2 ( q ∈ M ) d p 2 : M → R ⟺ def d p 2 ( f ( q ) ) := d g s , r ( p , f ( q ) ) 2 ( q ∈ M ) d_(p)^(2):M rarrRLongleftrightarrow_(def)quadd_(p)^(2)(f(q)):=d_(g_(s,r))(p,f(q))^(2)quad(q in M)d_{\boldsymbol{p}}^{2}: M \rightarrow \mathbb{R} \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \quad d_{\boldsymbol{p}}^{2}(f(q)):=d_{g_{\mathrm{s}, r}}(\boldsymbol{p}, f(q))^{2} \quad(q \in M)dp2:M→R⟺defdp2(f(q)):=dgs,r(p,f(q))2(q∈M)
を考える. 便宜のため, l q := d g s , r ( p , f ( q ) ) l q := d g s , r ( p , f ( q ) ) l_(q):=d_(g_(s,r))(p,f(q))l_{q}:=d_{g_{s, r}}(\boldsymbol{p}, f(q))lq:=dgs,r(p,f(q)) とおく. d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 に対し, 次の事実が成 り立つ.
命題 5.6.7 (i) q q quad q\quad qq が d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の臨界点であることと γ q ′ ( 1 ) ∈ T q ⊥ M γ q ′ ( 1 ) ∈ T q ⊥ M gamma_(q)^(')(1)inT_(q)^(_|_)M\gamma_{q}^{\prime}(1) \in T_{q}^{\perp} Mγq′(1)∈Tq⊥M が成り立つ ことは同値である.
(ii) q q qqq を d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の臨界点であるとする. このとき, v , w ∈ T q M v , w ∈ T q M v,w inT_(q)M\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{q} Mv,w∈TqM に対し，
( H d p 2 ) q ( v , w ) (5.6.13) = 2 l q 2 cos ⁡ l q r r 2 sin 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( ( cos ⁡ l q r ⋅ id T q M + r l q ⋅ sin ⁡ l q r ⋅ ( A q ) γ q ′ ( 1 ) ) ( v ) , w ) H d p 2 q ( v , w ) (5.6.13) = 2 l q 2 cos ⁡ l q r r 2 sin 2 ⁡ l q r ⋅ g q cos ⁡ l q r ⋅ id T q M + r l q ⋅ sin ⁡ l q r ⋅ A q γ q ′ ( 1 ) ( v ) , w {:[(Hd_(p)^(2))_(q)(v","w)],[(5.6.13)=(2l_(q)^(2)cos((l_(q))/(r)))/(r^(2)sin^(2)((l_(q))/(r)))*g_(q)((cos((l_(q))/(r))*id_(T_(q)M)+(r)/(l_(q))*sin((l_(q))/(r))*(A_(q))_(gamma_(q)^(')(1)))(v),w)]:}\begin{align*} & \left(H d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \\ = & \frac{2 l_{q}^{2} \cos \frac{l_{q}}{r}}{r^{2} \sin ^{2} \frac{l_{q}}{r}} \cdot g_{q}\left(\left(\cos \frac{l_{q}}{r} \cdot \operatorname{id}_{T_{q} M}+\frac{r}{l_{q}} \cdot \sin \frac{l_{q}}{r} \cdot\left(A_{q}\right)_{\gamma_{q}^{\prime}(1)}\right)(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \tag{5.6.13} \end{align*}(Hdp2)q(v,w)(5.6.13)=2lq2cos⁡lqrr2sin2⁡lqr⋅gq((cos⁡lqr⋅idTqM+rlq⋅sin⁡lqr⋅(Aq)γq′(1))(v),w)
が成り立つ.
証明 v ∈ T q M v ∈ T q M v inT_(q)M\boldsymbol{v} \in T_{q} Mv∈TqM とし, c : ( − ε , ε ) → M c : ( − ε , ε ) → M c:(-epsi,epsi)rarr Mc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mc:(−ε,ε)→M を c ′ ( 0 ) = v c ′ ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c′(0)=v となる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線とする. C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の測地変形 { γ c ( t ) } t ∈ ( − ε , ε ) γ c ( t ) t ∈ ( − ε , ε ) {gamma_(c(t))}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\gamma_{c(t)}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γc(t)}t∈(−ε,ε) を考える. δ ( s , t ) := γ c ( t ) ( s ) δ ( s , t ) := γ c ( t ) ( s ) delta(s,t):=gamma_(c(t))(s)\delta(s, t):=\gamma_{c(t)}(s)δ(s,t):=γc(t)(s) とお く. この測地変形の変分ベクトル場を Y Y Y\boldsymbol{Y}Y と表す. このとき,
d ( d p 2 ) q ( v ) = v ( d p 2 ) = d ( d p 2 ( c ( t ) ) ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( g S , r ) f ( c ( t ) ) ( γ c ( t ) ′ ( 1 ) , γ c ( t ) ′ ( 1 ) ) (5.6.14) = 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ d δ ( ∂ ∂ s ) ) ( 1 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) ) = 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ t ) ) ( 1 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) ) = 2 ( g S , r ) f ( q ) ( Y ′ ( 1 ) , γ q ′ ( 1 ) ) d d p 2 q ( v ) = v d p 2 = d d p 2 ( c ( t ) ) d t t = 0 = d d t t = 0 g S , r f ( c ( t ) ) γ c ( t ) ′ ( 1 ) , γ c ( t ) ′ ( 1 ) (5.6.14) = 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ t δ d δ ∂ ∂ s ( 1 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) = 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ s δ d δ ∂ ∂ t ( 1 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) = 2 g S , r f ( q ) Y ′ ( 1 ) , γ q ′ ( 1 ) {:[d(d_(p)^(2))_(q)(v)=v(d_(p)^(2))=(d(d_(p)^(2)(c(t))))/(dt)|_(t=0)],[=(d)/(dt)|_(t=0)(g_(S,r))_(f(c(t)))(gamma_(c(t))^(')(1),gamma_(c(t))^(')(1))],[(5.6.14)=2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)))_((1,0)),gamma_(q)^(')(1))],[=2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t)))_((1,0)),gamma_(q)^(')(1))],[=2(g_(S,r))_(f(q))(Y^(')(1),gamma_(q)^(')(1))]:}\begin{align*} d\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)_{q}(\boldsymbol{v}) & =\boldsymbol{v}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)=\left.\frac{d\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}(c(t))\right)}{d t}\right|_{t=0} \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(c(t))}\left(\gamma_{c(t)}^{\prime}(1), \gamma_{c(t)}^{\prime}(1)\right) \\ & =2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(1,0)}, \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \tag{5.6.14}\\ & =2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(1,0)}, \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \\ & =2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\boldsymbol{Y}^{\prime}(1), \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \end{align*}d(dp2)q(v)=v(dp2)=d(dp2(c(t)))dt|t=0=ddt|t=0(gS,r)f(c(t))(γc(t)′(1),γc(t)′(1))(5.6.14)=2(gS,r)f(q)((∇~∂∂tδdδ(∂∂s))(1,0),γq′(1))=2(gS,r)f(q)((∇~∂∂sδdδ(∂∂t))(1,0),γq′(1))=2(gS,r)f(q)(Y′(1),γq′(1))
一方, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y は, Y ( 0 ) = 0 Y ( 0 ) = 0 Y(0)=0\boldsymbol{Y}(0)=\mathbf{0}Y(0)=0 を満たす γ q γ q gamma_(q)\gamma_{q}γq に沿うヤコビ場なので,
Y ( s ) = r l q ⋅ sin ⁡ s l q r ⋅ P γ q | [ 0 , s ] ( Y ′ ( 0 ) ) Y ( s ) = r l q ⋅ sin ⁡ s l q r ⋅ P γ q [ 0 , s ] Y ′ ( 0 ) Y(s)=(r)/(l_(q))*sin((sl_(q))/(r))*P_(gamma_(q)|_([0,s]))(Y^(')(0))\boldsymbol{Y}(s)=\frac{r}{l_{q}} \cdot \sin \frac{s l_{q}}{r} \cdot P_{\left.\gamma_{q}\right|_{[0, s]}}\left(\boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)Y(s)=rlq⋅sin⁡slqr⋅Pγq|[0,s](Y′(0))
それゆえ,
Y ′ ( 1 ) = cos ⁡ l q r ⋅ P γ q | [ 0 , 1 ] ( Y ′ ( 0 ) ) = l q r tan ⁡ l q r Y ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r d f q ( v ) Y ′ ( 1 ) = cos ⁡ l q r ⋅ P γ q [ 0 , 1 ] Y ′ ( 0 ) = l q r tan ⁡ l q r Y ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r d f q ( v ) Y^(')(1)=cos((l_(q))/(r))*P_(gamma_(q)|_([0,1]))(Y^(')(0))=(l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))Y(1)=(l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))df_(q)(v)\boldsymbol{Y}^{\prime}(1)=\cos \frac{l_{q}}{r} \cdot P_{\left.\gamma_{q}\right|_{[0,1]}}\left(\boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \boldsymbol{Y}(1)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} d f_{q}(\boldsymbol{v})Y′(1)=cos⁡lqr⋅Pγq|[0,1](Y′(0))=lqrtan⁡lqrY(1)=lqrtan⁡lqrdfq(v)
をえる. この関係式と式 (5.6.14) から,
d ( d p 2 ) q ( v ) = 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ ( g S , r ) f ( q ) ( d f q ( v ) , γ q ′ ( 1 ) ) d d p 2 q ( v ) = 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ g S , r f ( q ) d f q ( v ) , γ q ′ ( 1 ) d(d_(p)^(2))_(q)(v)=(2l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*(g_(S,r))_(f(q))(df_(q)(v),gamma_(q)^(')(1))d\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)_{q}(\boldsymbol{v})=\frac{2 l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(d f_{q}(\boldsymbol{v}), \gamma_{q}^{\prime}(1)\right)d(dp2)q(v)=2lqrtan⁡lqr⋅(gS,r)f(q)(dfq(v),γq′(1))
が導かれる。この関係式から, q q qqq が d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の臨界点であることと γ q ′ ( 1 ) ∈ T q ⊥ M γ q ′ ( 1 ) ∈ T q ⊥ M gamma_(q)^(')(1)inT_(q)^(_|_)M\gamma_{q}^{\prime}(1) \in T_{q}^{\perp} Mγq′(1)∈Tq⊥M が成り立つことが同値であることがわかる.
q q qqq が d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の臨界点であるとする. v , w ∈ T q M v , w ∈ T q M v,w inT_(q)M\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{q} Mv,w∈TqM をとる. δ : ( − ε , ε ) 2 → M δ : ( − ε , ε ) 2 → M delta:(-epsi,epsi)^(2)rarr M\delta:(-\varepsilon, \varepsilon)^{2} \rightarrow Mδ:(−ε,ε)2→M を
( d δ ( ∂ ∂ t ) ) ( 0 , 0 ) = v , ( d δ ( ∂ ∂ u ) ) ( 0 , 0 ) = w d δ ∂ ∂ t ( 0 , 0 ) = v , d δ ∂ ∂ u ( 0 , 0 ) = w (d delta((del)/(del t)))_((0,0))=v,quad(d delta((del)/(del u)))_((0,0))=w\left(d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(0,0)}=\boldsymbol{v}, \quad\left(d \delta\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)\right)_{(0,0)}=\boldsymbol{w}(dδ(∂∂t))(0,0)=v,(dδ(∂∂u))(0,0)=w
となる C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 写像とし, 2 パラメーター C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級測地変形 { γ δ ( t , u ) } ( t , u ) ∈ ( − ε , ε ) 2 γ δ ( t , u ) ( t , u ) ∈ ( − ε , ε ) 2 {gamma_(delta(t,u))}_((t,u)in(-epsi,epsi)^(2))\left\{\gamma_{\delta(t, u)}\right\}_{(t, u) \in(-\varepsilon, \varepsilon)^{2}}{γδ(t,u)}(t,u)∈(−ε,ε)2 を 考える。 δ ~ : [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) 2 → S 2 n + k ( r ) δ ~ : [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) 2 → S 2 n + k ( r ) widetilde(delta):[0,1]xx(-epsi,epsi)^(2)rarrS^(2n+k)(r)\widetilde{\delta}:[0,1] \times(-\varepsilon, \varepsilon)^{2} \rightarrow S^{2 n+k}(r)δ~:[0,1]×(−ε,ε)2→S2n+k(r) を δ ~ ( s , t , u ) := γ δ ( t , u ) ( s ) δ ~ ( s , t , u ) := γ δ ( t , u ) ( s ) widetilde(delta)(s,t,u):=gamma_(delta(t,u))(s)\widetilde{\delta}(s, t, u):=\gamma_{\delta(t, u)}(s)δ~(s,t,u):=γδ(t,u)(s) によって定義する（図 5.6.2 を参照）.
Y t := ( d δ ~ ( ∂ ∂ t ) ) t = u = 0 , Y u := ( d δ ~ ( ∂ ∂ u ) ) t = u = 0 Y t 0 u := ( d δ ~ ( ∂ ∂ u ) ) t = t 0 , u = 0 Y t := d δ ~ ∂ ∂ t t = u = 0 , Y u := d δ ~ ∂ ∂ u t = u = 0 Y t 0 u := d δ ~ ∂ ∂ u t = t 0 , u = 0 {:[Y^(t):=(d( widetilde(delta))((del)/(del t)))_(t=u=0)","quadY^(u):=(d( widetilde(delta))((del)/(del u)))_(t=u=0)],[Y_(t_(0))^(u):=(d( widetilde(delta))((del)/(del u)))_(t=t_(0),u=0)]:}\begin{gathered} \boldsymbol{Y}^{t}:=\left(d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{t=u=0}, \quad \boldsymbol{Y}^{u}:=\left(d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)\right)_{t=u=0} \\ Y_{t_{0}}^{u}:=\left(d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)\right)_{t=t_{0}, u=0} \end{gathered}Yt:=(dδ~(∂∂t))t=u=0,Yu:=(dδ~(∂∂u))t=u=0Yt0u:=(dδ~(∂∂u))t=t0,u=0
とおく. このとき,
( H d p 2 ) q ( v , w ) = ∂ 2 ∂ t ∂ u | t = u = 0 ( g S , r ( d δ ~ ( ∂ ∂ s ) | s = 1 , d δ ~ ( ∂ ∂ s ) | s = 1 ) ) = 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ ~ d δ ~ ( ∂ ∂ s ) ) ( 1 , 0 , 0 ) , ( ∇ ~ ∂ ∂ u δ ~ δ ( ∂ ∂ s ) ) ( 1 , 0 , 0 ) ) + 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ ~ ( ∇ ~ ∂ ∂ u ∂ ~ d δ ~ ( ∂ ∂ s ) ) ) ( 1 , 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) ) = 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ ~ d δ ~ ( ∂ ∂ t ) ) ( 1 , 0 , 0 ) , ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ ~ d δ ~ ( ∂ ∂ u ) ) ( 1 , 0 , 0 ) ) + 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ ~ ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ ~ d δ ~ ( ∂ ∂ u ) ) ) ( 1 , 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) ) = 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( Y t ) ′ ( 1 ) , ( Y u ) ′ ( 1 ) ) + 2 ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t f ∘ δ ( Y t u ) ′ ( 1 ) ) ( 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) ) H d p 2 q ( v , w ) = ∂ 2 ∂ t ∂ u t = u = 0 g S , r d δ ~ ∂ ∂ s s = 1 , d δ ~ ∂ ∂ s s = 1 = 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ t δ ~ d δ ~ ∂ ∂ s ( 1 , 0 , 0 ) , ∇ ~ ∂ ∂ u δ ~ δ ∂ ∂ s ( 1 , 0 , 0 ) + 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ t δ ~ ∇ ~ ∂ ∂ u ∂ ~ d δ ~ ∂ ∂ s ( 1 , 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) = 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ s δ ~ d δ ~ ∂ ∂ t ( 1 , 0 , 0 ) , ∇ ~ ∂ ∂ s δ ~ d δ ~ ∂ ∂ u ( 1 , 0 , 0 ) + 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ t δ ~ ∇ ~ ∂ ∂ s δ ~ d δ ~ ∂ ∂ u ( 1 , 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) = 2 g S , r f ( q ) Y t ′ ( 1 ) , Y u ′ ( 1 ) + 2 g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ t f ∘ δ Y t u ′ ( 1 ) ( 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) {:[(Hd_(p)^(2))_(q)(v","w)=(del^(2))/(del t del u)|_(t=u=0)(g_(S,r)(d( widetilde(delta))((del)/(del s))|_(s=1),d( widetilde(delta))((del)/(del s))|_(s=1)))],[=2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^( widetilde(delta))d( widetilde(delta))((del)/(del s)))_((1,0,0)),( widetilde(grad)_((del)/(del u)) widetilde(delta)_(delta)((del)/(del s)))_((1,0,0)))],[+2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^( widetilde(delta))( widetilde(grad)_((del)/(del u))^( widetilde(_(del)))d( tilde(delta))((del)/(del s))))_((1,0,0)),gamma_(q)^(')(1))],[=2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del s))^( widetilde(delta))d( widetilde(delta))((del)/(del t)))_((1,0,0)),( widetilde(grad)_((del)/(del s))^( tilde(delta))d( widetilde(delta))((del)/(del u)))_((1,0,0)))],[+2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^( tilde(delta))( widetilde(grad)_((del)/(del s))^( tilde(delta))d( tilde(delta))((del)/(del u))))_((1,0,0)),gamma_(q)^(')(1))],[=2(g_(S,r))_(f(q))((Y^(t))^(')(1),(Y^(u))^(')(1))],[+2(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(f@delta)(Y_(t)^(u))^(')(1))_((0,0)),gamma_(q)^(')(1))]:}\begin{aligned} & \left(H d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=\left.\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial u}\right|_{t=u=0}\left(g_{\mathbb{S}, r}\left(\left.d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right|_{s=1},\left.d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right|_{s=1}\right)\right) \\ & =2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\widetilde{\delta}} d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(1,0,0)},\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial u}} \widetilde{\delta}_{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(1,0,0)}\right) \\ & +2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\widetilde{\delta}}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial u}}^{\widetilde{{ }_{\partial}}} d \tilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)\right)_{(1,0,0)}, \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \\ & =2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\widetilde{\delta}} d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(1,0,0)},\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\tilde{\delta}} d \widetilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)\right)_{(1,0,0)}\right) \\ & +2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\tilde{\delta}}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\tilde{\delta}} d \tilde{\delta}\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)\right)\right)_{(1,0,0)}, \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \\ & =2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\boldsymbol{Y}^{t}\right)^{\prime}(1),\left(\boldsymbol{Y}^{u}\right)^{\prime}(1)\right) \\ & +2\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{f \circ \delta}\left(\boldsymbol{Y}_{t}^{u}\right)^{\prime}(1)\right)_{(0,0)}, \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \end{aligned}(Hdp2)q(v,w)=∂2∂t∂u|t=u=0(gS,r(dδ~(∂∂s)|s=1,dδ~(∂∂s)|s=1))=2(gS,r)f(q)((∇~∂∂tδ~dδ~(∂∂s))(1,0,0),(∇~∂∂uδ~δ(∂∂s))(1,0,0))+2(gS,r)f(q)((∇~∂∂tδ~(∇~∂∂u∂~dδ~(∂∂s)))(1,0,0),γq′(1))=2(gS,r)f(q)((∇~∂∂sδ~dδ~(∂∂t))(1,0,0),(∇~∂∂sδ~dδ~(∂∂u))(1,0,0))+2(gS,r)f(q)((∇~∂∂tδ~(∇~∂∂sδ~dδ~(∂∂u)))(1,0,0),γq′(1))=2(gS,r)f(q)((Yt)′(1),(Yu)′(1))+2(gS,r)f(q)((∇~∂∂tf∘δ(Ytu)′(1))(0,0),γq′(1))
をえる. Y t , Y u Y t , Y u Y^(t),Y^(u)\boldsymbol{Y}^{t}, \boldsymbol{Y}^{u}Yt,Yu は, Y t ( 0 ) = Y u ( 0 ) = 0 Y t ( 0 ) = Y u ( 0 ) = 0 Y^(t)(0)=Y^(u)(0)=0\boldsymbol{Y}^{t}(0)=\boldsymbol{Y}^{u}(0)=\mathbf{0}Yt(0)=Yu(0)=0 を満たす γ q γ q gamma_(q)\gamma_{q}γq に沿うヤコビ場なの で, それらは
Y t ( s ) = r l q ⋅ sin ⁡ s l q r ⋅ P γ q ∣ [ 0 , s ] ( ( Y t ) ′ ( 0 ) ) Y u ( s ) = r l q ⋅ sin ⁡ s l q r ⋅ P γ q ∣ [ 0 , s ] ( ( Y u ) ′ ( 0 ) ) Y t ( s ) = r l q ⋅ sin ⁡ s l q r ⋅ P γ q ∣ [ 0 , s ] Y t ′ ( 0 ) Y u ( s ) = r l q ⋅ sin ⁡ s l q r ⋅ P γ q ∣ [ 0 , s ] Y u ′ ( 0 ) {:[Y^(t)(s)=(r)/(l_(q))*sin((sl_(q))/(r))*P_(gamma_(q)∣[0,s])((Y^(t))^(')(0))],[Y^(u)(s)=(r)/(l_(q))*sin((sl_(q))/(r))*P_(gamma_(q)∣[0,s])((Y^(u))^(')(0))]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{Y}^{t}(s)=\frac{r}{l_{q}} \cdot \sin \frac{s l_{q}}{r} \cdot P_{\gamma_{q} \mid[0, s]}\left(\left(\boldsymbol{Y}^{t}\right)^{\prime}(0)\right) \\ & \boldsymbol{Y}^{u}(s)=\frac{r}{l_{q}} \cdot \sin \frac{s l_{q}}{r} \cdot P_{\gamma_{q} \mid[0, s]}\left(\left(\boldsymbol{Y}^{u}\right)^{\prime}(0)\right) \end{aligned}Yt(s)=rlq⋅sin⁡slqr⋅Pγq∣[0,s]((Yt)′(0))Yu(s)=rlq⋅sin⁡slqr⋅Pγq∣[0,s]((Yu)′(0))
図 5.6.2 H d p 2 H d p 2 Hd_(p)^(2)H d_{p}^{2}Hdp2 の計算に用いられる 2 パラメーター C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 測地変形
によって与えられ, それゆえ,
( Y t ) ′ ( s ) = cos ⁡ s l q r ⋅ P γ q | [ 0 , s ] ( ( Y t ) ′ ( 0 ) ) = l q r tan ⁡ s l q r ⋅ Y t ( s ) ( Y u ) ′ ( s ) = cos ⁡ s l q r ⋅ P γ q ∣ [ 0 , s ] ( ( Y u ) ′ ( 0 ) ) = l q r tan ⁡ s l q r ⋅ Y u ( s ) Y t ′ ( s ) = cos ⁡ s l q r ⋅ P γ q [ 0 , s ] Y t ′ ( 0 ) = l q r tan ⁡ s l q r ⋅ Y t ( s ) Y u ′ ( s ) = cos ⁡ s l q r ⋅ P γ q ∣ [ 0 , s ] Y u ′ ( 0 ) = l q r tan ⁡ s l q r ⋅ Y u ( s ) {:[(Y^(t))^(')(s)=cos((sl_(q))/(r))*P_(gamma_(q)|_([0,s]))((Y^(t))^(')(0))=(l_(q))/(r tan((sl_(q))/(r)))*Y^(t)(s)],[(Y^(u))^(')(s)=cos((sl_(q))/(r))*P_(gamma_(q)∣[0,s])((Y^(u))^(')(0))=(l_(q))/(r tan((sl_(q))/(r)))*Y^(u)(s)]:}\begin{aligned} \left(\boldsymbol{Y}^{t}\right)^{\prime}(s) & =\cos \frac{s l_{q}}{r} \cdot P_{\left.\gamma_{q}\right|_{[0, s]}}\left(\left(\boldsymbol{Y}^{t}\right)^{\prime}(0)\right)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{s l_{q}}{r}} \cdot \boldsymbol{Y}^{t}(s) \\ \left(\boldsymbol{Y}^{u}\right)^{\prime}(s) & =\cos \frac{s l_{q}}{r} \cdot P_{\gamma_{q} \mid[0, s]}\left(\left(\boldsymbol{Y}^{u}\right)^{\prime}(0)\right)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{s l_{q}}{r}} \cdot \boldsymbol{Y}^{u}(s) \end{aligned}(Yt)′(s)=cos⁡slqr⋅Pγq|[0,s]((Yt)′(0))=lqrtan⁡slqr⋅Yt(s)(Yu)′(s)=cos⁡slqr⋅Pγq∣[0,s]((Yu)′(0))=lqrtan⁡slqr⋅Yu(s)
が示される. 特に,
(5.6.15) ( Y t ) ′ ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ Y t ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ d f q ( v ) ( Y u ) ′ ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ Y u ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ d f q ( w ) (5.6.15) Y t ′ ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ Y t ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ d f q ( v ) Y u ′ ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ Y u ( 1 ) = l q r tan ⁡ l q r ⋅ d f q ( w ) {:[(5.6.15)(Y^(t))^(')(1)=(l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*Y^(t)(1)=(l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*df_(q)(v)],[(Y^(u))^(')(1)=(l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*Y^(u)(1)=(l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*df_(q)(w)]:}\begin{align*} & \left(\boldsymbol{Y}^{t}\right)^{\prime}(1)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot \boldsymbol{Y}^{t}(1)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot d f_{q}(\boldsymbol{v}) \tag{5.6.15}\\ & \left(\boldsymbol{Y}^{u}\right)^{\prime}(1)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot \boldsymbol{Y}^{u}(1)=\frac{l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot d f_{q}(\boldsymbol{w}) \end{align*}(5.6.15)(Yt)′(1)=lqrtan⁡lqr⋅Yt(1)=lqrtan⁡lqr⋅dfq(v)(Yu)′(1)=lqrtan⁡lqr⋅Yu(1)=lqrtan⁡lqr⋅dfq(w)
が示される. また Y t u Y t u Y_(t)^(u)\boldsymbol{Y}_{t}^{u}Ytu は, Y t u ( 0 ) = 0 Y t u ( 0 ) = 0 Y_(t)^(u)(0)=0\boldsymbol{Y}_{t}^{u}(0)=\mathbf{0}Ytu(0)=0 を満たす γ δ ( t , u ) γ δ ( t , u ) gamma_(delta(t,u))\gamma_{\delta(t, u)}γδ(t,u) に沿うヤコビ場なの で, それは
Y t u ( s ) = r l δ ( t , u ) ⋅ sin ⁡ s l δ ( t , u ) r ⋅ P γ δ ( t , u ) ∣ [ 0 , s ] ( ( Y t u ) ′ ( 0 ) ) Y t u ( s ) = r l δ ( t , u ) ⋅ sin ⁡ s l δ ( t , u ) r ⋅ P γ δ ( t , u ) ∣ [ 0 , s ] Y t u ′ ( 0 ) Y_(t)^(u)(s)=(r)/(l_(delta(t,u)))*sin((sl_(delta(t,u)))/(r))*P_(gamma_(delta(t,u))∣[0,s])((Y_(t)^(u))^(')(0))\boldsymbol{Y}_{t}^{u}(s)=\frac{r}{l_{\delta(t, u)}} \cdot \sin \frac{s l_{\delta(t, u)}}{r} \cdot P_{\gamma_{\delta(t, u)} \mid[0, s]}\left(\left(\boldsymbol{Y}_{t}^{u}\right)^{\prime}(0)\right)Ytu(s)=rlδ(t,u)⋅sin⁡slδ(t,u)r⋅Pγδ(t,u)∣[0,s]((Ytu)′(0))
によって与えられ，それゆえ，
( Y t u ) ′ ( 1 ) = cos ⁡ l δ ( t , u ) r ⋅ P γ δ ( t , u ) ∣ ( 0 , 1 ] ( ( Y t u ) ′ ( 0 ) ) = l δ ( t , u ) r tan ⁡ l δ ( t , u ) r ⋅ Y t u ( 1 ) (5.6.16) = l δ ( t , u ) r tan ⁡ l δ ( t , u ) r ⋅ d ( f ∘ δ ) ( t , u ) ( ( ∂ ∂ u ) ( t , u ) ) Y t u ′ ( 1 ) = cos ⁡ l δ ( t , u ) r ⋅ P γ δ ( t , u ) ∣ ( 0 , 1 ] Y t u ′ ( 0 ) = l δ ( t , u ) r tan ⁡ l δ ( t , u ) r ⋅ Y t u ( 1 ) (5.6.16) = l δ ( t , u ) r tan ⁡ l δ ( t , u ) r ⋅ d ( f ∘ δ ) ( t , u ) ∂ ∂ u ( t , u ) {:[(Y_(t)^(u))^(')(1)=cos((l_(delta(t,u)))/(r))*P_(gamma_(delta(t,u)∣(0,1]))((Y_(t)^(u))^(')(0))=(l_(delta(t,u)))/(r tan((l_(delta(t,u)))/(r)))*Y_(t)^(u)(1)],[(5.6.16)=(l_(delta(t,u)))/(r tan((l_(delta(t,u)))/(r)))*d(f@delta)_((t,u))(((del)/(del u))_((t,u)))]:}\begin{align*} \left(\boldsymbol{Y}_{t}^{u}\right)^{\prime}(1) & =\cos \frac{l_{\delta(t, u)}}{r} \cdot P_{\gamma_{\delta(t, u) \mid(0,1]}}\left(\left(\boldsymbol{Y}_{t}^{u}\right)^{\prime}(0)\right)=\frac{l_{\delta(t, u)}}{r \tan \frac{l_{\delta(t, u)}}{r}} \cdot \boldsymbol{Y}_{t}^{u}(1) \\ & =\frac{l_{\delta(t, u)}}{r \tan \frac{l_{\delta(t, u)}}{r}} \cdot d(f \circ \delta)_{(t, u)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)_{(t, u)}\right) \tag{5.6.16} \end{align*}(Ytu)′(1)=cos⁡lδ(t,u)r⋅Pγδ(t,u)∣(0,1]((Ytu)′(0))=lδ(t,u)rtan⁡lδ(t,u)r⋅Ytu(1)(5.6.16)=lδ(t,u)rtan⁡lδ(t,u)r⋅d(f∘δ)(t,u)((∂∂u)(t,u))
が示される. 式 (5.6.15), (5.6.16) を前述の H d p 2 ( v , w ) H d p 2 ( v , w ) Hd_(p)^(2)(v,w)H d_{\boldsymbol{p}}^{2}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})Hdp2(v,w) の式に代入して,
( H d p 2 ) q ( v , w ) = 2 l q 2 r 2 tan 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( v , w ) + 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ ( g S , r ) f ( q ) ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t f ∘ δ d ( f ∘ δ ) ( ∂ ∂ u ) ) ( 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) ) = 2 l q 2 r 2 tan 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( v , w ) + 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ ( g S , r ) f ( q ) ( h q ( v , w ) , γ q ′ ( 1 ) ) = 2 l q 2 r 2 tan 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( v , w ) + 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ g q ( ( A q ) γ q ′ ( 1 ) ( v ) , w ) (5.6.17) = 2 l q 2 cos ⁡ l q r r 2 sin 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( ( cos ⁡ l q r ⋅ id T q M + r l q ⋅ sin ⁡ l q r ⋅ ( A q ) γ q ′ ( 1 ) ) ( v ) , w ) H d p 2 q ( v , w ) = 2 l q 2 r 2 tan 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( v , w ) + 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ g S , r f ( q ) ∇ ~ ∂ ∂ t f ∘ δ d ( f ∘ δ ) ∂ ∂ u ( 0 , 0 ) , γ q ′ ( 1 ) = 2 l q 2 r 2 tan 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( v , w ) + 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ g S , r f ( q ) h q ( v , w ) , γ q ′ ( 1 ) = 2 l q 2 r 2 tan 2 ⁡ l q r ⋅ g q ( v , w ) + 2 l q r tan ⁡ l q r ⋅ g q A q γ q ′ ( 1 ) ( v ) , w (5.6.17) = 2 l q 2 cos ⁡ l q r r 2 sin 2 ⁡ l q r ⋅ g q cos ⁡ l q r ⋅ id T q M + r l q ⋅ sin ⁡ l q r ⋅ A q γ q ′ ( 1 ) ( v ) , w {:[(Hd_(p)^(2))_(q)(v","w)=(2l_(q)^(2))/(r^(2)tan^(2)((l_(q))/(r)))*g_(q)(v","w)],[quad+(2l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*(g_(S,r))_(f(q))(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(f@delta)d(f@delta)((del)/(del u)))_((0,0)),gamma_(q)^(')(1))],[=(2l_(q)^(2))/(r^(2)tan^(2)((l_(q))/(r)))*g_(q)(v","w)+(2l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*(g_(S,r))_(f(q))(h_(q)(v,w),gamma_(q)^(')(1))],[=(2l_(q)^(2))/(r^(2)tan^(2)((l_(q))/(r)))*g_(q)(v","w)+(2l_(q))/(r tan((l_(q))/(r)))*g_(q)((A_(q))_(gamma_(q)^(')(1))(v),w)],[(5.6.17)=(2l_(q)^(2)cos((l_(q))/(r)))/(r^(2)sin^(2)((l_(q))/(r)))*g_(q)((cos((l_(q))/(r))*id_(T_(q)M)+(r)/(l_(q))*sin((l_(q))/(r))*(A_(q))_(gamma_(q)^(')(1)))(v),w)]:}\begin{align*} & \left(H d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=\frac{2 l_{q}^{2}}{r^{2} \tan ^{2} \frac{l_{q}}{r}} \cdot g_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \\ & \quad+\frac{2 l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{f \circ \delta} d(f \circ \delta)\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)\right)_{(0,0)}, \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \\ & =\frac{2 l_{q}^{2}}{r^{2} \tan ^{2} \frac{l_{q}}{r}} \cdot g_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})+\frac{2 l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot\left(g_{\mathbb{S}, r}\right)_{f(q)}\left(h_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}), \gamma_{q}^{\prime}(1)\right) \\ & =\frac{2 l_{q}^{2}}{r^{2} \tan ^{2} \frac{l_{q}}{r}} \cdot g_{q}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})+\frac{2 l_{q}}{r \tan \frac{l_{q}}{r}} \cdot g_{q}\left(\left(A_{q}\right)_{\gamma_{q}^{\prime}(1)}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \\ & =\frac{2 l_{q}^{2} \cos \frac{l_{q}}{r}}{r^{2} \sin ^{2} \frac{l_{q}}{r}} \cdot g_{q}\left(\left(\cos \frac{l_{q}}{r} \cdot \mathrm{id}_{T_{q} M}+\frac{r}{l_{q}} \cdot \sin \frac{l_{q}}{r} \cdot\left(A_{q}\right)_{\gamma_{q}^{\prime}(1)}\right)(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \tag{5.6.17} \end{align*}(Hdp2)q(v,w)=2lq2r2tan2⁡lqr⋅gq(v,w)+2lqrtan⁡lqr⋅(gS,r)f(q)((∇~∂∂tf∘δd(f∘δ)(∂∂u))(0,0),γq′(1))=2lq2r2tan2⁡lqr⋅gq(v,w)+2lqrtan⁡lqr⋅(gS,r)f(q)(hq(v,w),γq′(1))=2lq2r2tan2⁡lqr⋅gq(v,w)+2lqrtan⁡lqr⋅gq((Aq)γq′(1)(v),w)(5.6.17)=2lq2cos⁡lqrr2sin2⁡lqr⋅gq((cos⁡lqr⋅idTqM+rlq⋅sin⁡lqr⋅(Aq)γq′(1))(v),w)
をえる.
( S 2 n + k ( r ) , g S , r ) S 2 n + k ( r ) , g S , r (S^(2n+k)(r),g_(S,r))\left(S^{2 n+k}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(S2n+k(r),gS,r) 内のリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の焦点について, 次の事実 が成り立つ.
命題 5.6.8 ξ ∈ T q ⊥ M ξ ∈ T q ⊥ M quad xi inT_(q)^(_|_)M\quad \xi \in T_{q}^{\perp} Mξ∈Tq⊥M とする. このとき, 点 γ ξ ( s 0 ) γ ξ s 0 gamma_(xi)(s_(0))\gamma_{\xi}\left(s_{0}\right)γξ(s0) が法測地線 γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿う ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の焦点であることと ‖ ξ ‖ r tan ⁡ s 0 ‖ ξ ‖ r ‖ ξ ‖ r tan ⁡ s 0 ‖ ξ ‖ r (||xi||)/(r tan((s_(0)||xi||)/(r)))\frac{\|\xi\|}{r \tan \frac{s_{0}\|\xi\|}{r}}‖ξ‖rtan⁡s0‖ξ‖r が ( A q ) ξ A q ξ (A_(q))_(xi)\left(A_{q}\right)_{\xi}(Aq)ξ の固有値であることは同値で ある.
証明 { γ ξ t : [ 0 , ∞ ) → S 2 n + k ( r ) } t ∈ ( − ε , ε ) γ ξ t : [ 0 , ∞ ) → S 2 n + k ( r ) t ∈ ( − ε , ε ) {gamma_(xi_(t)):[0,oo)rarrS^(2n+k)(r)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\gamma_{\xi_{t}}:[0, \infty) \rightarrow S^{2 n+k}(r)\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γξt:[0,∞)→S2n+k(r)}t∈(−ε,ε) を ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の法測地線からなる γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級測地変形とし, この測地変形の変分ベクトル場を Y Y Y\boldsymbol{Y}Y とし, Y ( 0 ) = Y ( 0 ) = Y(0)=\boldsymbol{Y}(0)=Y(0)= d f q ( v ) d f q ( v ) df_(q)(v)d f_{q}(\boldsymbol{v})dfq(v) とする。 また, δ : [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) → S 2 n + k ( r ) δ : [ 0 , 1 ] × ( − ε , ε ) → S 2 n + k ( r ) delta:[0,1]xx(-epsi,epsi)rarrS^(2n+k)(r)\delta:[0,1] \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S^{2 n+k}(r)δ:[0,1]×(−ε,ε)→S2n+k(r) を δ ( s , t ) := γ ξ t ( s ) δ ( s , t ) := γ ξ t ( s ) delta(s,t):=gamma_(xi_(t))(s)\delta(s, t):=\gamma_{\xi_{t}}(s)δ(s,t):=γξt(s) によ って定義する。このとき,
Y ′ ( 0 ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ t ) ) ( 0 , 0 ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ t δ d δ ( ∂ ∂ s ) ) ( 0 , 0 ) = ∇ ~ v f ξ t = − d f q ( ( A q ) ξ ( v ) ) + ∇ v ⊥ ξ t Y ′ ( 0 ) = ∇ ~ ∂ ∂ s δ d δ ∂ ∂ t ( 0 , 0 ) = ∇ ~ ∂ ∂ t δ d δ ∂ ∂ s ( 0 , 0 ) = ∇ ~ v f ξ t = − d f q A q ξ ( v ) + ∇ v ⊥ ξ t {:[Y^(')(0)=( widetilde(grad)_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t)))_((0,0))=( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)))_((0,0))],[= widetilde(grad)_(v)^(f)xi_(t)=-df_(q)((A_(q))_(xi)(v))+grad_(v)^(_|_)xi_(t)]:}\begin{aligned} \boldsymbol{Y}^{\prime}(0) & =\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(0,0)}=\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(0,0)} \\ & =\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{v}}^{f} \xi_{t}=-d f_{q}\left(\left(A_{q}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)+\nabla_{\boldsymbol{v}}^{\perp} \xi_{t} \end{aligned}Y′(0)=(∇~∂∂sδdδ(∂∂t))(0,0)=(∇~∂∂tδdδ(∂∂s))(0,0)=∇~vfξt=−dfq((Aq)ξ(v))+∇v⊥ξt
となるので, 例 4.5.2により,
Y ( s ) = P γ ξ [ 0 , s ] ( cos ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ Y ( 0 ) + r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ Y ′ ( 0 ) ) Y ( s ) = P γ ξ [ 0 , s ] cos ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ Y ( 0 ) + r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ Y ′ ( 0 ) Y(s)=P_(gamma_(xi)[0,s])(cos((s||xi||)/(r))*Y(0)+(r)/(||xi||)*sin((s||xi||)/(r))*Y^(')(0))\boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma_{\xi}[0, s]}\left(\cos \frac{s\|\xi\|}{r} \cdot \boldsymbol{Y}(0)+\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{s\|\xi\|}{r} \cdot \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)Y(s)=Pγξ[0,s](cos⁡s‖ξ‖r⋅Y(0)+r‖ξ‖⋅sin⁡s‖ξ‖r⋅Y′(0))
= P γ ξ ∣ [ 0 , s ] ( cos ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ d f q ( v ) − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ d f q ( ( A q ) ξ ( v ) ) + r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ ∇ v ⊥ ξ t ) = P γ ξ ∣ [ 0 , s ] cos ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ d f q ( v ) − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ d f q A q ξ ( v ) + r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ s ‖ ξ ‖ r ⋅ ∇ v ⊥ ξ t {:[=P_(gamma_(xi)∣[0,s])(cos((s||xi||)/(r))*df_(q)(v)-(r)/(||xi||)*sin((s||xi||)/(r))*df_(q)((A_(q))_(xi)(v)):}],[{:+(r)/(||xi||)*sin((s||xi||)/(r))*grad_(v)^(_|_)xi_(t))]:}\begin{aligned} =P_{\gamma_{\xi} \mid[0, s]} & \left(\cos \frac{s\|\xi\|}{r} \cdot d f_{q}(\boldsymbol{v})-\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{s\|\xi\|}{r} \cdot d f_{q}\left(\left(A_{q}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)\right. \\ & \left.+\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{s\|\xi\|}{r} \cdot \nabla_{\boldsymbol{v}}^{\perp} \xi_{t}\right) \end{aligned}=Pγξ∣[0,s](cos⁡s‖ξ‖r⋅dfq(v)−r‖ξ‖⋅sin⁡s‖ξ‖r⋅dfq((Aq)ξ(v))+r‖ξ‖⋅sin⁡s‖ξ‖r⋅∇v⊥ξt)
が導かれる. したがって, Y ( s 0 ) = 0 Y s 0 = 0 Y(s_(0))=0\boldsymbol{Y}\left(s_{0}\right)=\mathbf{0}Y(s0)=0 であることと
( A q ) ξ ( v ) = ‖ ξ ‖ r tan ⁡ s 0 ‖ ξ ‖ r ⋅ v , ∇ v v ξ t = 0 A q ξ ( v ) = ‖ ξ ‖ r tan ⁡ s 0 ‖ ξ ‖ r ⋅ v , ∇ v v ξ t = 0 (A_(q))_(xi)(v)=(||xi||)/(r tan((s_(0)||xi||)/(r)))*v,quad gradv^(v)xi_(t)=0\left(A_{q}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})=\frac{\|\xi\|}{r \tan \frac{s_{0}\|\xi\|}{r}} \cdot \boldsymbol{v}, \quad \nabla \stackrel{v}{v} \xi_{t}=\mathbf{0}(Aq)ξ(v)=‖ξ‖rtan⁡s0‖ξ‖r⋅v,∇vvξt=0
が成り立つことは同値である。この事実から， γ ξ γ ξ gamma_(xi)\gamma_{\xi}γξ に沿う焦点の全体は，
{ γ ξ ( s 0 ) ∣ s 0 ∈ R s.t. ‖ ξ ‖ r tan ⁡ s 0 ‖ ξ ‖ r ∈ Spec ( A q ) ξ } γ ξ s 0 ∣ s 0 ∈ R  s.t.  ‖ ξ ‖ r tan ⁡ s 0 ‖ ξ ‖ r ∈ Spec A q ξ {gamma_(xi)(s_(0))∣s_(0)inR" s.t. "(||xi||)/(r tan((s_(0)||xi||)/(r)))in Spec(A_(q))_(xi)}\left\{\gamma_{\xi}\left(s_{0}\right) \mid s_{0} \in \mathbb{R} \text { s.t. } \frac{\|\xi\|}{r \tan \frac{s_{0}\|\xi\|}{r}} \in \operatorname{Spec}\left(A_{q}\right)_{\xi}\right\}{γξ(s0)∣s0∈R s.t. ‖ξ‖rtan⁡s0‖ξ‖r∈Spec(Aq)ξ}
に等しくなることが導かれ, 命題の主張が示される.
以上 3 つの命題を用いて, 半径 r r rrr の球面内の向き付けられた偶数次元閉リ ーマン部分多様体に対する次のガウス・ボンネ型定理が示される.
定理 5.6.9（ガウス・ボンネ型定理）（M, g)を f f fff につてはめ込まれた ( S 2 n + k ( r ) , g S , r ) S 2 n + k ( r ) , g S , r (S^(2n+k)(r),g_(S,r))\left(S^{2 n+k}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(S2n+k(r),gS,r) 内の向き付けられた 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉リーマン部分多様体とす る. このとき, 次の積分公式が成り立つ：
∫ S ⊥ M ( ∫ 0 π r det ( cos ⁡ s r ⋅ id T π ( ∙ ) M − r sin ⁡ s r ( A π ( ∙ ) ) ∙ ) × r k − 1 s k − 1 sin k − 1 ⁡ s r d s ) ⋅ ( d V g S ) (5.6.18) = Vol ( S 2 n + k ( r ) ) χ ( M ) ∫ S ⊥ M   ∫ 0 π r   det cos ⁡ s r ⋅ id T π ( ∙ ) M − r sin ⁡ s r A π ( ∙ ) ∙ × r k − 1 s k − 1 sin k − 1 ⁡ s r d s ⋅ d V g S (5.6.18) = Vol S 2 n + k ( r ) χ ( M ) {:[int_(S^(_|_)M)(int_(0)^(pi r)det(cos((s)/(r))*id_(T_(pi(∙))M)-r sin((s)/(r))(A_(pi(∙)))∙):}],[{: xx(r^(k-1))/(s^(k-1))sin^(k-1)((s)/(r)ds))*(dV_(g_(S)))],[(5.6.18)=Vol(S^(2n+k)(r))chi(M)]:}\begin{align*} & \int_{S^{\perp} M}\left(\int_{0}^{\pi r} \operatorname{det}\left(\cos \frac{s}{r} \cdot \operatorname{id}_{T_{\pi(\bullet)} M}-r \sin \frac{s}{r}\left(A_{\pi(\bullet)}\right) \bullet\right)\right. \\ & \left.\times \frac{r^{k-1}}{s^{k-1}} \sin ^{k-1} \frac{s}{r} d s\right) \cdot\left(d V_{g_{S}}\right) \\ & =\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k}(r)\right) \chi(M) \tag{5.6.18} \end{align*}∫S⊥M(∫0πrdet(cos⁡sr⋅idTπ(∙)M−rsin⁡sr(Aπ(∙))∙)×rk−1sk−1sink−1⁡srds)⋅(dVgS)(5.6.18)=Vol(S2n+k(r))χ(M)
ここで, A A AAA は ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の形テンソル場を表し, Vol ( S 2 n + k ( r ) ) Vol S 2 n + k ( r ) Vol(S^(2n+k)(r))\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k}(r)\right)Vol(S2n+k(r)) は ( S 2 n + k ( r ) , g S , r ) S 2 n + k ( r ) , g S , r (S^(2n+k)(r),g_(S,r))\left(S^{2 n+k}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(S2n+k(r),gS,r) の体積を表す。
証明 B π r ⊥ ( M ) B π r ⊥ ( M ) quadB_(pi r)^(_|_)(M)\quad B_{\pi r}^{\perp}(M)Bπr⊥(M) を
B π r ⊥ ( M ) := ⨿ q ∈ M { ξ ∈ T q ⊥ M ∣ ‖ ξ ‖ < π r } B π r ⊥ ( M ) := ⨿ q ∈ M ξ ∈ T q ⊥ M ∣ ‖ ξ ‖ < π r B_(pi r)^(_|_)(M):=⨿_(q in M){xi inT_(q)^(_|_)M∣||xi|| < pi r}B_{\pi r}^{\perp}(M):=\underset{q \in M}{\amalg}\left\{\xi \in T_{q}^{\perp} M \mid\|\xi\|<\pi r\right\}Bπr⊥(M):=⨿q∈M{ξ∈Tq⊥M∣‖ξ‖<πr}
によって定義する。以下, 簡単のため B := B π r ⊥ ( M ) B := B π r ⊥ ( M ) B:=B_(pi r)^(_|_)(M)B:=B_{\pi r}^{\perp}(M)B:=Bπr⊥(M) とおく. ∫ B ( exp ⊥ ) ∗ d V g s , r ∫ B   exp ⊥ ∗ d V g s , r int_(B)(exp^(_|_))^(**)dV_(g_(s,r))\int_{B}\left(\exp ^{\perp}\right)^{*} d V_{g_{\mathrm{s}, r}}∫B(exp⊥)∗dVgs,r を 2 通りの方法で計算しよう。 B B BBB は次のように記述することができる：
B = { s ξ ∣ 0 ≤ s < π r , ξ ∈ S ⊥ M } B = s ξ ∣ 0 ≤ s < π r , ξ ∈ S ⊥ M B={s xi∣0 <= s < pi r,quad xi inS^(_|_)M}B=\left\{s \xi \mid 0 \leq s<\pi r, \quad \xi \in S^{\perp} M\right\}B={sξ∣0≤s<πr,ξ∈S⊥M}
この記述に基づき, 命題 5.6.6 の（iii）を用いて, ∫ B ( exp ⊥ ) ∗ d V g s , r ∫ B   exp ⊥ ∗ d V g s , r int_(B)(exp^(_|_))^(**)dV_(g_(s,r))\int_{B}\left(\exp ^{\perp}\right)^{*} d V_{g_{\mathrm{s}, r}}∫B(exp⊥)∗dVgs,r を計算する ことにより,
∫ B ( exp ⊥ ) ∗ d V g s , r (5.6.19) = ∫ ξ ∈ S ⊥ M ( ∫ 0 π r det ( cos ⁡ s r ⋅ id T π ( ξ ) M − r sin ⁡ s r ⋅ ( A π ( ξ ) ) ξ ) × r k − 1 s k − 1 ⋅ sin k − 1 ⁡ s r d s ) ⋅ ( d V g S ) ξ ∫ B   exp ⊥ ∗ d V g s , r (5.6.19) = ∫ ξ ∈ S ⊥ M   ∫ 0 π r   det cos ⁡ s r ⋅ id T π ( ξ ) M − r sin ⁡ s r ⋅ A π ( ξ ) ξ × r k − 1 s k − 1 ⋅ sin k − 1 ⁡ s r d s ⋅ d V g S ξ {:[int_(B)(exp^(_|_))^(**)dV_(g_(s,r))],[(5.6.19)=int_(xi inS^(_|_)M)(int_(0)^(pi r)det(cos((s)/(r))*id_(T_(pi(xi))M)-r sin((s)/(r))*(A_(pi(xi)))_(xi)):}],[xx{:(r^(k-1))/(s^(k-1))*sin^(k-1)((s)/(r)ds))*(dV_(g_(S)))_(xi)]:}\begin{align*} & \int_{B}\left(\exp ^{\perp}\right)^{*} d V_{g_{\mathrm{s}, r}} \\ = & \int_{\xi \in S^{\perp} M}\left(\int_{0}^{\pi r} \operatorname{det}\left(\cos \frac{s}{r} \cdot \operatorname{id}_{T_{\pi(\xi)} M}-r \sin \frac{s}{r} \cdot\left(A_{\pi(\xi)}\right)_{\xi}\right)\right. \tag{5.6.19}\\ \times & \left.\frac{r^{k-1}}{s^{k-1}} \cdot \sin ^{k-1} \frac{s}{r} d s\right) \cdot\left(d V_{g_{S}}\right)_{\xi} \end{align*}∫B(exp⊥)∗dVgs,r(5.6.19)=∫ξ∈S⊥M(∫0πrdet(cos⁡sr⋅idTπ(ξ)M−rsin⁡sr⋅(Aπ(ξ))ξ)×rk−1sk−1⋅sink−1⁡srds)⋅(dVgS)ξ
をえる. もう 1 つの方法で計算するための準備をしよう. 閉リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の焦点の全体を F M F M F_(M)\mathcal{F}_{M}FM と表す。 F M F M F_(M)\mathcal{F}_{M}FM は, exp ⊥ exp ⊥ exp^(_|_)\exp ^{\perp}exp⊥ の臨界値の全体なの で, サードの定理（定理 3.5.1）により, S 2 n + k ( r ) S 2 n + k ( r ) S^(2n+k)(r)S^{2 n+k}(r)S2n+k(r) の測度 0 の集合である. p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ ( C M ∪ F M ) p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ C M ∪ F M p inS^(2n+k)(r)\\(C_(M)uuF_(M))\boldsymbol{p} \in S^{2 n+k}(r) \backslash\left(C_{M} \cup \mathcal{F}_{M}\right)p∈S2n+k(r)∖(CM∪FM) とする。命題 5.6.7と命題 5.6.8 を用いて, d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 がモース関数であることが示される。 d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の臨界点の個数を β ( d p 2 ) β d p 2 beta(d_(p)^(2))\beta\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)β(dp2) と表し, d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の指数が偶数の臨界点の個数, および, 指数が奇数の臨界点の個数を各々, β even ( d p 2 ) , β odd ( d p 2 ) β even  d p 2 , β odd  d p 2 beta_("even ")(d_(p)^(2)),beta_("odd ")(d_(p)^(2))\beta_{\text {even }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right), \beta_{\text {odd }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)βeven (dp2),βodd (dp2) と表す. 5.3 節のモース理論で述べた定理 5.3 .8 によれば,
(5.6.20) β even ( d p 2 ) − β odd ( d p 2 ) = χ ( M ) (5.6.20) β even  d p 2 − β odd d p 2 = χ ( M ) {:(5.6.20)beta_("even ")(d_(p)^(2))-beta_(odd)(d_(p)^(2))=chi(M):}\begin{equation*} \beta_{\text {even }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)-\beta_{\mathrm{odd}}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)=\chi(M) \tag{5.6.20} \end{equation*}(5.6.20)βeven (dp2)−βodd(dp2)=χ(M)
が成り立つ. また, ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) 土を各々, exp ⊥ B − 1 ( p ) 土を各々,  (exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_("土を各々, ")\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{\text {土を各々, }}(exp⊥|B)−1(p)土を各々,  を的
( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) + := { ξ ∈ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) ∣ ( d exp ⊥ ) ξ : 向きを保つ } ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) − := { ξ ∈ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) ∣ ( d exp ⊥ ) ξ : 向きを逆にする } exp ⊥ B − 1 ( p ) + := ξ ∈ exp ⊥ B − 1 ( p ) ∣ d exp ⊥ ξ :  向きを保つ  exp ⊥ B − 1 ( p ) − := ξ ∈ exp ⊥ B − 1 ( p ) ∣ d exp ⊥ ξ :  向きを逆にする  {:[(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_(+):={xi in(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)∣(dexp^(_|_))_(xi):" 向きを保つ "}],[(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_(-):={xi in(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)∣(dexp^(_|_))_(xi):" 向きを逆にする "}]:}\begin{aligned} & \left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{+}:=\left\{\xi \in\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p}) \mid\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}: \text { 向きを保つ }\right\} \\ & \left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{-}:=\left\{\xi \in\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p}) \mid\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}: \text { 向きを逆にする }\right\} \end{aligned}(exp⊥|B)−1(p)+:={ξ∈(exp⊥|B)−1(p)∣(dexp⊥)ξ: 向きを保つ }(exp⊥|B)−1(p)−:={ξ∈(exp⊥|B)−1(p)∣(dexp⊥)ξ: 向きを逆にする }
によって定義する。命題5.6.7の（i)によれば, β ( d p 2 ) = ♯ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) β d p 2 = ♯ exp ⊥ B − 1 ( p ) beta(d_(p)^(2))=♯(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)\beta\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)=\sharp\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})β(dp2)=♯(exp⊥|B)−1(p) が 成り立つ. ξ ∈ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) ξ ∈ exp ⊥ B − 1 ( p ) xi in(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)\xi \in\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})ξ∈(exp⊥|B)−1(p) とし, q := π ( ξ ) q := π ( ξ ) q:=pi(xi)q:=\pi(\xi)q:=π(ξ) とする.このとき, ξ = ξ = xi=\xi=ξ= - γ q ′ ( 1 ) γ q ′ ( 1 ) gamma_(q)^(')(1)\gamma_{q}^{\prime}(1)γq′(1) が成り立つ. 命題 5.6.6の (iii)によれば, ( d exp ⊥ ) ξ d exp ⊥ ξ (dexp^(_|_))_(xi)\left(d \exp ^{\perp}\right)_{\xi}(dexp⊥)ξ が向きを保つ （resp. 向きを逆にする）ことと
(5.6.21) det ( cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ id T q M − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ ( A q ) ξ ) > 0 ( resp. < 0 ) (5.6.21) det cos ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ id T q M − r ‖ ξ ‖ ⋅ sin ⁡ ‖ ξ ‖ r ⋅ A q ξ > 0 (  resp.  < 0 ) {:(5.6.21)det(cos((||xi||)/(r))*id_(T_(q)M)-(r)/(||xi||)*sin((||xi||)/(r))*(A_(q))_(xi)) > 0quad(" resp. " < 0):}\begin{equation*} \operatorname{det}\left(\cos \frac{\|\xi\|}{r} \cdot \operatorname{id}_{T_{q} M}-\frac{r}{\|\xi\|} \cdot \sin \frac{\|\xi\|}{r} \cdot\left(A_{q}\right)_{\xi}\right)>0 \quad(\text { resp. }<0) \tag{5.6.21} \end{equation*}(5.6.21)det(cos⁡‖ξ‖r⋅idTqM−r‖ξ‖⋅sin⁡‖ξ‖r⋅(Aq)ξ)>0( resp. <0)
が成り立つことは同値である。一方, 命題5.6.7の (ii)によれば, d p 2 d p 2 d_(p)^(2)d_{\boldsymbol{p}}^{2}dp2 の臨界点 q q qqq の指数が偶数（resp. 奇数）であることと式 (5.6.21) が成り立つことは同
値である.
(5.6.22) ♯ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) + = β even ( d p 2 ) , ♯ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) − = β odd ( d p 2 ) (5.6.22) ♯ exp ⊥ B − 1 ( p ) + = β even  d p 2 , ♯ exp ⊥ B − 1 ( p ) − = β odd  d p 2 {:(5.6.22)♯(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_(+)=beta_("even ")(d_(p)^(2))","quad♯(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_(-)=beta_("odd ")(d_(p)^(2)):}\begin{equation*} \sharp\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{+}=\beta_{\text {even }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right), \quad \sharp\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{-}=\beta_{\text {odd }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right) \tag{5.6.22} \end{equation*}(5.6.22)♯(exp⊥|B)−1(p)+=βeven (dp2),♯(exp⊥|B)−1(p)−=βodd (dp2)
が示される。命題 5.6.6の (iii), 式 (5.6.20) と式 (5.6.22) を用いて,
∫ B ( exp ⊥ ) ∗ d V g S , r = ∫ B ∖ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( C M ∪ F M ) ( exp ⊥ ) ∗ d V g S , r = ∫ p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ ( C M ∪ F M ) ( ♯ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) + − ♯ ( exp ⊥ | B ) − 1 ( p ) − ) ( d V S , r ) p = ∫ p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ ( C M ∪ F M ) ( β even ( d p 2 ) − β odd ( d p 2 ) ) ( d V S , r ) p (5.6.23) = χ ( M ) ⋅ Vol ( S 2 n + k ( r ) ) ∫ B   exp ⊥ ∗ d V g S , r = ∫ B ∖ exp ⊥ B − 1 C M ∪ F M   exp ⊥ ∗ d V g S , r = ∫ p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ C M ∪ F M   ♯ exp ⊥ B − 1 ( p ) + − ♯ exp ⊥ B − 1 ( p ) − d V S , r p = ∫ p ∈ S 2 n + k ( r ) ∖ C M ∪ F M   β even  d p 2 − β odd  d p 2 d V S , r p (5.6.23) = χ ( M ) ⋅ Vol S 2 n + k ( r ) {:[int_(B)(exp^(_|_))^(**)dV_(g_(S,r))=int_(B\\(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(C_(M)uuF_(M)))(exp^(_|_))^(**)dV_(g_(S,r))],[=int_(p inS^(2n+k)(r)\\(C_(M)uuF_(M)))(♯(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_(+)-♯(exp^(_|_)|_(B))^(-1)(p)_(-))(dV_(S,r))_(p)],[=int_(p inS^(2n+k)(r)\\(C_(M)uuF_(M)))(beta_("even ")(d_(p)^(2))-beta_("odd ")(d_(p)^(2)))(dV_(S,r))_(p)],[(5.6.23)=chi(M)*Vol(S^(2n+k)(r))]:}\begin{align*} & \int_{B}\left(\exp ^{\perp}\right)^{*} d V_{g_{\mathrm{S}, r}}=\int_{B \backslash\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}\left(C_{M} \cup \mathcal{F}_{M}\right)}\left(\exp ^{\perp}\right)^{*} d V_{g_{\mathrm{S}, r}} \\ = & \int_{\boldsymbol{p} \in S^{2 n+k}(r) \backslash\left(C_{M} \cup \mathcal{F}_{M}\right)}\left(\sharp\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{+}-\sharp\left(\left.\exp ^{\perp}\right|_{B}\right)^{-1}(\boldsymbol{p})_{-}\right)\left(d V_{\mathbb{S}, r}\right)_{\boldsymbol{p}} \\ = & \int_{\boldsymbol{p} \in S^{2 n+k}(r) \backslash\left(C_{M} \cup \mathcal{F}_{M}\right)}\left(\beta_{\text {even }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)-\beta_{\text {odd }}\left(d_{\boldsymbol{p}}^{2}\right)\right)\left(d V_{\mathbb{S}, r}\right)_{\boldsymbol{p}} \\ = & \chi(M) \cdot \operatorname{Vol}\left(S^{2 n+k}(r)\right) \tag{5.6.23} \end{align*}∫B(exp⊥)∗dVgS,r=∫B∖(exp⊥|B)−1(CM∪FM)(exp⊥)∗dVgS,r=∫p∈S2n+k(r)∖(CM∪FM)(♯(exp⊥|B)−1(p)+−♯(exp⊥|B)−1(p)−)(dVS,r)p=∫p∈S2n+k(r)∖(CM∪FM)(βeven (dp2)−βodd (dp2))(dVS,r)p(5.6.23)=χ(M)⋅Vol(S2n+k(r))
をえる。式 (5.6.19) と式 (5.6.23) から, 主張における積分公式が導かれる。
注意（i）上述の積分公式 (5.6.18)は, [Is] で示された積分公式の1つとみかけ 上は全く別の式であるが, 実際に計算するとその式と一致することがわかる.
(ii) ユークリッド空間, 球面以外のリーマン多様体内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型の定理については, [Ko1], [Ko2] 等を参照の こと. これらの論文では, より一般に, リーマン対称空間とよばれるリーマン 多様体内のはめ込まれた偶数次元閉リーマン部分多様体 M M MMM に対して, 同様の 積分公式が成り立つことが示されている。ここで, リーマン対称空間とは, 各点を基点として点対称性をもつリーマン多様体であり，ユークリッド空間，球面, 双曲空間等を基本的な例としてもつものである. 上述の法指数写像と 2 乗距離関数を用いた証明法は, [Ko1], [Ko2] における証明法に基づいている.
特に, 球面内の偶数次元閉リーマン超曲面の場合に, 次のガウス・ボンネの定理をえる。
定理 5.6.10（ガウス・ボンネの定理）（M,g)を f f fff によってはめ込まれた ( S 2 n + 1 ( r ) , g S , r ) S 2 n + 1 ( r ) , g S , r (S^(2n+1)(r),g_(S,r))\left(S^{2 n+1}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(S2n+1(r),gS,r) 内の向き付けられた 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉リーマン超曲面とする. このとき, 次の積分公式が成り立つ：
∫ M ( ∫ 0 π r ( det ( cos ⁡ s r ⋅ id T ⋅ M + r sin ⁡ s r ⋅ A ) + det ( cos ⁡ s r ⋅ id T ⋅ M − r sin ⁡ s r ⋅ A ) ) d s ) d V g = Vol ( S 2 n + 1 ( r ) ) χ ( M ) ∫ M   ∫ 0 π r   det cos ⁡ s r ⋅ id T ⋅ M + r sin ⁡ s r ⋅ A + det cos ⁡ s r ⋅ id T ⋅ M − r sin ⁡ s r ⋅ A d s d V g = Vol S 2 n + 1 ( r ) χ ( M ) {:[int_(M)(int_(0)^(pi r)(det(cos((s)/(r))*id_(T*M)+r sin((s)/(r))*A):}],[{: quad+det(cos((s)/(r))*id_(T*M)-r sin((s)/(r))*A))ds)dV_(g)],[=Vol(S^(2n+1)(r))chi(M)]:}\begin{aligned} & \int_{M}\left(\int _ { 0 } ^ { \pi r } \left(\operatorname{det}\left(\cos \frac{s}{r} \cdot \operatorname{id}_{T \cdot M}+r \sin \frac{s}{r} \cdot \mathcal{A}\right)\right.\right. \\ &\left.\left.\quad+\operatorname{det}\left(\cos \frac{s}{r} \cdot \operatorname{id}_{T \cdot M}-r \sin \frac{s}{r} \cdot \mathcal{A}\right)\right) d s\right) d V_{g} \\ &=\operatorname{Vol}\left(S^{2 n+1}(r)\right) \chi(M) \end{aligned}∫M(∫0πr(det(cos⁡sr⋅idT⋅M+rsin⁡sr⋅A)+det(cos⁡sr⋅idT⋅M−rsin⁡sr⋅A))ds)dVg=Vol(S2n+1(r))χ(M)
ここで, A A A\mathcal{A}A は ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の（向きを定める）単位法ベクトル場 N N N\boldsymbol{N}N に対する形作用素 A N A N A_(N)A_{N}AN を表す。

6 特性類とガウス・ボンネの定理

CHAPTER
この章では最初に, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級主バンドルの接続, およびその曲率形式を定義 し，その後， C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級ベクトルバンドル，および C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級主バンドルの大域的切断 の存在性に対する障害を表す特性類（これはバンドルの底空間のコホモロジー 類として定められる）を定義する。最後に， C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級主バンドルの特性類をその 接続の曲率形式を用いて表示するチャーン・ヴェイユ理論を紹介し, 閉多様体 のオイラー標数を曲率形式を用いて積分表示する形のガウス・ボンネの定理を 導く.

6.1 リー群の無限小モデルとしてのリー代数

この節では, リー群の無限小モデルを与えるリー代数を定義し, この概念に 付随して定義される基本的概念，および基本的事実について述べる。この節に おける命題をはじめとする基本的事実の証明については, [Ko8]の 6.1 節を参照のこと.
以下, この節では r ≥ 1 r ≥ 1 r >= 1r \geq 1r≥1 とする. ( G i , ⋅ i , D i ) ( i = 1 , 2 ) G i , ⋅ i , D i ( i = 1 , 2 ) (G_(i),*_(i),D_(i))(i=1,2)\left(G_{i}, \cdot_{i}, \mathcal{D}_{i}\right)(i=1,2)(Gi,⋅i,Di)(i=1,2) を C r C r C^(r)C^{r}Cr リー群とし, f f fff を G 1 G 1 G_(1)G_{1}G1 から G 2 G 2 G_(2)G_{2}G2 への写像とする. f f fff が次の 2 条件を満たすとする：
(i) f : ( G 1 , ⋅ 1 ) → ( G 2 , ⋅ 2 ) f : G 1 , ⋅ 1 → G 2 , ⋅ 2 f:(G_(1),*1)rarr(G_(2),*2)f:\left(G_{1}, \cdot 1\right) \rightarrow\left(G_{2}, \cdot 2\right)f:(G1,⋅1)→(G2,⋅2) は群準同型写像である；
(ii) f : ( G 1 , D 1 ) → ( G 2 , D 2 ) f : G 1 , D 1 → G 2 , D 2 f:(G_(1),D_(1))rarr(G_(2),D_(2))f:\left(G_{1}, \mathcal{D}_{1}\right) \rightarrow\left(G_{2}, \mathcal{D}_{2}\right)f:(G1,D1)→(G2,D2) は C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像である.
このとき, f f fff を C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リー群準同型写像（ C r C r C^(r)C^{r}Cr-Lie group homomorphism） という。さらに, f f fff が全単射で, f , f − 1 f , f − 1 f,f^(-1)f, f^{-1}f,f−1 共に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リー群準同型写像である とき, f f fff を C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リー群同型写像（ C r − C r − C^(r)-C^{r}-Cr− Lie group isomorphism）という.以下, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リー群 ( G , ⋅ , D ) ( G , ⋅ , D ) (G,*,D)(G, \cdot, \mathcal{D})(G,⋅,D) を G G GGG と略記する. g 0 ∈ G g 0 ∈ G g_(0)in Gg_{0} \in Gg0∈G に対し, G G GGG からそれ自身への写像 L g 0 , R g 0 , I g 0 L g 0 , R g 0 , I g 0 L_(g_(0)),R_(g_(0)),I_(g_(0))L_{g_{0}}, R_{g_{0}}, I_{g_{0}}Lg0,Rg0,Ig0 を各々,
L g 0 ( g ) := g 0 ⋅ g , R g 0 ( g ) := g ⋅ g 0 , I g 0 := g 0 ⋅ g ⋅ g 0 − 1 ( g ∈ G ) L g 0 ( g ) := g 0 ⋅ g , R g 0 ( g ) := g ⋅ g 0 , I g 0 := g 0 ⋅ g ⋅ g 0 − 1 ( g ∈ G ) L_(g_(0))(g):=g_(0)*g,quadR_(g_(0))(g):=g*g_(0),quadI_(g_(0)):=g_(0)*g*g_(0)^(-1)quad(g in G)L_{g_{0}}(g):=g_{0} \cdot g, \quad R_{g_{0}}(g):=g \cdot g_{0}, \quad I_{g_{0}}:=g_{0} \cdot g \cdot g_{0}^{-1} \quad(g \in G)Lg0(g):=g0⋅g,Rg0(g):=g⋅g0,Ig0:=g0⋅g⋅g0−1(g∈G)
によって定義する. L g 0 , R g 0 , I g 0 L g 0 , R g 0 , I g 0 L_(g_(0)),R_(g_(0)),I_(g_(0))L_{g_{0}}, R_{g_{0}}, I_{g_{0}}Lg0,Rg0,Ig0 は各々, g 0 g 0 g_(0)g_{0}g0 による左移動（left translation), 右移動（right translation）, 内部自己同型写像 (inner automorphism）とよばれる。 L g 0 , R g 0 , I g 0 L g 0 , R g 0 , I g 0 L_(g_(0)),R_(g_(0)),I_(g_(0))L_{g_{0}}, R_{g_{0}}, I_{g_{0}}Lg0,Rg0,Ig0 は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級リー群同型写像であり, L g 0 − 1 = L g 0 − 1 = L_(g_(0))^(-1)=L_{g_{0}}^{-1}=Lg0−1= L g 0 − 1 , R g 0 − 1 = R g 0 − 1 , I g 0 − 1 = I g 0 − 1 L g 0 − 1 , R g 0 − 1 = R g 0 − 1 , I g 0 − 1 = I g 0 − 1 L_(g_(0)^(-1)),R_(g_(0))^(-1)=R_(g_(0)^(-1)),I_(g_(0))^(-1)=I_(g_(0)^(-1))L_{g_{0}^{-1}}, R_{g_{0}}^{-1}=R_{g_{0}^{-1}}, I_{g_{0}}^{-1}=I_{g_{0}^{-1}}Lg0−1,Rg0−1=Rg0−1,Ig0−1=Ig0−1 が成り立つ.
次に, リー代数を定義しよう. g g g\mathfrak{g}g を実べクトル空間とし, [ ] : , g × g → g [ ] : , g × g → g []:,gxxgrarrg[]:, \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}[]:,g×g→g を双線形写像で次の条件を满たすようなものとする：
(i) [ v 1 , v 2 ] = − [ v 2 , v 1 ] ; v 1 , v 2 = − v 2 , v 1 ; [v_(1),v_(2)]=-[v_(2),v_(1)];quad\left[\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right]=-\left[\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{1}\right] ; \quad[v1,v2]=−[v2,v1]; (ii) [ [ v 1 , v 2 ] , v 3 ] + [ [ v 2 , v 3 ] , v 1 ] + [ [ v 3 , v 1 ] , v 2 ] = 0 v 1 , v 2 , v 3 + v 2 , v 3 , v 1 + v 3 , v 1 , v 2 = 0 [[v_(1),v_(2)],v_(3)]+[[v_(2),v_(3)],v_(1)]+[[v_(3),v_(1)],v_(2)]=0\left[\left[\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right], \boldsymbol{v}_{3}\right]+\left[\left[\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right], \boldsymbol{v}_{1}\right]+\left[\left[\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{1}\right], \boldsymbol{v}_{2}\right]=0[[v1,v2],v3]+[[v2,v3],v1]+[[v3,v1],v2]=0.
( v 1 , v 2 , v 3 ∈ g ) v 1 , v 2 , v 3 ∈ g (v_(1),v_(2),v_(3)ing)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3} \in \mathfrak{g}\right)(v1,v2,v3∈g). このとき, 組 ( g , [ ] ( g , [ ] (g,[](\mathfrak{g},[](g,[], ) を リ ー 代 数 （ L i e a l g e b r a ） と い う . ) を リ ー 代 数 （ L i e a l g e b r a ） と い う . )をリー代数（Liealgebra）という.) をリー代数（Lie algebra）という.)をリー代数（Liealgebra）という. [ v 1 , v 2 ] v 1 , v 2 [v_(1),v_(2)]\left[\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right][v1,v2] は, v 1 v 1 v_(1)\boldsymbol{v}_{1}v1 と v 2 v 2 v_(2)\boldsymbol{v}_{2}v2 のブラケット積（bracket product）とよばれる.リ 一代数 ( g 1 , [ , ] 1 ) g 1 , [ , ] 1 (g_(1),[,]_(1))\left(\mathfrak{g}_{1},[,]_{1}\right)(g1,[,]1) からリー代数 ( g 2 [ , ] 2 ) g 2 [ , ] 2 (g_(2)[,]_(2))\left(\mathfrak{g}_{2}[,]_{2}\right)(g2[,]2) への線形写像 f f fff は, f ( [ v 1 , v 2 ] 1 ) = f v 1 , v 2 1 = f([v_(1),v_(2)]_(1))=f\left(\left[\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right]_{1}\right)=f([v1,v2]1)= [ f ( v 1 ) , f ( v 2 ) ] 2 ( v 1 , v 2 ∈ g 1 ) f v 1 , f v 2 2 v 1 , v 2 ∈ g 1 [f(v_(1)),f(v_(2))]_(2)(v_(1),v_(2)ing_(1))\left[f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right)\right]_{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in \mathfrak{g}_{1}\right)[f(v1),f(v2)]2(v1,v2∈g1) を满たすとき, リー代数準同型写像（Lie algebra homomorphism) とよばれ, 特に, 全単射であるとき, リー代数同型写像（Lie algebra isomorphism）とよばれる。
以下，リー代数はすべて実リー代数とする。 G G GGG を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級リー群とする。 G G GGG の無限小モデルとして定義されるリー代数を定義しよう. G G GGG の単位元 e e eee にお ける接空間 T e G T e G T_(e)GT_{e} GTeG の元 v v v\boldsymbol{v}v に対し, G G GGG 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ ベクトル場 X v X v X^(v)\boldsymbol{X}^{\boldsymbol{v}}Xv を
( X v ) g := ( d L g ) e ( v ) ( g ∈ G ) X v g := d L g e ( v ) ( g ∈ G ) (X^(v))_(g):=(dL_(g))_(e)(v)quad(g in G)\left(\boldsymbol{X}^{\boldsymbol{v}}\right)_{g}:=\left(d L_{g}\right)_{e}(\boldsymbol{v}) \quad(g \in G)(Xv)g:=(dLg)e(v)(g∈G)
によって定義する. この C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ ベクトル場 X v X v X^(v)\boldsymbol{X}^{v}Xv を, v v v\boldsymbol{v}v から定まる左不変ベクト 儿場（left-invariant vector field）という。写像 [ ] : , T e G × T e G → T e G [ ] : , T e G × T e G → T e G []:,T_(e)G xxT_(e)G rarrT_(e)G[]:, T_{e} G \times T_{e} G \rightarrow T_{e} G[]:,TeG×TeG→TeG を次のように定義する：
[ v 1 , v 2 ] := [ X v 1 , X v 2 ] e ( v 1 , v 2 ∈ g ) v 1 , v 2 := X v 1 , X v 2 e v 1 , v 2 ∈ g [v_(1),v_(2)]:=[X^(v_(1)),X^(v_(2))]_(e)quad(v_(1),v_(2)ing)\left[\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right]:=\left[\boldsymbol{X}^{\boldsymbol{v}_{1}}, \boldsymbol{X}^{\boldsymbol{v}_{2}}\right]_{e} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in \mathfrak{g}\right)[v1,v2]:=[Xv1,Xv2]e(v1,v2∈g)
ここで [ X v 1 , X v 2 ] X v 1 , X v 2 [X^(v_(1)),X^(v_(2))]\left[\boldsymbol{X}^{v_{1}}, \boldsymbol{X}^{v_{2}}\right][Xv1,Xv2] は, ベクトル場同士のブラケット積（3.7節を参照）を表 す. このとき, 次の事実が成り立つ.
命題 6.1.1 ( T e G , [ ] , ) T e G , [ ] , (T_(e)G,[],)\left(T_{e} G,[],\right)(TeG,[],) はリー代数になる.
このリー代数 ( T e G , [ ] , ) T e G , [ ] , (T_(e)G,[],)\left(T_{e} G,[],\right)(TeG,[],) を G G GGG のリー代数といい, Lie G Lie G Lie G\operatorname{Lie} GLieG と表す. ここでは
簡単のため, g g g\mathfrak{g}g と表す. リー群 G G GGG が連結である場合, G G GGG 全体の構造は g g g\mathfrak{g}g の構造によって支配されることが示される。実際, その場合, g g g\mathfrak{g}g から G G GGG を再構成 することができる。その再構成の方法については，次節を参照のこと．この事実から, Lie G Lie G Lie G\operatorname{Lie} GLieG は G G GGG の無限小モデルと解釈される. { ϕ t v ∣ t ∈ I } ϕ t v ∣ t ∈ I {phi_(t)^(v)∣t in I}\left\{\phi_{t}^{v} \mid t \in I\right\}{ϕtv∣t∈I} を左不変ベク トル場 X v X v X^(v)\boldsymbol{X}^{\boldsymbol{v}}Xv に付随する局所 1 パラメーター変換群とし， t ↦ ϕ t v ( e ) t ↦ ϕ t v ( e ) t|->phi_(t)^(v)(e)t \mapsto \phi_{t}^{v}(e)t↦ϕtv(e) の定義域 を I e I e I_(e)I_{e}Ie と表す. g v : I e → G g v : I e → G g_(v):I_(e)rarr Gg_{v}: I_{e} \rightarrow Ggv:Ie→G を g v ( t ) := ϕ t v ( e ) ( t ∈ I e ) g v ( t ) := ϕ t v ( e ) t ∈ I e g_(v)(t):=phi_(t)^(v)(e)(t inI_(e))g_{v}(t):=\phi_{t}^{\boldsymbol{v}}(e)\left(t \in I_{e}\right)gv(t):=ϕtv(e)(t∈Ie) で定める. このとき,次の事実が成り立つ.
命題 6.1.2 (i) ϕ t v = R g v ( t ) ( t ∈ I e ) ϕ t v = R g v ( t ) t ∈ I e phi_(t)^(v)=R_(g_(v)(t))(t inI_(e))\phi_{t}^{v}=R_{g_{v}(t)}\left(t \in I_{e}\right)ϕtv=Rgv(t)(t∈Ie) が成り立つ;
(ii) { g v ( t ) ∣ t ∈ I e } g v ( t ) ∣ t ∈ I e {g_(v)(t)∣t inI_(e)}\left\{g_{\boldsymbol{v}}(t) \mid t \in I_{e}\right\}{gv(t)∣t∈Ie} は, 1 パラメーター部分群である（つまり g v ( t 1 ) g v t 1 g_(v)(t_(1))g_{\boldsymbol{v}}\left(t_{1}\right)gv(t1). g v ( t 2 ) = g v ( t 1 + t 2 ) ( ∀ t 1 , t 2 ∈ I e ) ) g v t 2 = g v t 1 + t 2 ∀ t 1 , t 2 ∈ I e {:g_(v)(t_(2))=g_(v)(t_(1)+t_(2))(AAt_(1),t_(2)inI_(e)))\left.g_{\boldsymbol{v}}\left(t_{2}\right)=g_{\boldsymbol{v}}\left(t_{1}+t_{2}\right)\left(\forall t_{1}, t_{2} \in I_{e}\right)\right)gv(t2)=gv(t1+t2)(∀t1,t2∈Ie));
(iii) X v X v X^(v)\boldsymbol{X}^{v}Xv は完備である（つまり I e = R ） I e = R ） I_(e)=R）I_{e}=\mathbb{R} ）Ie=R）.
{ g v ( t ) ∣ t ∈ R } g v ( t ) ∣ t ∈ R {g_(v)(t)∣t inR}\left\{g_{\boldsymbol{v}}(t) \mid t \in \mathbb{R}\right\}{gv(t)∣t∈R} を v v v\boldsymbol{v}v に付随する 1 パラメーター部分群 (one-parameter subgroup）という。この 1 パラメーター部分群を用いて, 写像 exp G : T e G exp G : T e G exp_(G):T_(e)G\exp _{G}: T_{e} GexpG:TeG → G → G rarr G\rightarrow G→G を exp G ⁡ ( v ) := g v ( 1 ) ( v ∈ T e G ) exp G ⁡ ( v ) := g v ( 1 ) v ∈ T e G exp_(G)(v):=g_(v)(1)(v inT_(e)G)\exp _{G}(\boldsymbol{v}):=g_{\boldsymbol{v}}(1)\left(\boldsymbol{v} \in T_{e} G\right)expG⁡(v):=gv(1)(v∈TeG) によって定義する。 この写像 exp G exp G exp_(G)\exp _{G}expG をリ 一群 G G GGG の指数写像という.
命題 6.1.3 0 e 0 e 0_(e)\mathbf{0}_{e}0e の T e G T e G T_(e)GT_{e} GTeG におけるある開近傍 W W WWW に対し, exp G | W exp G W exp_(G)|_(W)\left.\exp _{G}\right|_{W}expG|W は G G GGG のあ る開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になる。ここで 0 e 0 e 0_(e)\mathbf{0}_{e}0e は T e G T e G T_(e)GT_{e} GTeG の零べクトルを表す.
この事実は, exp G exp G exp_(G)\exp _{G}expG の e e eee における微分 ( d exp G ) e d exp G e (dexp_(G))_(e)\left(d \exp _{G}\right)_{e}(dexpG)e が線形同型写像であること を示し，逆関数定理（定理 3.6.1）を用いることにより示される。 g G g G g_(G)\mathrm{g}_{G}gG を G G GGG の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン計量とする。 任意の g ∈ G g ∈ G g in Gg \in Gg∈G に対し, L g ∗ g G = g G , R g ∗ g G = g G L g ∗ g G = g G , R g ∗ g G = g G L_(g)^(**)g_(G)=g_(G),quadR_(g)^(**)g_(G)=g_(G)L_{g}^{*} \mathbf{g}_{G}=\mathbf{g}_{G}, \quad R_{g}^{*} \mathbf{g}_{G}=\mathbf{g}_{G}Lg∗gG=gG,Rg∗gG=gG が成り立つとき, g G g G g_(G)\mathrm{g}_{G}gG を G G GGG 両側不変なリーマン計量（bi-invariant Riemannian metric) という. このとき, リーマン多様体 ( G , g G ) G , g G (G,g_(G))\left(G, \mathbf{g}_{G}\right)(G,gG) のeに おける指数写像 exp e exp e exp_(e)\exp _{e}expe と上述のリー群 G G GGG の指数写像 exp G exp G exp_(G)\exp _{G}expG は一致することが示 される.
次に, リー群，および，そのリー代数の例をいくつか紹介することにする.
例 6.1.1 5.4 節で述べたように, n n nnn 次一般線形群 G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) は, C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω リー群で ある.このリー群のリー代数と指数写像を求めてみよう. 5.4 節で述べたよ うに, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) はベクトル空間 g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) の開集合なので, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) の単位
元 E n E n E_(n)E_{n}En （これは n n nnn 次単位行列）における接空間 T E n G L ( n , R ) T E n G L ( n , R ) T_(E_(n))GL(n,R)T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})TEnGL(n,R) は g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) と同一視される. A ∈ T E n G L ( n , R ) ( = g l ( n , R ) ) A ∈ T E n G L ( n , R ) ( = g l ( n , R ) ) A inT_(E_(n))GL(n,R)(=gl(n,R))A \in T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})(=\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}))A∈TEnGL(n,R)(=gl(n,R)) に対し, exp ^ A exp ^ A widehat(exp)A\widehat{\exp } Aexp^A を
(6.1.1) exp ^ A := ∑ k = 0 ∞ A k k ! (6.1.1) exp ^ A := ∑ k = 0 ∞   A k k ! {:(6.1.1) widehat(exp)A:=sum_(k=0)^(oo)(A^(k))/(k!):}\begin{equation*} \widehat{\exp } A:=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} \tag{6.1.1} \end{equation*}(6.1.1)exp^A:=∑k=0∞Akk!
により定める。右辺の級数が収束することを示しておこう。 B l := ∑ k = 0 l A k k ! B l := ∑ k = 0 l   A k k ! B_(l):=sum_(k=0)^(l)(A^(k))/(k!)B_{l}:=\sum_{k=0}^{l} \frac{A^{k}}{k!}Bl:=∑k=0lAkk! と おき, A = ( a i j ) , B l = ( ( b l ) i j ) A = a i j , B l = b l i j A=(a_(ij)),B_(l)=((b_(l))_(ij))A=\left(a_{i j}\right), B_{l}=\left(\left(b_{l}\right)_{i j}\right)A=(aij),Bl=((bl)ij) とする。また, c := max 1 ≤ i , j ≤ n | a i j | c := max 1 ≤ i , j ≤ n   a i j c:=max_(1 <= i,j <= n)|a_(ij)|c:=\max _{1 \leq i, j \leq n}\left|a_{i j}\right|c:=max1≤i,j≤n|aij| とおく. こ のとき, l 1 ≥ l 2 l 1 ≥ l 2 l_(1) >= l_(2)l_{1} \geq l_{2}l1≥l2 として,
| ( b l 1 ) i j − ( b l 2 ) i j | ≤ ∑ k = l 2 l 1 ∑ i 2 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n 1 k ! ⋅ | a i i 2 a i 2 i 3 ⋯ a i k − 1 i k a i k j | ≤ ∑ k = l 2 l 1 n k − 1 c k k ! → 0 ( l 1 , l 2 → ∞ ) b l 1 i j − b l 2 i j ≤ ∑ k = l 2 l 1   ∑ i 2 = 1 n   ⋯ ∑ i k = 1 n   1 k ! ⋅ a i i 2 a i 2 i 3 ⋯ a i k − 1 i k a i k j ≤ ∑ k = l 2 l 1   n k − 1 c k k ! → 0 l 1 , l 2 → ∞ {:[|(b_(l_(1)))_(ij)-(b_(l_(2)))_(ij)| <= sum_(k=l_(2))^(l_(1))sum_(i_(2)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)(1)/(k!)*|a_(ii_(2))a_(i_(2)i_(3))cdotsa_(i_(k-1)i_(k))a_(i_(k)j)| <= sum_(k=l_(2))^(l_(1))(n^(k-1)c^(k))/(k!)rarr0],[(l_(1),l_(2)rarr oo)]:}\begin{array}{r} \left|\left(b_{l_{1}}\right)_{i j}-\left(b_{l_{2}}\right)_{i j}\right| \leq \sum_{k=l_{2}}^{l_{1}} \sum_{i_{2}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \frac{1}{k!} \cdot\left|a_{i i_{2}} a_{i_{2} i_{3}} \cdots a_{i_{k-1} i_{k}} a_{i_{k} j}\right| \leq \sum_{k=l_{2}}^{l_{1}} \frac{n^{k-1} c^{k}}{k!} \rightarrow 0 \\ \left(l_{1}, l_{2} \rightarrow \infty\right) \end{array}|(bl1)ij−(bl2)ij|≤∑k=l2l1∑i2=1n⋯∑ik=1n1k!⋅|aii2ai2i3⋯aik−1ikaikj|≤∑k=l2l1nk−1ckk!→0(l1,l2→∞)
となり, 数列 { ( b l ) i j } l = 1 ∞ b l i j l = 1 ∞ {(b_(l))_(ij)}_(l=1)^(oo)\left\{\left(b_{l}\right)_{i j}\right\}_{l=1}^{\infty}{(bl)ij}l=1∞ がコーシー列, つまり, 収束列であることがわかる. それゆえ, g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) における点列 { B l } l = 1 ∞ B l l = 1 ∞ {B_(l)}_(l=1)^(oo)\left\{B_{l}\right\}_{l=1}^{\infty}{Bl}l=1∞ が収束する, つまり, 式 (6.1.1)の 右辺の級数が収束することが示される.
c ( t ) := exp ^ t A c ( t ) := exp ^ t A c(t):= widehat(exp)tAc(t):=\widehat{\exp } t Ac(t):=exp^tA とおく. A A AAA に付随する左不変べクトル場 X A X A X^(A)\boldsymbol{X}^{A}XA は,
( X A ) B = ( d L B ) E n ( A ) = d d t | t = 0 L B ( E n + t A ) (6.1.2) = d d t | t = 0 ( B + t B A ) = B A ( B ∈ G L ( n , R ) ) X A B = d L B E n ( A ) = d d t t = 0 L B E n + t A (6.1.2) = d d t t = 0 ( B + t B A ) = B A ( B ∈ G L ( n , R ) ) {:[(X^(A))_(B)=(dL_(B))_(E_(n))(A)=(d)/(dt)|_(t=0)L_(B)(E_(n)+tA)],[(6.1.2)=(d)/(dt)|_(t=0)(B+tBA)=BA quad(B in GL(n","R))]:}\begin{align*} \left(\boldsymbol{X}^{A}\right)_{B} & =\left(d L_{B}\right)_{E_{n}}(A)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} L_{B}\left(E_{n}+t A\right) \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}(B+t B A)=B A \quad(B \in G L(n, \mathbb{R})) \tag{6.1.2} \end{align*}(XA)B=(dLB)En(A)=ddt|t=0LB(En+tA)(6.1.2)=ddt|t=0(B+tBA)=BA(B∈GL(n,R))
によって与えられる. それゆえ, ( X A ) c ( t ) = ( exp ^ t A ) A X A c ( t ) = ( exp ^ t A ) A (X^(A))_(c(t))=( widehat(exp)tA)A\left(\boldsymbol{X}^{A}\right)_{c(t)}=(\widehat{\exp } t A) A(XA)c(t)=(exp^tA)A をえる。一方,
c ′ ( t ) = ( ∑ k = 0 ∞ t k A k k ! ) ′ = ( exp ^ t A ) A c ′ ( t ) = ∑ k = 0 ∞   t k A k k ! ′ = ( exp ^ t A ) A c^(')(t)=(sum_(k=0)^(oo)(t^(k)A^(k))/(k!))^(')=( widehat(exp)tA)Ac^{\prime}(t)=\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k} A^{k}}{k!}\right)^{\prime}=(\widehat{\exp } t A) Ac′(t)=(∑k=0∞tkAkk!)′=(exp^tA)A
が示される。それゆえ， c ′ ( t ) = ( X A ) c ( t ) c ′ ( t ) = X A c ( t ) c^(')(t)=(X^(A))_(c(t))c^{\prime}(t)=\left(\boldsymbol{X}^{A}\right)_{c(t)}c′(t)=(XA)c(t) をえる。また， c ( 0 ) = E n c ( 0 ) = E n c(0)=E_(n)c(0)=E_{n}c(0)=En が成り立 つ. これらの事実から, c ( t ) = ϕ t A ( E n ) = g A ( t ) c ( t ) = ϕ t A E n = g A ( t ) c(t)=phi_(t)^(A)(E_(n))=g_(A)(t)c(t)=\phi_{t}^{A}\left(E_{n}\right)=g_{A}(t)c(t)=ϕtA(En)=gA(t) が導かれる. したがって,
(6.1.3) exp G L ( n , R ) ⁡ ( A ) = g A ( 1 ) = c ( 1 ) = exp ^ A (6.1.3) exp G L ( n , R ) ⁡ ( A ) = g A ( 1 ) = c ( 1 ) = exp ^ A {:(6.1.3)exp_(GL(n,R))(A)=g_(A)(1)=c(1)= widehat(exp)A:}\begin{equation*} \exp _{G L(n, \mathbb{R})}(A)=g_{A}(1)=c(1)=\widehat{\exp } A \tag{6.1.3} \end{equation*}(6.1.3)expGL(n,R)⁡(A)=gA(1)=c(1)=exp^A
をえる。また, 式(6.1.2)を用いて,
(6.1.4) [ A , B ] = [ X A , X B ] E n = d d t | t = 0 ( d R g A ( t ) ) E n − 1 ( ( X B ) g A ( t ) ) = d d t | t = 0 g A ( t ) B g A ( t ) − 1 = g A ′ ( 0 ) B − B g A ′ ( 0 ) = A B − B A (6.1.4) [ A , B ] = X A , X B E n = d d t t = 0 d R g A ( t ) E n − 1 X B g A ( t ) = d d t t = 0 g A ( t ) B g A ( t ) − 1 = g A ′ ( 0 ) B − B g A ′ ( 0 ) = A B − B A {:[(6.1.4)[A","B]=[X^(A),X^(B)]_(E_(n))=(d)/(dt)|_(t=0)(dR_(g_(A)(t)))_(E_(n))^(-1)((X^(B))_(g_(A)(t)))],[=(d)/(dt)|_(t=0)g_(A)(t)Bg_(A)(t)^(-1)=g_(A)^(')(0)B-Bg_(A)^(')(0)=AB-BA]:}\begin{align*} {[A, B] } & =\left[\boldsymbol{X}^{A}, \boldsymbol{X}^{B}\right]_{E_{n}}=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(d R_{g_{A}(t)}\right)_{E_{n}}^{-1}\left(\left(\boldsymbol{X}^{B}\right)_{g_{A}(t)}\right) \tag{6.1.4}\\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} g_{A}(t) B g_{A}(t)^{-1}=g_{A}^{\prime}(0) B-B g_{A}^{\prime}(0)=A B-B A \end{align*}(6.1.4)[A,B]=[XA,XB]En=ddt|t=0(dRgA(t))En−1((XB)gA(t))=ddt|t=0gA(t)BgA(t)−1=gA′(0)B−BgA′(0)=AB−BA
が示される.
exp ^ A exp ^ A widehat(exp)A\widehat{\exp } Aexp^A の定義から, A , B ∈ g l ( n , R ) , α ∈ R A , B ∈ g l ( n , R ) , α ∈ R A,B ingl(n,R),alpha inRA, B \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}), \alpha \in \mathbb{R}A,B∈gl(n,R),α∈R に対し, 次の事実が成り立つ：
(i) A B = B A A B = B A AB=BAA B=B AAB=BA ならば, exp ^ ( A + B ) = ( exp ^ A ) ( exp ^ B ) exp ^ ( A + B ) = ( exp ^ A ) ( exp ^ B ) widehat(exp)(A+B)=( widehat(exp)A)( widehat(exp)B)\widehat{\exp }(A+B)=(\widehat{\exp } A)(\widehat{\exp } B)exp^(A+B)=(exp^A)(exp^B) が成り立つ；
(ii) exp ^ A exp ^ A widehat(exp)A\widehat{\exp } Aexp^A は正則であり, ( exp ^ A ) − 1 = exp ^ ( − A ) ( exp ^ A ) − 1 = exp ^ ( − A ) ( widehat(exp)A)^(-1)= widehat(exp)(-A)(\widehat{\exp } A)^{-1}=\widehat{\exp }(-A)(exp^A)−1=exp^(−A) が成り立つ；
(iii) exp ^ ( t A ) = t ( exp ^ A ) exp ^ t A = t ( exp ^ A ) widehat(exp)(^(t)A)=^(t)( widehat(exp)A)\widehat{\exp }\left({ }^{t} A\right)={ }^{t}(\widehat{\exp } A)exp^(tA)=t(exp^A) が成り立つ;
(iv) det ( exp ⁡ A ) = e Tr A det ( exp ⁡ A ) = e Tr A det(exp A)=e^(Tr A)\operatorname{det}(\exp A)=e^{\operatorname{Tr} A}det(exp⁡A)=eTrA が成り立つ.
各元 A ∈ g l ( n , R ) A ∈ g l ( n , R ) A ingl(n,R)A \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})A∈gl(n,R) に対し, exp ^ A exp ^ A widehat(exp)A\widehat{\exp } Aexp^A を対応させる対応を exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ と表すことにする.上述の事実 (ii) によれば, exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ は g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) から G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) への写像になり, 命題 6.1 .3 によれば, exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ は 0 E n 0 E n 0_(E_(n))\mathbf{0}_{E_{n}}0En の T E n G L ( n , R ) = g l ( n , R ) T E n G L ( n , R ) = g l ( n , R ) T_(E_(n))GL(n,R)=gl(n,R)T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})=\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})TEnGL(n,R)=gl(n,R) におけるある開近傍 W W WWW に対し, exp ^ | W exp ^ W ( widehat(exp))|_(W)\left.\widehat{\exp }\right|_{W}exp^|W は G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になる. exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ を用いて, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) のいくつかの閉部分群に対して, その閉部分群を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リー群とするような C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 構造を与えることができる. 以下に、その例をいく つか紹介しよう。

例 6.1.2 n n nnn 次特殊線形群

S L ( n , R ) = { A ∈ G L ( n , R ) ∣ det A = 1 } S L ( n , R ) = { A ∈ G L ( n , R ) ∣ det A = 1 } SL(n,R)={A in GL(n,R)∣det A=1}S L(n, \mathbb{R})=\{A \in G L(n, \mathbb{R}) \mid \operatorname{det} A=1\}SL(n,R)={A∈GL(n,R)∣detA=1}
を考える。
s l ( n , R ) := { A ∈ g l ( n , R ) ∣ Tr A = 0 } s l ( n , R ) := { A ∈ g l ( n , R ) ∣ Tr A = 0 } sl(n,R):={A ingl(n,R)∣Tr A=0}\mathfrak{s l}(n, \mathbb{R}):=\{A \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}) \mid \operatorname{Tr} A=0\}sl(n,R):={A∈gl(n,R)∣TrA=0}
とする. この集合は, g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) の ( n 2 − 1 ) n 2 − 1 (n^(2)-1)\left(n^{2}-1\right)(n2−1) 次元部分ベクトル空間であり, それ ゆえ, R n 2 − 1 R n 2 − 1 R^(n^(2)-1)\mathbb{R}^{n^{2}-1}Rn2−1 と同一視される。 W W WWW を, exp ^ | W exp ^ W ( widehat(exp))|_(W)\left.\widehat{\exp }\right|_{W}exp^|W が G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になるような 0 E n 0 E n 0_(E_(n))\mathbf{0}_{E_{n}}0En の開近傍とする。このとき, 上述の事実 (iv) を用いて, exp ^ | W ∩ s ( n , R ) exp ^ W ∩ s ( n , R ) ( widehat(exp))|_(W nns(n,R))\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s}(n, \mathbb{R})}exp^|W∩s(n,R) が S L ( n , R ) S L ( n , R ) SL(n,R)S L(n, \mathbb{R})SL(n,R) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像である ことが示される. U := exp ^ ( W ∩ s l ( n , R ) ) U := exp ^ ( W ∩ s l ( n , R ) ) U:= widehat(exp)(W nnsl(n,R))U:=\widehat{\exp }(W \cap \mathfrak{s l}(n, \mathbb{R}))U:=exp^(W∩sl(n,R)) とし, φ := ( exp ^ | W ∩ s l ( n , R ) ) − 1 φ := exp ^ W ∩ s l ( n , R ) − 1 varphi:=(( widehat(exp))|_(W nnsl(n,R)))^(-1)\varphi:=\left(\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s l}(n, \mathbb{R})}\right)^{-1}φ:=(exp^|W∩sl(n,R))−1 とす る。各 A ∈ S L ( n , R ) A ∈ S L ( n , R ) A in SL(n,R)A \in S L(n, \mathbb{R})A∈SL(n,R) に対し, U A := L A ( U ) U A := L A ( U ) U_(A):=L_(A)(U)U_{A}:=L_{A}(U)UA:=LA(U) とし, φ A := φ ∘ L A − 1 φ A := φ ∘ L A − 1 varphi_(A):=varphi@L_(A)^(-1)\varphi_{A}:=\varphi \circ L_{A}^{-1}φA:=φ∘LA−1 とする. こ
のとき, D := { ( U A , φ A ) ∣ A ∈ S L ( n , R ) } D := U A , φ A ∣ A ∈ S L ( n , R ) D:={(U_(A),varphi_(A))∣A in SL(n,R)}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{A}, \varphi_{A}\right) \mid A \in S L(n, \mathbb{R})\right\}D:={(UA,φA)∣A∈SL(n,R)} は S L ( n , R ) S L ( n , R ) SL(n,R)S L(n, \mathbb{R})SL(n,R) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 構造になり, さ らに, ( S L ( n , R ) , ⋅ , D ) ( S L ( n , R ) , ⋅ , D ) (SL(n,R),*,D)(S L(n, \mathbb{R}), \cdot, \mathcal{D})(SL(n,R),⋅,D) は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リー群になることが示される。 T E n S L ( n , R ) ( ⊂ T E n S L ( n , R ) ( ⊂ T_(E_(n))SL(n,R)(subT_{E_{n}} S L(n, \mathbb{R})(\subsetTEnSL(n,R)(⊂ T E n G L ( n , R ) ) T E n G L ( n , R ) {:T_(E_(n))GL(n,R))\left.T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})\right)TEnGL(n,R)) は, T E n G L ( n , R ) T E n G L ( n , R ) T_(E_(n))GL(n,R)T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})TEnGL(n,R) と g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) の同一視の下, s l ( n , R ) s l ( n , R ) sl(n,R)\mathfrak{s l}(n, \mathbb{R})sl(n,R) と同一視 される. S L ( n , R ) S L ( n , R ) SL(n,R)S L(n, \mathbb{R})SL(n,R) のリー代数 Lie ( S L ( n , R ) ) = ( s l ( n , R ) , [ ] Lie ( S L ( n , R ) ) = ( s l ( n , R ) , [ ] Lie(SL(n,R))=(sl(n,R),[]\operatorname{Lie}(S L(n, \mathbb{R}))=(\mathfrak{s l}(n, \mathbb{R}),[]Lie(SL(n,R))=(sl(n,R),[], ) に お け る ブ ラ ) に お け る ブ ラ )におけるブラ) におけるブラ)におけるブラ ケット積 [ [ [[[, ] は [ A , B ] = A B − B A ] は [ A , B ] = A B − B A ]は[A,B]=AB-BA] は [A, B]=A B-B A]は[A,B]=AB−BA によって与えられ, 指数写像 exp S L ( n , R ) exp S L ( n , R ) exp_(SL(n,R))\exp _{S L(n, \mathbb{R})}expSL(n,R) は exp ^ | s l ( n , R ) exp ^ s l ( n , R ) ( widehat(exp))|_(sl(n,R))\left.\widehat{\exp }\right|_{\mathfrak{s l}(n, \mathbb{R})}exp^|sl(n,R) に等しいことが示される.

例 6.1.3 n n nnn 次特殊直交群

S O ( n ) = { A ∈ G L ( n , R ) | t A A = E n , det A = 1 } S O ( n ) = A ∈ G L ( n , R ) t A A = E n , det A = 1 SO(n)={A in GL(n,R)|^(t)AA=E_(n),det A=1}S O(n)=\left\{\left.A \in G L(n, \mathbb{R})\right|^{t} A A=E_{n}, \operatorname{det} A=1\right\}SO(n)={A∈GL(n,R)|tAA=En,detA=1}
を考える.
s o ( n ) := { A ∈ g l ( n , R ) | t A = − A } s o ( n ) := A ∈ g l ( n , R ) t A = − A so(n):={A ingl(n,R)|^(t)A=-A}\mathfrak{s o}(n):=\left\{\left.A \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})\right|^{t} A=-A\right\}so(n):={A∈gl(n,R)|tA=−A}
とする. この集合は, g l ( n , R ) g l ( n , R ) gl(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R})gl(n,R) の n ( n − 1 ) 2 n ( n − 1 ) 2 (n(n-1))/(2)\frac{n(n-1)}{2}n(n−1)2 次元部分ベクトル空間であること が容易に示され, それゆえ, R n ( n − 1 ) 2 R n ( n − 1 ) 2 R^((n(n-1))/(2))\mathbb{R}^{\frac{n(n-1)}{2}}Rn(n−1)2 と同一視される。 W W WWW さ、 exp ^ | W exp ^ W ( widehat(exp))|_(W)\left.\widehat{\exp }\right|_{W}exp^|W が G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になるような 0 E n 0 E n 0_(E_(n))\mathbf{0}_{E_{n}}0En の開近傍とする. このとき，上述の事実 (i), (iii), (iv) を用いて, exp ^ | W ∩ s o ( n , R ) exp ^ W ∩ s o ( n , R ) ( widehat(exp))|_(W nnso(n,R))\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s o}(n, \mathbb{R})}exp^|W∩so(n,R) が S O ( n , R ) S O ( n , R ) SO(n,R)S O(n, \mathbb{R})SO(n,R) の ある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像であることが示される. U := exp ^ ( W ∩ s l ( n ) ) U := exp ^ ( W ∩ s l ( n ) ) U:= widehat(exp)(W nnsl(n))U:=\widehat{\exp }(W \cap \mathfrak{s l}(n))U:=exp^(W∩sl(n)) とし, φ := ( exp ^ | W ∩ s o ( n ) ) − 1 φ := exp ^ W ∩ s o ( n ) − 1 varphi:=(( widehat(exp))|_(W nnso(n)))^(-1)\varphi:=\left(\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s o}(n)}\right)^{-1}φ:=(exp^|W∩so(n))−1 とする。各 A ∈ S O ( n ) A ∈ S O ( n ) A in SO(n)A \in S O(n)A∈SO(n) に対し, U A := L A ( U ) U A := L A ( U ) U_(A):=L_(A)(U)U_{A}:=L_{A}(U)UA:=LA(U) とし, φ A := φ ∘ L A − 1 φ A := φ ∘ L A − 1 varphi_(A):=varphi@L_(A)^(-1)\varphi_{A}:=\varphi \circ L_{A}^{-1}φA:=φ∘LA−1 とする. このとき, D := { ( U A , φ A ) ∣ A ∈ S O ( n ) } D := U A , φ A ∣ A ∈ S O ( n ) D:={(U_(A),varphi_(A))∣A in SO(n)}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{A}, \varphi_{A}\right) \mid A \in S O(n)\right\}D:={(UA,φA)∣A∈SO(n)} は S O ( n ) S O ( n ) SO(n)S O(n)SO(n) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 構造になり, さらに, ( S O ( n , R ) , ⋅ , D ) ( S O ( n , R ) , ⋅ , D ) (SO(n,R),*,D)(S O(n, \mathbb{R}), \cdot, \mathcal{D})(SO(n,R),⋅,D) は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リー群になる ことが示される。 T E n S O ( n ) ( ⊂ T E n G L ( n , R ) ) T E n S O ( n ) ⊂ T E n G L ( n , R ) T_(E_(n))SO(n)(subT_(E_(n))GL(n,R))T_{E_{n}} S O(n)\left(\subset T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})\right)TEnSO(n)(⊂TEnGL(n,R)) は, T E n G L ( n , R ) T E n G L ( n , R ) T_(E_(n))GL(n,R)T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{R})TEnGL(n,R) とl ( n , R ) ( n , R ) (n,R)(n, \mathbb{R})(n,R) の同一視の下, s o ( n ) s o ( n ) so(n)\mathfrak{s o}(n)so(n) と同一視される. S O ( n ) S O ( n ) SO(n)S O(n)SO(n) のリー代数 Lie ( S O ( n ) ) = Lie ( S O ( n ) ) = Lie(SO(n))=\operatorname{Lie}(S O(n))=Lie(SO(n))= ( s o ( n ) , [ ] ( s o ( n ) , [ ] (so(n),[](\mathfrak{s o}(n),[](so(n),[], ) に お け る ブ ラ ケ ッ ト 積 [ ) に お け る ブ ラ ケ ッ ト 積 [ )におけるブラケット積[) におけるブラケット積 [)におけるブラケット積[, ] は [ A , B ] = A B − B A ] は [ A , B ] = A B − B A ]は[A,B]=AB-BA] は [A, B]=A B-B A]は[A,B]=AB−BA によって与 えられ, 指数写像 exp S O ( n ) exp S O ( n ) exp_(SO(n))\exp _{S O(n)}expSO(n) は exp ^ | s o ( n ) exp ^ s o ( n ) ( widehat(exp))|_(so(n))\left.\widehat{\exp }\right|_{\mathfrak{s o}(n)}exp^|so(n) に等しいことが示される.
例 6.1.4 g l ( n , C ) g l ( n , C ) gl(n,C)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{C})gl(n,C) を n n nnn 次複素正方行列全体からなる n 2 n 2 n^(2)n^{2}n2 次元複素ベクトル空間とし, G L ( n , C ) G L ( n , C ) GL(n,C)G L(n, \mathbb{C})GL(n,C) を n n nnn 次複素正則行列全体からなる集合とする。 g l ( n , C ) g l ( n , C ) gl(n,C)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{C})gl(n,C) は R 2 n 2 R 2 n 2 R^(2n^(2))\mathbb{R}^{2 n^{2}}R2n2 と同一視される. n n n\boldsymbol{n}n 次特殊ユニタリー群
S U ( n ) = { A ∈ G L ( n , C ) ∣ A ∗ A = E n , det A = 1 } S U ( n ) = A ∈ G L ( n , C ) ∣ A ∗ A = E n , det A = 1 SU(n)={A in GL(n,C)∣A^(**)A=E_(n),det A=1}S U(n)=\left\{A \in G L(n, \mathbb{C}) \mid A^{*} A=E_{n}, \operatorname{det} A=1\right\}SU(n)={A∈GL(n,C)∣A∗A=En,detA=1}
を考える. ここで, A ∗ A ∗ A^(**)A^{*}A∗ は A A AAA の随伴行列 t A ¯ t A ¯ ^(t) bar(A){ }^{t} \bar{A}tA¯ を表す.
s u ( n ) := { A ∈ g l ( n , C ) ∣ A ∗ = − A , Tr A = 0 } s u ( n ) := A ∈ g l ( n , C ) ∣ A ∗ = − A , Tr A = 0 su(n):={A ingl(n,C)∣A^(**)=-A,Tr A=0}\mathfrak{s u}(n):=\left\{A \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{C}) \mid A^{*}=-A, \operatorname{Tr} A=0\right\}su(n):={A∈gl(n,C)∣A∗=−A,TrA=0}
とする. この集合は, g l ( n , C ) g l ( n , C ) gl(n,C)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{C})gl(n,C) の実 ( n 2 − 1 ) n 2 − 1 (n^(2)-1)\left(n^{2}-1\right)(n2−1) 次元部分ベクトル空間であること が容易に示され，それゆえ， R n 2 − 1 R n 2 − 1 R^(n^(2)-1)\mathbb{R}^{n^{2}-1}Rn2−1 と同一視される。 exp ^ : g l ( n , R ) → exp ^ : g l ( n , R ) → widehat(exp):gl(n,R)rarr\widehat{\exp }: \mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}) \rightarrowexp^:gl(n,R)→ G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) に類似して, g l ( n , C ) g l ( n , C ) gl(n,C)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{C})gl(n,C) から G L ( n , C ) G L ( n , C ) GL(n,C)G L(n, \mathbb{C})GL(n,C) への写像が定義される. この 写像を同じ記号 exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ で表すことにする。 0 E n 0 E n 0_(E_(n))\mathbf{0}_{E_{n}}0En の g l ( n , C ) g l ( n , C ) gl(n,C)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{C})gl(n,C) における開近傍 W W WWW で, exp ^ | W exp ^ W ( widehat(exp))|_(W)\left.\widehat{\exp }\right|_{W}exp^|W が G L ( n , C ) G L ( n , C ) GL(n,C)G L(n, \mathbb{C})GL(n,C) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になるようなものが 存在する. このとき, exp ^ | W ∩ s u ( n ) exp ^ W ∩ s u ( n ) ( widehat(exp))|_(W nnsu(n))\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s u}(n)}exp^|W∩su(n) が S U ( n ) S U ( n ) SU(n)S U(n)SU(n) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像 であることが示される. U := exp ^ ( W ∩ s u ( n ) ) U := exp ^ ( W ∩ s u ( n ) ) U:= widehat(exp)(W nnsu(n))U:=\widehat{\exp }(W \cap \mathfrak{s u}(n))U:=exp^(W∩su(n)) とし, φ := ( exp ^ | W ∩ s u ( n ) ) − 1 φ := exp ^ W ∩ s u ( n ) − 1 varphi:=(( widehat(exp))|_(W nnsu(n)))^(-1)\varphi:=\left(\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s u}(n)}\right)^{-1}φ:=(exp^|W∩su(n))−1 とする. 各 A ∈ S U ( n ) A ∈ S U ( n ) A in SU(n)A \in S U(n)A∈SU(n) に対し, U A := L A ( U ) U A := L A ( U ) U_(A):=L_(A)(U)U_{A}:=L_{A}(U)UA:=LA(U) とし, φ A := φ ∘ L A − 1 φ A := φ ∘ L A − 1 varphi_(A):=varphi@L_(A)^(-1)\varphi_{A}:=\varphi \circ L_{A}^{-1}φA:=φ∘LA−1 とする. このとき, D := { ( U A , φ A ) ∣ A ∈ S U ( n ) } D := U A , φ A ∣ A ∈ S U ( n ) D:={(U_(A),varphi_(A))∣A in SU(n)}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{A}, \varphi_{A}\right) \mid A \in S U(n)\right\}D:={(UA,φA)∣A∈SU(n)} は S U ( n ) S U ( n ) SU(n)S U(n)SU(n) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 構造になり, さら に, ( S U ( n ) , ⋅ , D ) ( S U ( n ) , ⋅ , D ) (SU(n),*,D)(S U(n), \cdot, \mathcal{D})(SU(n),⋅,D) は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リ群になることが示される. T E n S U ( n ) T E n S U ( n ) T_(E_(n))SU(n)T_{E_{n}} S U(n)TEnSU(n) ( ⊂ T E n G L ( n , C ) ) ⊂ T E n G L ( n , C ) (subT_(E_(n))GL(n,C))\left(\subset T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{C})\right)(⊂TEnGL(n,C)) は, T E n G L ( n , C ) T E n G L ( n , C ) T_(E_(n))GL(n,C)T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{C})TEnGL(n,C) と g l ( n , C ) g l ( n , C ) gl(n,C)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{C})gl(n,C) の同一視の下, s u ( n ) s u ( n ) su(n)\mathfrak{s u}(n)su(n) と同一視される. S U ( n ) S U ( n ) SU(n)S U(n)SU(n) のリー代数 Lie ( S U ( n ) ) = ( s u ( n ) , [ ] Lie ( S U ( n ) ) = ( s u ( n ) , [ ] Lie(SU(n))=(su(n),[]\operatorname{Lie}(S U(n))=(\mathfrak{s u}(n),[]Lie(SU(n))=(su(n),[], ) に お け る ブ ラ ケ ッ ) に お け る ブ ラ ケ ッ )におけるブラケッ) におけるブラケッ)におけるブラケッ ト積 [ [ [[[, ] は [ A , B ] = A B − B A ] は [ A , B ] = A B − B A ]は[A,B]=AB-BA] は [A, B]=A B-B A]は[A,B]=AB−BA によって与えられ, 指数写像 exp S U ( n ) exp S U ( n ) exp_(SU(n))\exp _{S U(n)}expSU(n) は exp ^ | s u ( n ) exp ^ s u ( n ) ( widehat(exp))|_(su(n))\left.\widehat{\exp }\right|_{\mathfrak{s u}(n)}exp^|su(n) に等しいことが示される.
例 6.1.5 四元数代数を H H H\mathbb{H}H と表す. g l ( n , H ) g l ( n , H ) gl(n,H)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{H})gl(n,H) を四元数を成分とする n n nnn 次正方行列全体からなる n 2 n 2 n^(2)n^{2}n2 次元四元数ベクトル空間とし, G L ( n , H ) G L ( n , H ) GL(n,H)G L(n, \mathbb{H})GL(n,H) を四元数を成分とする n n nnn 次正則行列全体からなる集合とする. g l ( n , H ) g l ( n , H ) gl(n,H)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{H})gl(n,H) は R 4 n 2 R 4 n 2 R^(4n^(2))\mathbb{R}^{4 n^{2}}R4n2 と同一視さ れる. n n n\boldsymbol{n}n 次シンプレクティック群
S p ( n ) = { A ∈ G L ( n , H ) ∣ A ∗ A = E n , det A = 1 } S p ( n ) = A ∈ G L ( n , H ) ∣ A ∗ A = E n , det A = 1 Sp(n)={A in GL(n,H)∣A^(**)A=E_(n),det A=1}S p(n)=\left\{A \in G L(n, \mathbb{H}) \mid A^{*} A=E_{n}, \operatorname{det} A=1\right\}Sp(n)={A∈GL(n,H)∣A∗A=En,detA=1}
を考える. ここで, A ∗ A ∗ A^(**)A^{*}A∗ は A A AAA の随伴行列 t A ¯ t A ¯ ^(t) bar(A){ }^{t} \bar{A}tA¯ を表す.
s p ( n ) := { A ∈ g l ( n , H ) ∣ A ∗ = − A , Tr A = 0 } s p ( n ) := A ∈ g l ( n , H ) ∣ A ∗ = − A , Tr A = 0 sp(n):={A ingl(n,H)∣A^(**)=-A,Tr A=0}\mathfrak{s p}(n):=\left\{A \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{H}) \mid A^{*}=-A, \operatorname{Tr} A=0\right\}sp(n):={A∈gl(n,H)∣A∗=−A,TrA=0}
とする. この集合は, g l ( n , H ) g l ( n , H ) gl(n,H)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{H})gl(n,H) の実 ( 2 n + 3 ) ( n − 1 ) ( 2 n + 3 ) ( n − 1 ) (2n+3)(n-1)(2 n+3)(n-1)(2n+3)(n−1) 次元部分ベクトル空間 であることが容易に示され，それゆえ， R ( 2 n + 3 ) ( n − 1 ) R ( 2 n + 3 ) ( n − 1 ) R^((2n+3)(n-1))\mathbb{R}^{(2 n+3)(n-1)}R(2n+3)(n−1) と同一視される。 exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ : g l ( n , R ) → G L ( n , R ) g l ( n , R ) → G L ( n , R ) gl(n,R)rarr GL(n,R)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}) \rightarrow G L(n, \mathbb{R})gl(n,R)→GL(n,R) に類似して, g l ( n , H ) g l ( n , H ) gl(n,H)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{H})gl(n,H) から G L ( n , H ) G L ( n , H ) GL(n,H)G L(n, \mathbb{H})GL(n,H) への写像が定義さ れる. この写像を同じ記号 exp ^ exp ^ widehat(exp)\widehat{\exp }exp^ で表すことにする。 0 E n 0 E n 0_(E_(n))\mathbf{0}_{E_{n}}0En の g l ( n , H ) g l ( n , H ) gl(n,H)\mathfrak{g l}(n, \mathbb{H})gl(n,H) における
開近傍で W W WWW で, exp ^ | W exp ^ W ( widehat(exp))|_(W)\left.\widehat{\exp }\right|_{W}exp^|W が G L ( n , H ) G L ( n , H ) GL(n,H)G L(n, \mathbb{H})GL(n,H) のある開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になるよ うなものが存在することが示される。このとき, exp ^ | W ∩ p p ( n ) exp ^ W ∩ p p ( n ) ( widehat(exp))|_(W nnpp(n))\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{p p}(n)}exp^|W∩pp(n) が S p ( n ) S p ( n ) Sp(n)S p(n)Sp(n) のあ る開集合への C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像であることが示される. U := exp ^ ( W ∩ s p ( n ) ) U := exp ^ ( W ∩ s p ( n ) ) U:= widehat(exp)(W nnsp(n))U:=\widehat{\exp }(W \cap \mathfrak{s p}(n))U:=exp^(W∩sp(n)) と し, φ := ( exp ^ | W ∩ s p ( n ) ) − 1 φ := exp ^ W ∩ s p ( n ) − 1 varphi:=(( widehat(exp))|_(W nnsp(n)))^(-1)\varphi:=\left(\left.\widehat{\exp }\right|_{W \cap \mathfrak{s p}(n)}\right)^{-1}φ:=(exp^|W∩sp(n))−1 とする. 各 A ∈ S p ( n ) A ∈ S p ( n ) A in Sp(n)A \in S p(n)A∈Sp(n) に対し, U A := L A ( U ) U A := L A ( U ) U_(A):=L_(A)(U)U_{A}:=L_{A}(U)UA:=LA(U) と し, φ A := φ ∘ L A − 1 φ A := φ ∘ L A − 1 varphi_(A):=varphi@L_(A)^(-1)\varphi_{A}:=\varphi \circ L_{A}^{-1}φA:=φ∘LA−1 とする. このとき, D := { ( U A , φ A ) ∣ A ∈ S p ( n ) } D := U A , φ A ∣ A ∈ S p ( n ) D:={(U_(A),varphi_(A))∣A in Sp(n)}\mathcal{D}:=\left\{\left(U_{A}, \varphi_{A}\right) \mid A \in S p(n)\right\}D:={(UA,φA)∣A∈Sp(n)} は S p ( n ) S p ( n ) Sp(n)S p(n)Sp(n) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 構造になり, さらに, ( S p ( n ) , ⋅ , D ) ( S p ( n ) , ⋅ , D ) (Sp(n),*,D)(S p(n), \cdot, \mathcal{D})(Sp(n),⋅,D) は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リー群になることが示され る. T E n S p ( n ) ( ⊂ T E n G L ( n , H ) ) T E n S p ( n ) ⊂ T E n G L ( n , H ) T_(E_(n))Sp(n)(subT_(E_(n))GL(n,H))T_{E_{n}} S p(n)\left(\subset T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{H})\right)TEnSp(n)(⊂TEnGL(n,H)) は, T E n G L ( n , H ) T E n G L ( n , H ) T_(E_(n))GL(n,H)T_{E_{n}} G L(n, \mathbb{H})TEnGL(n,H) と l ( n , H ) l ( n , H ) l(n,H)\mathfrak{l}(n, \mathbb{H})l(n,H) の同一視の下, s p ( n ) s p ( n ) sp(n)\mathfrak{s p}(n)sp(n) と同一視される. S p ( n ) S p ( n ) Sp(n)S p(n)Sp(n) のリー代数 Lie ( S p ( n ) ) = ( s p ( n ) , [ ] Lie ( S p ( n ) ) = ( s p ( n ) , [ ] Lie(Sp(n))=(sp(n),[]\operatorname{Lie}(S p(n))=(\mathfrak{s p}(n),[]Lie(Sp(n))=(sp(n),[], ) に お ) に お )にお) にお)にお けるブラケット積 [ [ [[[, ] は [ A , B ] = A B − B A ] は [ A , B ] = A B − B A ]は[A,B]=AB-BA] は [A, B]=A B-B A]は[A,B]=AB−BA によって与えられ, 指数写像 exp S p ( n ) exp S p ( n ) exp_(Sp(n))\exp _{S p(n)}expSp(n) は exp ^ | s p ( n ) exp ^ s p ( n ) ( widehat(exp))|_(sp(n))\left.\widehat{\exp }\right|_{\mathfrak{s p}(n)}exp^|sp(n) に等しいことが示される。

6.2 リー群とリー代数の随伴表現

この節において, リー群，およびリー代数の随伴表現について述べること にする. この節における命題をはじめとする基本的事実の証明については, [Ko8] の 6.2 節を参照のこと.
G G GGG を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リ群とし, そのリー代数 Lie ( G ) = ( T e G , [ ] , ) Lie ( G ) = T e G , [ ] , Lie(G)=(T_(e)G,[],)\operatorname{Lie}(G)=\left(T_{e} G,[],\right)Lie(G)=(TeG,[],) を g g g\mathfrak{g}g と表す. Ad G ( g ) : g → g Ad G ( g ) : g → g Ad_(G)(g):grarrg\operatorname{Ad}_{G}(g): \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}AdG(g):g→g を Ad G ( g ) := ( d I g ) e ( g ∈ G ) Ad G ( g ) := d I g e ( g ∈ G ) Ad_(G)(g):=(dI_(g))_(e)(g in G)\operatorname{Ad}_{G}(g):=\left(d I_{g}\right)_{e}(g \in G)AdG(g):=(dIg)e(g∈G) によって定義する. これは 線形同型写像, つまり, G L ( g ) G L ( g ) GL(g)G L(\mathfrak{g})GL(g) の元になり, 写像 Ad G : G → G L ( g ) Ad G : G → G L ( g ) Ad_(G):G rarr GL(g)\operatorname{Ad}_{G}: G \rightarrow G L(\mathfrak{g})AdG:G→GL(g) は g g g\mathfrak{g}g を表現空間とするGの表現を与える. この表現 Ad G Ad G Ad_(G)\operatorname{Ad}_{G}AdG を G G GGG の随伴表現（the adjoint representation of G ) G ) G)\boldsymbol{G})G) という. また, 各 v ∈ g v ∈ g v ing\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g}v∈g に対し, g g g\mathfrak{g}g の線形変換 ad g ( v ) ad g ( v ) ad_(g)(v)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v})adg(v) を ad g ( v ) := d ( Ad G ) e ( v ) ( v ∈ g ) ad g ( v ) := d Ad G e ( v ) ( v ∈ g ) ad_(g)(v):=d(Ad_(G))_(e)(v)(v ing)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v}):=d\left(\operatorname{Ad}_{G}\right)_{e}(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})adg(v):=d(AdG)e(v)(v∈g) によって定義する. ここ で, d ( Ad G ) e : T e G ( = g ) → T id G L ( g ) d Ad G e : T e G ( = g ) → T id G L ( g ) d(Ad_(G))_(e):T_(e)G(=g)rarrT_(id)GL(g)d\left(\operatorname{Ad}_{G}\right)_{e}: T_{e} G(=\mathfrak{g}) \rightarrow T_{\mathrm{id}} G L(\mathfrak{g})d(AdG)e:TeG(=g)→TidGL(g) (id : g g g\mathfrak{g}g の恒等変換）を，同一視 T id G L ( g ) = T id g l ( g ) = g l ( g ) T id G L ( g ) = T id g l ( g ) = g l ( g ) T_(id)GL(g)=T_(id)gl(g)=gl(g)T_{\mathrm{id}} G L(\mathfrak{g})=T_{\mathrm{id}} \mathfrak{g l}(\mathfrak{g})=\mathfrak{g l}(\mathfrak{g})TidGL(g)=Tidgl(g)=gl(g) の下, g g g\mathfrak{g}g から g l ( g ) g l ( g ) gl(g)\mathfrak{g l}(\mathfrak{g})gl(g) への線形写像とみなして いることに注意する. 各 v ∈ g v ∈ g v ing\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g}v∈g に対し ad g ( v ) ad g ( v ) ad_(g)(v)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v})adg(v) を対応させることにより定義さ れる写像 ad g : g → g l ( g ) ad g : g → g l ( g ) ad_(g):grarrgl(g)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g l}(\mathfrak{g})adg:g→gl(g) は, リー環準同型写像になることが示される. ad g ad g ad_(g)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}adg を g g g\mathfrak{g}g の随伴表現（the adjoint representation of g ） g ） g）\mathfrak{g} ）g） という.
命題 6.2.1 ad g ( v ) ( w ) = [ v , w ] ( v , w ∈ g ) ad g ( v ) ( w ) = [ v , w ] ( v , w ∈ g ) ad_(g)(v)(w)=[v,w]quad(v,w ing)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{w})=[\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}] \quad(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in \mathfrak{g})adg(v)(w)=[v,w](v,w∈g) が成り立つ.
一般の実リー代数 ( g , [ ] ( g , [ ] (g,[](\mathfrak{g},[](g,[], ) に 対 し , ) に 対 し , )に対し,) に対し,)に対し,
ad g ( v ) ( w ) := [ v , w ] ( v , w ∈ g ) ad g ( v ) ( w ) := [ v , w ] ( v , w ∈ g ) ad_(g)(v)(w):=[v,w]quad(v,w ing)\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{w}):=[\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}] \quad(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in \mathfrak{g})adg(v)(w):=[v,w](v,w∈g)
によって定義される写像 ad : g → g l ( g ) ad : g → g l ( g ) ad:grarrgl(g)\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g l}(\mathfrak{g})ad:g→gl(g) は g g g\mathfrak{g}g の随伴表現とよばれる。 G L ( g ) G L ( g ) GL(g)G L(\mathfrak{g})GL(g) の部分群 Int ( g ) Int ( g ) Int(g)\operatorname{Int}(\mathfrak{g})Int(g) を
Int ( g ) := { exp G L ( g ) ⁡ ( ad g ( v ) ) ∣ v ∈ g } Int ( g ) := exp G L ( g ) ⁡ ad g ( v ) ∣ v ∈ g Int(g):={exp_(GL(g))(ad_(g)(v))∣v ing}\operatorname{Int}(\mathfrak{g}):=\left\{\exp _{G L(\mathfrak{g})}\left(\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v})\right) \mid \boldsymbol{v} \in \mathfrak{g}\right\}Int(g):={expGL(g)⁡(adg(v))∣v∈g}
と定める. この群は G L ( g ) G L ( g ) GL(g)G L(\mathfrak{g})GL(g) の閉部分群であり, それゆえ, それ自身一つの C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級リー群になる。このリー群を g g g\mathfrak{g}g の随伴群（the adjoint group of g g g\mathfrak{g}g ) という.この群の普遍被覆リー群を Int ( g ) ^ Int ( g ) ^ widehat(Int(g))\widehat{\operatorname{Int}(\mathfrak{g})}Int(g)^ と表す. 実は, g = Lie G g = Lie G g=Lie G\mathfrak{g}=\operatorname{Lie} Gg=LieG の場合, Int ( g ) ^ Int ( g ) ^ widehat(Int(g))\widehat{\operatorname{Int}(\mathfrak{g})}Int(g)^ は G G GGG 単位元を含む連結成分 G 0 G 0 G_(0)G_{0}G0 の普遍被覆リー群であることが示さ れる。それゆえ, G G GGG が連結である場合, Lie G G GGG からその随伴群の普遍被覆リー 群の離散群（Ｇの基本群）作用の軌道空間として G G GGG が再構成されることがわ かる。
次に, 実リー代数のキリング形式を定義することにする。実リー代数 g g g\mathfrak{g}g に 対し, 双線形形式 B : g × g → R B : g × g → R B:gxxgrarrR\mathbf{B}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathbb{R}B:g×g→R を
B ( v , w ) := Tr ( ad g ( v ) ∘ ad g ( w ) ) ( v , w ∈ g ) B ( v , w ) := Tr ad g ( v ) ∘ ad g ( w ) ( v , w ∈ g ) B(v,w):=Tr(ad_(g)(v)@ad_(g)(w))quad(v,w ing)\mathbf{B}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\operatorname{Tr}\left(\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{v}) \circ \operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{w})\right) \quad(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in \mathfrak{g})B(v,w):=Tr(adg(v)∘adg(w))(v,w∈g)
によって定義する. この線形形式を g g g\mathfrak{g}g のキリング形式（Killing form）とい う. g g g\mathfrak{g}g のキリング形式 B B B\mathrm{B}B が非退化であるとき, g g g\mathfrak{g}g を半単純リー代数（semisimple Lie algebra）といい, 特に, g g g\mathfrak{g}g のキリング形式 B が負定値（つまり − B − B -B-\mathrm{B}−B が正定値）であるとき， g g g\mathfrak{g}g をコンパクト型半単純リー代数（semi-simple Lie algebra of compact type）という。また, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級リー群 G G GGG の リー代数 Lie G G GGG が半単純であるとき, G G GGG を半単純リー群（semi-simple Lie group）といい, Lie G G GGG がコンパクト型半単純であるとき, G G GGG をコンパクト 型半単純リー群（semi-simple Lie group of compact type）という. コンパクト型でない半単純リー群は, 非コンパクト型半単純リー群（semisimple Lie group of non-compact type）とよばれる.コンパクト型半単純リー群は, 位相空間としてコンパクトであり, 非コンパクト型半単純リ 一群は，位相空間としてコンパクトでないことが示される。また，単連結半単純リー群は, いくつかの既約な単連結半単純リー群の直積リー群として表 されることが示される. ここで, リー群の既約性は, そのリー群が群として既約であることを意味し, 直積リー群（product Lie group）とは，2つのリ 一群の直積群に積多様体の構造を与えてえられるリー群のことである。特に,
既約な半単純リー群は単純リー群（simple Lie group）とよばれる.コン パクト型単純リー群の例として, 上記の S O ( n ) , S U ( n ) , S p ( n ) S O ( n ) , S U ( n ) , S p ( n ) SO(n),SU(n),Sp(n)S O(n), S U(n), S p(n)SO(n),SU(n),Sp(n) の他, スピン 群 Spin ( n ) Spin ( n ) Spin(n)\operatorname{Spin}(n)Spin(n), および, 例外群 E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 E_(6),E_(7),E_(8),F_(4),G_(2)E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}E6,E7,E8,F4,G2 がある. ここで, スピン群 Spin ( n ) Spin ( n ) Spin(n)\operatorname{Spin}(n)Spin(n) とは, 複素数体, 四元数代数, 八元数代数（=ケーリー代数）を一般化した代数であるクリフォード代数の可逆元からなる群の部分群として定義 され, S O ( n ) S O ( n ) SO(n)S O(n)SO(n) の 2 重被覆であるようなリー群である（[横田 1] を参照）。た， F 4 F 4 F_(4)F_{4}F4 は, 八元数を成分にもつある種の 3 次正方行列からなる 27 次元実べクト ル空間に, ジョルダン積とよばれる積を与えた例外型ジョルダン代数とよばれ る代数の自己同型群として定義されるリー群である. G 2 G 2 G_(2)G_{2}G2 は, 八元数代数の自己同型群として定義されるリー群である（[横田 2]を参照）。 E 6 , E 7 , E 8 E 6 , E 7 , E 8 E_(6),E_(7),E_(8)E_{6}, E_{7}, E_{8}E6,E7,E8 につ いては, [横田 2] を参照のこと.

6.3 主バンドルの接続と曲率形式

この節において, 主バンドルの接続, および, それに付随して定義される曲率形式について述べることにする。この節の内容は, [ KN ] [ KN ] [KN][\mathrm{KN}][KN] の流儀に基づいて いる（[野水] の第 2 章, および [ K o 8 ] [ K o 8 ] [Ko8][K o 8][Ko8] の第 6 章も参照）.
π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の G G GGG バンドルとし, Lie G Lie G Lie G\operatorname{Lie} GLieG を g g g\mathfrak{g}g 表す。 P P PPP 上の g g g\mathfrak{g}g に 值をとる C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 1 次微分形式 ω ω omega\omegaω で次の 2 条件を満たすものを P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C∞ 接続 ( C ∞ C ∞ C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C∞-connection) という:
(i) R g ∗ ω = Ad G ( g − 1 ) ∘ ω ( g ∈ G ) R g ∗ ω = Ad G g − 1 ∘ ω ( g ∈ G ) quadR_(g)^(**)omega=Ad_(G)(g^(-1))@omegaquad(g in G)\quad R_{g}^{*} \omega=\operatorname{Ad}_{G}\left(g^{-1}\right) \circ \omega \quad(g \in G)Rg∗ω=AdG(g−1)∘ω(g∈G);
(ii) ω ( v ∗ ) = v ( v ∈ g ) ω v ∗ = v ( v ∈ g ) omega(v^(**))=v quad(v ing)\omega\left(\boldsymbol{v}^{*}\right)=\boldsymbol{v} \quad(\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})ω(v∗)=v(v∈g).
ただし， R g R g R_(g)R_{g}Rg は g g ggg の P P PPP へ作用を表し，また， v ∗ v ∗ v^(**)\boldsymbol{v}^{*}v∗ は v v v\boldsymbol{v}v に付随する基本べクト ル場, つまり, P P PPP の 1 パラメーター変換群 { R exp G ⁡ ( t v ) ∣ t ∈ R } R exp G ⁡ ( t v ) ∣ t ∈ R {R_(exp_(G)(tv))∣t inR}\left\{R_{\exp _{G}(t v)} \mid t \in \mathbb{R}\right\}{RexpG⁡(tv)∣t∈R} に付随する P P PPP上のベクトル場を表す。 P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続の全体を A P ∞ A P ∞ A_(P)^(oo)\mathcal{A}_{P}^{\infty}AP∞ と表すことにする. P P PPP 上 の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接分布（つまり，TPの C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 部分ベクトルバンドル） V , H ω V , H ω V,H^(omega)\mathcal{V}, \mathcal{H}^{\omega}V,Hω を各々,次式で定義する：
V u := T u ( π − 1 ( π ( u ) ) ) , H u ω := Ker ω u ( u ∈ P ) V u := T u π − 1 ( π ( u ) ) , H u ω := Ker ω u ( u ∈ P ) V_(u):=T_(u)(pi^(-1)(pi(u))),quadH_(u)^(omega):=Keromega_(u)quad(u in P)\mathcal{V}_{u}:=T_{u}\left(\pi^{-1}(\pi(u))\right), \quad \mathcal{H}_{u}^{\omega}:=\operatorname{Ker} \omega_{u} \quad(u \in P)Vu:=Tu(π−1(π(u))),Huω:=Kerωu(u∈P)
V V V\mathcal{V}V は，鉛直分布（vertical distribution）とよばれ， H ω H ω H^(omega)\mathcal{H}^{\omega}Hω は， ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω に関する水

下, 簡単のため, H ω H ω H^(omega)\mathcal{H}^{\omega}Hω を H H H\mathcal{H}H と表す. ω u ( v u ∗ ) = v ( v ∈ g ) ω u v u ∗ = v ( v ∈ g ) omega_(u)(v_(u)^(**))=v(v ing)\omega_{u}\left(\boldsymbol{v}_{u}^{*}\right)=v(\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})ωu(vu∗)=v(v∈g), かつ { v u ∗ ∣ v ∈ g } = v u ∗ ∣ v ∈ g = {v_(u)^(**)∣v ing}=\left\{\boldsymbol{v}_{u}^{*} \mid \boldsymbol{v} \in \mathfrak{g}\right\}={vu∗∣v∈g}= T u π − 1 ( π ( u ) ) = V u T u π − 1 ( π ( u ) ) = V u T_(u)pi^(-1)(pi(u))=V_(u)T_{u} \pi^{-1}(\pi(u))=\mathcal{V}_{u}Tuπ−1(π(u))=Vu なので, ω u ∣ V u : V u → g ω u ∣ V u : V u → g omega_(u)∣V_(u):V_(u)rarrg\omega_{u} \mid \mathcal{V}_{u}: \mathcal{V}_{u} \rightarrow \mathfrak{g}ωu∣Vu:Vu→g は線形同型写像である. この事実 から,
T u P = H u ⊕ V u ( u ∈ P ) T u P = H u ⊕ V u ( u ∈ P ) T_(u)P=H_(u)o+V_(u)quad(u in P)T_{u} P=\mathcal{H}_{u} \oplus \mathcal{V}_{u} \quad(u \in P)TuP=Hu⊕Vu(u∈P)
が導かれる。 M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線 c : [ 0 , 1 ] → M c : [ 0 , 1 ] → M c:[0,1]rarr Mc:[0,1] \rightarrow Mc:[0,1]→M と u ∈ π − 1 ( c ( 0 ) ) u ∈ π − 1 ( c ( 0 ) ) u inpi^(-1)(c(0))u \in \pi^{-1}(c(0))u∈π−1(c(0)) に対し, ( c u L ) ′ ( t ) ∈ H c u L ( t ) ( 0 ≤ t ≤ 1 ) , π ∘ c u L = c c u L ′ ( t ) ∈ H c u L ( t ) ( 0 ≤ t ≤ 1 ) , π ∘ c u L = c (c_(u)^(L))^(')(t)inH_(c_(u)^(L)(t))(0 <= t <= 1),pi@c_(u)^(L)=c\left(c_{u}^{L}\right)^{\prime}(t) \in \mathcal{H}_{c_{u}^{L}(t)}(0 \leq t \leq 1), \pi \circ c_{u}^{L}=c(cuL)′(t)∈HcuL(t)(0≤t≤1),π∘cuL=c および c u L ( 0 ) = u c u L ( 0 ) = u c_(u)^(L)(0)=uc_{u}^{L}(0)=ucuL(0)=u を満たす C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線 c u L : [ 0 , 1 ] → P c u L : [ 0 , 1 ] → P c_(u)^(L):[0,1]rarr Pc_{u}^{L}:[0,1] \rightarrow PcuL:[0,1]→P が一意的に定まる. この曲線 c u L c u L c_(u)^(L)c_{u}^{L}cuL を c c ccc の u u u\boldsymbol{u}u を発する ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω に関す る水平リフト（the horizontal lift of c c ccc starting from u u uuu with respect to ω ) ω ) omega)\boldsymbol{\omega})ω) という。水平リフト c u L c u L c_(u)^(L)c_{u}^{L}cuL の一意存在性を示そう. 簡単のため, c c ccc が自己交差しない C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 正則曲線の場合を考えよう. S := π − 1 ( c ( [ 0 , 1 ] ) S := π − 1 ( c ( [ 0 , 1 ] ) S:=pi^(-1)(c([0,1])S:=\pi^{-1}(c([0,1])S:=π−1(c([0,1]) とおく. π π pi\piπ は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 沈め込みなので, 陰関数定理（全射型, 定理3.6.2）より, S S SSS は, P P PPP 内の （境界付き）正則部分多様体になる。また，明らかに dim ( H u ∩ T u S ) = 1 ( u ∈ dim H u ∩ T u S = 1 ( u ∈ dim(H_(u)nnT_(u)S)=1(u in\operatorname{dim}\left(\mathcal{H}_{u} \cap T_{u} S\right)=1(u \indim(Hu∩TuS)=1(u∈ S ) S ) S)S)S) となる. S S SSS 上の 1 次元接分布 D D D\mathcal{D}D を D u := H u ∩ T u S ( u ∈ S ) D u := H u ∩ T u S ( u ∈ S ) D_(u):=H_(u)nnT_(u)S quad(u in S)\mathcal{D}_{u}:=\mathcal{H}_{u} \cap T_{u} S \quad(u \in S)Du:=Hu∩TuS(u∈S) によって定め る. 容易に, D D D\mathcal{D}D が C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接分布であることが示される。 D D D\mathcal{D}D の u u uuu を通る積分多様体を L L LLL と表す. このとき, 求めるべき水平リフト c u L c u L c_(u)^(L)c_{u}^{L}cuL が c u L ( t ) := L ∩ π − 1 ( c ( t ) ) c u L ( t ) := L ∩ π − 1 ( c ( t ) ) c_(u)^(L)(t):=L nnpi^(-1)(c(t))c_{u}^{L}(t):=L \cap \pi^{-1}(c(t))cuL(t):=L∩π−1(c(t)) ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) (t in[0,1])(t \in[0,1])(t∈[0,1]) によって与えられることがわかり, c u L c u L c_(u)^(L)c_{u}^{L}cuL の一意存在性が示される. この水平リフトを用いて, 写像 P c ω : π − 1 ( c ( 0 ) ) → π − 1 ( c ( 1 ) ) P c ω : π − 1 ( c ( 0 ) ) → π − 1 ( c ( 1 ) ) P_(c)^(omega):pi^(-1)(c(0))rarrpi^(-1)(c(1))P_{c}^{\omega}: \pi^{-1}(c(0)) \rightarrow \pi^{-1}(c(1))Pcω:π−1(c(0))→π−1(c(1)) を
P c ω ( u ) := c u L ( 1 ) ( u ∈ π − 1 ( c ( 0 ) ) ) P c ω ( u ) := c u L ( 1 ) u ∈ π − 1 ( c ( 0 ) ) P_(c)^(omega)(u):=c_(u)^(L)(1)quad(u inpi^(-1)(c(0)))P_{c}^{\omega}(u):=c_{u}^{L}(1) \quad\left(u \in \pi^{-1}(c(0))\right)Pcω(u):=cuL(1)(u∈π−1(c(0)))
によって定義する. この写像は C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 同型写像になることが示される. この写像 P c ω P c ω P_(c)^(omega)P_{c}^{\omega}Pcω を ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω に関する c c ccc に沿う平行移動という.
P P PPP 上の g g g\mathfrak{g}g に値をとる C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 k k kkk 次微分形式全体のなす空間を Ω k ( P , g ) Ω k ( P , g ) Omega^(k)(P,g)\Omega^{k}(P, \mathfrak{g})Ωk(P,g) で表す ことにする. μ ∈ Ω k ( P , g ) μ ∈ Ω k ( P , g ) mu inOmega^(k)(P,g)\mu \in \Omega^{k}(P, \mathfrak{g})μ∈Ωk(P,g) が次の条件を満たしているとする：
(i) R g ∗ μ = Ad G ( g − 1 ) ∘ μ ( ∀ g ∈ G ) R g ∗ μ = Ad G g − 1 ∘ μ ( ∀ g ∈ G ) quadR_(g)^(**)mu=Ad_(G)(g^(-1))@muquad(AA g in G)\quad R_{g}^{*} \mu=\operatorname{Ad}_{G}\left(g^{-1}\right) \circ \mu \quad(\forall g \in G)Rg∗μ=AdG(g−1)∘μ(∀g∈G);
(ii) i X μ = 0 ( ∀ X ∈ Γ ∞ ( V ) ) i X μ = 0 ∀ X ∈ Γ ∞ ( V ) quadi_(X)mu=0quad(AA X inGamma^(oo)(V))\quad i_{\boldsymbol{X}} \mu=0 \quad\left(\forall \boldsymbol{X} \in \Gamma^{\infty}(\mathcal{V})\right)iXμ=0(∀X∈Γ∞(V)).
ここで, i X i X i_(X)i_{\boldsymbol{X}}iX は X X X\boldsymbol{X}X による内部積作用素, つまり,
( i X μ ) ( ∙ , … , ∙ ) = μ ( X , ∙ , … , ∙ ) i X μ ( ∙ , … , ∙ ) = μ ( X , ∙ , … , ∙ ) (i_(X)mu)(∙,dots,∙)=mu(X,∙,dots,∙)\left(i_{\boldsymbol{X}} \mu\right)(\bullet, \ldots, \bullet)=\mu(\boldsymbol{X}, \bullet, \ldots, \bullet)(iXμ)(∙,…,∙)=μ(X,∙,…,∙)
によって定義される Ω k ( P , g ) Ω k ( P , g ) Omega^(k)(P,g)\Omega^{k}(P, \mathfrak{g})Ωk(P,g) から Ω k − 1 ( P , g ) Ω k − 1 ( P , g ) Omega^(k-1)(P,g)\Omega^{k-1}(P, \mathfrak{g})Ωk−1(P,g) への線形写像を表す. このと
き, μ μ mu\muμ は, 主バンドル P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級テンソリアル k k kkk 次微分形式 (tensorial k k k\boldsymbol{k}k-form of class C ∞ C ∞ C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C∞ ) とよばれる。 P P PPP の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級テンソリアル k k kkk 次微分形式全体のなす空間を Ω T k ( P , g ) Ω T k ( P , g ) Omega_(T)^(k)(P,g)\Omega_{\mathcal{T}}^{k}(P, \mathfrak{g})ΩTk(P,g) で表すことにする. 主バンドル P P PPP の随伴表現 Ad G Ad G Ad_(G)\operatorname{Ad}_{G}AdG に付随する同伴ベクトルバンドル P × Ad G g を P P × Ad G g を P Pxx_(Ad_(G))gをPP \times_{\operatorname{Ad}_{G}} \mathfrak{g} を PP×AdGgをP の随伴ベクトルバンド ル（adjoint vector bundle）といい, 通常, Ad ( P ) Ad ( P ) Ad(P)\operatorname{Ad}(P)Ad(P) で表される。簡単のた め, Ad ( P ) Ad ( P ) Ad(P)\operatorname{Ad}(P)Ad(P) の元 [ ( u , v ) ] ( u ∈ P , v ∈ g ) [ ( u , v ) ] ( u ∈ P , v ∈ g ) [(u,v)](u in P,v ing)[(u, \boldsymbol{v})](u \in P, \boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})[(u,v)](u∈P,v∈g) を u ⋅ v u ⋅ v u*vu \cdot \boldsymbol{v}u⋅v と表すことにする. また, M M MMM上の Ad ( P ) Ad ( P ) Ad(P)\operatorname{Ad}(P)Ad(P) に値をとる C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 k k kkk 次微分形式（つまり，テンソル積ベクトル バンドル ( ∧ k ( T ∗ M ) ) ⊗ Ad ( P ) ∧ k T ∗ M ⊗ Ad ( P ) (^^^(k)(T^(**)M))ox Ad(P)\left(\wedge^{k}\left(T^{*} M\right)\right) \otimes \operatorname{Ad}(P)(∧k(T∗M))⊗Ad(P) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級切断）全体のなす空間 Γ ∞ ( ( ∧ k ( T ∗ M ) ) ⊗ Ad ( P ) ) Γ ∞ ∧ k T ∗ M ⊗ Ad ( P ) Gamma^(oo)((^^^(k)(T^(**)M))ox Ad(P))\Gamma^{\infty}\left(\left(\wedge^{k}\left(T^{*} M\right)\right) \otimes \operatorname{Ad}(P)\right)Γ∞((∧k(T∗M))⊗Ad(P)) を, Ω k ( M , Ad ( P ) ) Ω k ( M , Ad ( P ) ) quadOmega^(k)(M,Ad(P))quad\quad \Omega^{k}(M, \operatorname{Ad}(P)) \quadΩk(M,Ad(P)) と表す. Ω T k ( P , g ) Ω T k ( P , g ) Omega_(T)^(k)(P,g)\Omega_{\mathcal{T}}^{k}(P, \mathfrak{g})ΩTk(P,g) と Ω k ( M , Ad ( P ) ) Ω k ( M , Ad ( P ) ) Omega^(k)(M,Ad(P))\Omega^{k}(M, \operatorname{Ad}(P))Ωk(M,Ad(P)) は, 次の 1 対 1 対応の下, 同一視される：
μ ( ∈ Ω T k ( P , g ) ) ⟷ μ ^ ( ∈ Ω k ( M , Ad ( P ) ) ) ( u ⋅ μ u ( v 1 , … , v k ) = μ ^ π ( u ) ( π ∗ ( v 1 ) , … , π ∗ ( v k ) ) ( u ∈ P , v 1 , … , v k ∈ T u P ) μ ∈ Ω T k ( P , g ) ⟷ μ ^ ∈ Ω k ( M , Ad ( P ) ) u ⋅ μ u v 1 , … , v k = μ ^ π ( u ) π ∗ v 1 , … , π ∗ v k u ∈ P , v 1 , … , v k ∈ T u P {:[mu(inOmega_(T)^(k)(P,g))longleftrightarrow widehat(mu)(inOmega^(k)(M,Ad(P)))],[(u*mu_(u)(v_(1),dots,v_(k))= widehat(mu)_(pi(u))(pi_(**)(v_(1)),dots,pi_(**)(v_(k)))quad(u in P,v_(1),dots,v_(k)inT_(u)P):}]:}\begin{gathered} \mu\left(\in \Omega_{\mathcal{T}}^{k}(P, \mathfrak{g})\right) \longleftrightarrow \widehat{\mu}\left(\in \Omega^{k}(M, \operatorname{Ad}(P))\right) \\ \left(u \cdot \mu_{u}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=\widehat{\mu}_{\pi(u)}\left(\pi_{*}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \ldots, \pi_{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\right) \quad\left(u \in P, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{u} P\right)\right. \end{gathered}μ(∈ΩTk(P,g))⟷μ^(∈Ωk(M,Ad(P)))(u⋅μu(v1,…,vk)=μ^π(u)(π∗(v1),…,π∗(vk))(u∈P,v1,…,vk∈TuP)
任意の ω 1 , ω 2 ∈ A P ∞ ω 1 , ω 2 ∈ A P ∞ omega_(1),omega_(2)inA_(P)^(oo)\omega_{1}, \omega_{2} \in \mathcal{A}_{P}^{\infty}ω1,ω2∈AP∞ に対して,明らかに, ω 1 − ω 2 ω 1 − ω 2 omega_(1)-omega_(2)\omega_{1}-\omega_{2}ω1−ω2 は Ω T 1 ( P , g ) Ω T 1 ( P , g ) Omega_(T)^(1)(P,g)\Omega_{T}^{1}(P, \mathfrak{g})ΩT1(P,g) ( ≈ Ω 1 ( M , Ad ( P ) ) ) ≈ Ω 1 ( M , Ad ( P ) ) (~~Omega^(1)(M,Ad(P)))\left(\approx \Omega^{1}(M, \operatorname{Ad}(P))\right)(≈Ω1(M,Ad(P))) の元となり, A P ∞ A P ∞ A_(P)^(oo)\mathcal{A}_{P}^{\infty}AP∞ が Ω T 1 ( P , g ) Ω T 1 ( P , g ) Omega_(T)^(1)(P,g)\Omega_{\mathcal{T}}^{1}(P, \mathfrak{g})ΩT1(P,g) を付随するベクトル空間と してもつアフィン空間であることがわかる.
次に, 主バンドルの C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続の曲率形式, および曲率テンソル場を定義す る. 作用素 D ω : Ω k ( P , g ) → Ω k + 1 ( P , g ) D ω : Ω k ( P , g ) → Ω k + 1 ( P , g ) D^(omega):Omega^(k)(P,g)rarrOmega^(k+1)(P,g)D^{\omega}: \Omega^{k}(P, \mathfrak{g}) \rightarrow \Omega^{k+1}(P, \mathfrak{g})Dω:Ωk(P,g)→Ωk+1(P,g) を
( D ω μ ) u ( v 1 , … , v k + 1 ) := ( d μ ) u ( ( v 1 ) H , … , ( v k + 1 ) H ) ( u ∈ P , v 1 , … , v k + 1 ∈ T u P ) D ω μ u v 1 , … , v k + 1 := ( d μ ) u v 1 H , … , v k + 1 H u ∈ P , v 1 , … , v k + 1 ∈ T u P {:[(D^(omega)mu)_(u)(v_(1),dots,v_(k+1)):=(d mu)_(u)((v_(1))_(H),dots,(v_(k+1))_(H))],[(u in P,v_(1),dots,v_(k+1)inT_(u)P)]:}\begin{array}{r} \left(D^{\omega} \mu\right)_{u}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k+1}\right):=(d \mu)_{u}\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}\right)_{\mathcal{H}}, \ldots,\left(\boldsymbol{v}_{k+1}\right)_{\mathcal{H}}\right) \\ \left(u \in P, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k+1} \in T_{u} P\right) \end{array}(Dωμ)u(v1,…,vk+1):=(dμ)u((v1)H,…,(vk+1)H)(u∈P,v1,…,vk+1∈TuP)
によって定義する. ここで ( v i ) H v i H (v_(i))_(H)\left(\boldsymbol{v}_{i}\right)_{\mathcal{H}}(vi)H は, v i v i v_(i)\boldsymbol{v}_{i}vi の水平成分を表す. この作用素 D ω D ω D^(omega)D^{\omega}Dω は，共変外微分作用素（covariant exterior derivative）とよばれる。 ω ω omega\omegaω を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 G G GGG バンドル π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続とする. ω ω omega\omegaω の共変外微分 D ω ω D ω ω D^(omega)omegaD^{\omega} \omegaDωω を ω ω omega\omegaω の曲率形式（curvature form）といい, Ω Ω Omega\OmegaΩ と表す. Ω Ω Omega\OmegaΩ は, P P PPP 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級テ ンソリアル 2 次微分形式なので, Ω Ω Omega\OmegaΩ に対応する Ω 2 ( M , Ad ( P ) ) Ω 2 ( M , Ad ( P ) ) Omega^(2)(M,Ad(P))\Omega^{2}(M, \operatorname{Ad}(P))Ω2(M,Ad(P)) の元が（一意 に）存在する。これを R ω R ω R^(omega)R^{\omega}Rω で表し， C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続 ω ω omega\omegaω の曲率テンソル場とよぶ. C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞接続 ω ω omega\omegaω とその曲率形式 Ω Ω Omega\OmegaΩ の間には, 次の関係式が成り立つ：
(6.3.1) d ω + 1 2 [ ω ∧ ω ] = Ω (6.3.1) d ω + 1 2 [ ω ∧ ω ] = Ω {:(6.3.1)d omega+(1)/(2)[omega^^omega]=Omega:}\begin{equation*} d \omega+\frac{1}{2}[\omega \wedge \omega]=\Omega \tag{6.3.1} \end{equation*}(6.3.1)dω+12[ω∧ω]=Ω
ここで [ ω ∧ ω ] [ ω ∧ ω ] [omega^^omega][\omega \wedge \omega][ω∧ω] は, 次式によって定義される P P PPP 上の g g g\mathfrak{g}g に値をとる 2 次微分形式 を表す：
[ ω ∧ ω ] u ( v , w ) := [ ω u ( v ) , ω u ( w ) ] − [ ω u ( w ) , ω u ( v ) ] ( = 2 [ ω u ( v ) , ω u ( w ) ] ) ( u ∈ P , v , w ∈ T u P ) [ ω ∧ ω ] u ( v , w ) := ω u ( v ) , ω u ( w ) − ω u ( w ) , ω u ( v ) = 2 ω u ( v ) , ω u ( w ) u ∈ P , v , w ∈ T u P {:[{:[omega^^omega]_(u)(v","w):=[omega_(u)(v),omega_(u)(w)]-[omega_(u)(w),omega_(u)(v)](=2[omega_(u)(v),omega_(u)(w)]):}],[(u in P,v,w inT_(u)P)]:}\begin{array}{r} {[\omega \wedge \omega]_{u}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\left[\omega_{u}(\boldsymbol{v}), \omega_{u}(\boldsymbol{w})\right]-\left[\omega_{u}(\boldsymbol{w}), \omega_{u}(\boldsymbol{v})\right]\left(=2\left[\omega_{u}(\boldsymbol{v}), \omega_{u}(\boldsymbol{w})\right]\right)} \\ \left(u \in P, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{u} P\right) \end{array}[ω∧ω]u(v,w):=[ωu(v),ωu(w)]−[ωu(w),ωu(v)](=2[ωu(v),ωu(w)])(u∈P,v,w∈TuP)
ρ : G → G L ( V ) ρ : G → G L ( V ) rho:G rarr GL(V)\rho: G \rightarrow G L(V)ρ:G→GL(V) を G G GGG の表現とし, G G GGG バンドル π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M の表現 ρ ρ rho\rhoρ によ る同伴ベクトルバンドル π ρ : P × ρ V → M π ρ : P × ρ V → M pi_(rho):Pxx_(rho)V rarr M\pi_{\rho}: P \times_{\rho} V \rightarrow Mπρ:P×ρV→M を考える. 簡単のため, E := E := E:=E:=E:= P × ρ V P × ρ V Pxx_(rho)VP \times_{\rho} VP×ρV とおく. 実は, G G GGG バンドル P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続の全体 A P ∞ A P ∞ A_(P)^(oo)\mathcal{A}_{P}^{\infty}AP∞ からベクトルバ ンドル E E EEE の接続の全体（これを A E A E A_(E)\mathcal{A}_{E}AE と表す）への自然な埋め込みを次のよう に構成することができる. ω ω omega\omegaω を G G GGG バンドル P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続とする. v ∈ V v ∈ V v in V\boldsymbol{v} \in Vv∈V に対 し, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 写像 η v : P → E η v : P → E eta_(v):P rarr E\eta_{v}: P \rightarrow Eηv:P→E を
η v ( u ) := [ ( u , v ) ] ( u ∈ P ) η v ( u ) := [ ( u , v ) ] ( u ∈ P ) eta_(v)(u):=[(u,v)]quad(u in P)\eta_{\boldsymbol{v}}(u):=[(u, \boldsymbol{v})] \quad(u \in P)ηv(u):=[(u,v)](u∈P)
で定義する. この写像を用いて, ω ω omega\omegaω に関する水平分布 H H H\mathcal{H}H から, E E EEE 上の水平分布 H E H E H_(E)\mathcal{H}_{E}HE を
( H E ) [ ( u , v ) ] := ( d η v ) u ( H u ) ( [ ( u , v ) ] ∈ E ) H E [ ( u , v ) ] := d η v u H u ( [ ( u , v ) ] ∈ E ) (H_(E))_([(u,v)]):=(deta_(v))_(u)(H_(u))quad([(u,v)]in E)\left(\mathcal{H}_{E}\right)_{[(u, \boldsymbol{v})]}:=\left(d \eta_{v}\right)_{u}\left(\mathcal{H}_{u}\right) \quad([(u, \boldsymbol{v})] \in E)(HE)[(u,v)]:=(dηv)u(Hu)([(u,v)]∈E)
によって矛盾なく定義することができる。 この水平分布による M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線 c : [ 0 , 1 ] → M c : [ 0 , 1 ] → M c:[0,1]rarr Mc:[0,1] \rightarrow Mc:[0,1]→M の [ ( u , v ) ] ∈ E c ( 0 ) [ ( u , v ) ] ∈ E c ( 0 ) [(u,v)]inE_(c(0))[(u, \boldsymbol{v})] \in E_{c(0)}[(u,v)]∈Ec(0) を発する水平リフトが上述のように定義 される. この水平リフトを c ^ [ ( u , v ) ] L c ^ [ ( u , v ) ] L hat(c)_([(u,v)])^(L)\hat{c}_{[(u, v)]}^{L}c^[(u,v)]L と表すことにする. この水平リフトを用い て, c c ccc に沿う平行移動 P ^ c : E c ( 0 ) → E c ( 1 ) P ^ c : E c ( 0 ) → E c ( 1 ) hat(P)_(c):E_(c(0))rarrE_(c(1))\hat{P}_{c}: E_{c(0)} \rightarrow E_{c(1)}P^c:Ec(0)→Ec(1) が,
P ^ c ( [ ( u , v ) ] ) := c ^ [ ( u , v ) ] L ( 1 ) ( v ∈ E c ( 0 ) ) P ^ c ( [ ( u , v ) ] ) := c ^ [ ( u , v ) ] L ( 1 ) v ∈ E c ( 0 ) hat(P)_(c)([(u,v)]):= hat(c)_([(u,v)])^(L)(1)quad(v inE_(c(0)))\hat{P}_{c}([(u, \boldsymbol{v})]):=\hat{c}_{[(u, \boldsymbol{v})]}^{L}(1) \quad\left(\boldsymbol{v} \in E_{c(0)}\right)P^c([(u,v)]):=c^[(u,v)]L(1)(v∈Ec(0))
と定義される。 P ^ c P ^ c hat(P)_(c)\hat{P}_{c}P^c を用いて, E E EEE の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 切断 σ σ sigma\sigmaσ に対し, ∇ c ′ ( 0 ) ω σ ( ∈ E c ( 0 ) ) ∇ c ′ ( 0 ) ω σ ∈ E c ( 0 ) grad_(c^(')(0))^(omega)sigma(inE_(c(0)))\nabla_{c^{\prime}(0)}^{\omega} \sigma\left(\in E_{c(0)}\right)∇c′(0)ωσ(∈Ec(0)) を
∇ c ′ ( 0 ) ω σ := d d t | t = 0 P ^ c ∣ [ 0 , t ] − 1 ( σ ( c ( t ) ) ) ∇ c ′ ( 0 ) ω σ := d d t t = 0 P ^ c ∣ [ 0 , t ] − 1 ( σ ( c ( t ) ) ) grad_(c^(')(0))^(omega)sigma:=(d)/(dt)|_(t=0) hat(P)_(c∣[0,t])^(-1)(sigma(c(t)))\nabla_{c^{\prime}(0)}^{\omega} \sigma:=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \hat{P}_{c \mid[0, t]}^{-1}(\sigma(c(t)))∇c′(0)ωσ:=ddt|t=0P^c∣[0,t]−1(σ(c(t)))
で定義する. さらに, X ∈ X ( M ) X ∈ X ( M ) X inX(M)\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M)X∈X(M) と E E EEE の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 切断 σ σ sigma\sigmaσ に対し, E E EEE の切断 ∇ X σ ∇ X σ grad_(X)sigma\nabla_{\boldsymbol{X}} \sigma∇Xσ を
( ∇ X ω σ ) p := ∇ X p ω σ ( p ∈ M ) ∇ X ω σ p := ∇ X p ω σ ( p ∈ M ) (grad_(X)^(omega)sigma)_(p):=grad_(X_(p))^(omega)sigmaquad(p in M)\left(\nabla_{\boldsymbol{X}}^{\omega} \sigma\right)_{p}:=\nabla_{\boldsymbol{X}_{p}}^{\omega} \sigma \quad(p \in M)(∇Xωσ)p:=∇Xpωσ(p∈M)
で定義する. このとき, ∇ ω : X ( M ) × Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) ∇ ω : X ( M ) × Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) grad^(omega):X(M)xxGamma^(oo)(E)rarrGamma^(oo)(E)\nabla^{\omega}: \mathcal{X}(M) \times \Gamma^{\infty}(E) \rightarrow \Gamma^{\infty}(E)∇ω:X(M)×Γ∞(E)→Γ∞(E) は, ベクトルバンド
ル E E EEE の接続になる. このように, G G GGG バンドル P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続 ω ω omega\omegaω からベクトル バンドル E E EEE の接続 ∇ ω ∇ ω grad^(omega)\nabla^{\omega}∇ω を構成することができる. ω ω omega\omegaω に ∇ ω ∇ ω grad^(omega)\nabla^{\omega}∇ω を対応させる対応 は, A P ∞ A P ∞ A_(P)^(oo)\mathcal{A}_{P}^{\infty}AP∞ から A E A E A_(E)\mathcal{A}_{E}AE への自然な埋め込みを与える.
例 6.3.1 5.5 節の例 5.5 .5 で述べたように, n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体 M M MMM の枠バンド ル F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の表現 ρ ρ rho\rhoρ （例 5.5.5 で述べたもの）による同伴ベクトルバンドル F ( M ) × ρ R n F ( M ) × ρ R n F(M)xx_(rho)R^(n)\mathcal{F}(M) \times{ }_{\rho} \mathbb{R}^{n}F(M)×ρRn は，接ベクトルバンドル T M T M TMT MTM と同一視される。そゆえ, F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続の全体 A F ( M ) ∞ A F ( M ) ∞ A_(F(M))^(oo)\mathcal{A}_{\mathcal{F}(M)}^{\infty}AF(M)∞ は T M T M TMT MTM の接続, つまり, M M MMM のアフィン接続の全体 A T M A T M A_(TM)\mathcal{A}_{T M}ATM の中へ自然に埋め込まれる。実は， A F ( M ) ∞ A F ( M ) ∞ A_(F(M))^(oo)\mathcal{A}_{\mathcal{F}(M)}^{\infty}AF(M)∞ と A T M A T M A_(TM)\mathcal{A}_{T M}ATM は，上述の対応によ り 1 対 1 に対応することが示される.
F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の随伴バンドル Ad ( F ( M ) ) Ad ( F ( M ) ) Ad(F(M))\operatorname{Ad}(\mathcal{F}(M))Ad(F(M)) は, 次の対応により, M M MMM の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テン ソルバンドル T ( 1 , 1 ) M T ( 1 , 1 ) M T^((1,1))MT^{(1,1)} MT(1,1)M と同一視される：
[ ( u , A ) ] ⟷ ψ u ∘ A ∘ ψ u − 1 ( u ∈ F ( M ) , A ∈ g l ( n , R ) ) [ ( u , A ) ] ⟷ ψ u ∘ A ∘ ψ u − 1 ( u ∈ F ( M ) , A ∈ g l ( n , R ) ) [(u,A)]longleftrightarrowpsi_(u)@A@psi_(u)^(-1)quad(u inF(M),quad A ingl(n,R))[(u, A)] \longleftrightarrow \psi_{u} \circ A \circ \psi_{u}^{-1} \quad(u \in \mathcal{F}(M), \quad A \in \mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}))[(u,A)]⟷ψu∘A∘ψu−1(u∈F(M),A∈gl(n,R))
ここで ψ u ψ u psi_(u)\psi_{u}ψu は, ψ u ( x 1 , … , x n ) := ∑ i = 1 n x i e i ( u = ( e 1 , … , e n ) ) ψ u x 1 , … , x n := ∑ i = 1 n   x i e i u = e 1 , … , e n psi_(u)(x_(1),dots,x_(n)):=sum_(i=1)^(n)x_(i)e_(i)(u=(e_(1),dots,e_(n)))\psi_{u}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \boldsymbol{e}_{i}\left(u=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right)ψu(x1,…,xn):=∑i=1nxiei(u=(e1,…,en)) で定義される R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn から T π ( u ) M T π ( u ) M T_(pi(u))MT_{\pi(u)} MTπ(u)M への線形同型写像を表す. この同一視の下に, Ω T 2 ( F ( M ) Ω T 2 ( F ( M ) Omega_(T)^(2)(F(M)\Omega_{\mathcal{T}}^{2}(\mathcal{F}(M)ΩT2(F(M), g l ( n , R ) ) g l ( n , R ) ) gl(n,R))\mathfrak{g l}(n, \mathbb{R}))gl(n,R)) は, Ω 2 ( M , T ( 1 , 1 ) ( M ) ) ( ⊂ Γ ∞ ( T ( 1 , 3 ) M ) ) Ω 2 M , T ( 1 , 1 ) ( M ) ⊂ Γ ∞ T ( 1 , 3 ) M Omega^(2)(M,T^((1,1))(M))quad(subGamma^(oo)(T^((1,3))M))\Omega^{2}\left(M, T^{(1,1)}(M)\right) \quad\left(\subset \Gamma^{\infty}\left(T^{(1,3)} M\right)\right)Ω2(M,T(1,1)(M))(⊂Γ∞(T(1,3)M)) と同一視されるので, F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の接続 ω ω omega\omegaω の曲率テンソル場 R ω R ω R^(omega)R^{\omega}Rω は, M M MMM 上の第 1 成分と第 2 成分に関し て歪対称な C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) (1,3)(1,3)(1,3) 次テンソル場とみなされる. 実は, R ω R ω R^(omega)R^{\omega}Rω は, ω ω omega\omegaω に対応 する M M MMM のアフィン接続 ∇ ω ∇ ω grad^(omega)\nabla^{\omega}∇ω の曲率テンソル場と一致する.
例 6.3.2 5.5 節の例 5.5.6 で述べたように, n n nnn 次元 C ∞ リ ー マ ン C ∞ リ ー マ ン C^(oo)リーマンC^{\infty} リ ー マ ンC∞リーマン 多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の正規直交枠バンドル O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の表現 ρ ρ rho\rhoρ （例 5.5.6 で述べたもの）によ る同伴ベクトルバンドル O ( M ) × ρ R n O ( M ) × ρ R n O(M)xx_(rho)R^(n)\mathcal{O}(M) \times_{\rho} \mathbb{R}^{n}O(M)×ρRn は，接ベクトルバンドル T M T M TMT MTM と同一視される. それゆえ, O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続の全体 A O ( M ) ∞ A O ( M ) ∞ A_(O(M))^(oo)\mathcal{A}_{\mathcal{O}(M)}^{\infty}AO(M)∞ は, M M MMM のアフィン接続の全体 A T M A T M A_(TM)\mathcal{A}_{T M}ATM の中へ自然に埋め込まれる。 O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の接続 ω ω omega\omegaω に対応する T M T M TMT MTM の接続 ∇ ω ∇ ω grad^(omega)\nabla^{\omega}∇ω は, ∇ ω g = 0 ∇ ω g = 0 grad^(omega)g=0\nabla^{\omega} g=\mathbf{0}∇ωg=0 を満たすことが次のように示される. M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲線 c : [ 0 , 1 ] → M c : [ 0 , 1 ] → M c:[0,1]rarr Mc:[0,1] \rightarrow Mc:[0,1]→M と u = ( e 1 , … , e n ) ∈ O ( M ) , ( x 1 , … , x n ) ∈ R n u = e 1 , … , e n ∈ O ( M ) , x 1 , … , x n ∈ R n u=(e_(1),dots,e_(n))inO(M),(x_(1),dots,x_(n))inR^(n)u=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) \in \mathcal{O}(M),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}u=(e1,…,en)∈O(M),(x1,…,xn)∈Rn に対し, c c ccc の（ ω ω omega\omegaω に関する） u u uuu を発する水平リフト c u L c u L c_(u)^(L)c_{u}^{L}cuL に対し, η ( x 1 , … , x n ) ∘ c u L η x 1 , … , x n ∘ c u L eta_((x_(1),dots,x_(n)))@c_(u)^(L)\eta_{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)} \circ c_{u}^{L}η(x1,…,xn)∘cuL が, c c ccc の v = ∑ i = 1 n x i e i v = ∑ i = 1 n   x i e i v=sum_(i=1)^(n)x_(i)e_(i)\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \boldsymbol{e}_{i}v=∑i=1nxiei を発する水平リフトになることが容易に示される. この事実か ら, 平行移動 P ^ c P ^ c hat(P)_(c)\hat{P}_{c}P^c が ( T c ( 0 ) M , g c ( 0 ) ) T c ( 0 ) M , g c ( 0 ) (T_(c(0))M,g_(c(0)))\left(T_{c(0)} M, g_{c(0)}\right)(Tc(0)M,gc(0)) から ( T c ( 1 ) M , g c ( 1 ) ) T c ( 1 ) M , g c ( 1 ) (T_(c(1))M,g_(c(1)))\left(T_{c(1)} M, g_{c(1)}\right)(Tc(1)M,gc(1)) への線形等長変換であ
ること，つまり， P ^ c ∗ g c ( 1 ) = g c ( 0 ) P ^ c ∗ g c ( 1 ) = g c ( 0 ) hat(P)_(c)^(**)g_(c(1))=g_(c(0))\hat{P}_{c}^{*} g_{c(1)}=g_{c(0)}P^c∗gc(1)=gc(0) が導かれ， それゆえ, ∇ ω g = 0 ∇ ω g = 0 grad^(omega)g=0\nabla^{\omega} g=\mathbf{0}∇ωg=0 が示される.実は, A O ( M ) ∞ A O ( M ) ∞ A_(O(M))^(oo)\mathcal{A}_{\mathcal{O}(M)}^{\infty}AO(M)∞ は, { ∇ ∈ C T M ∣ ∇ g = 0 } ∇ ∈ C T M ∣ ∇ g = 0 {grad inC_(TM)∣grad g=0}\left\{\nabla \in \mathcal{C}_{T M} \mid \nabla g=0\right\}{∇∈CTM∣∇g=0} と 1 対 1 対に対応することが示され る。
上述と同様に, O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の接続 ω ω omega\omegaω の曲率テンソル場 R ω R ω R^(omega)R^{\omega}Rω は, M M MMM 上の第 1 成分 と第 2 成分に関して歪対称な C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) (1,3)(1,3)(1,3) 次テンソル場とみなされる。 O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) の構造群は O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) なので, そのリー代数は s o ( n ) s o ( n ) so(n)\mathfrak{s o}(n)so(n) となり, それゆえ, g g ggg と R ω R ω R^(omega)R^{\omega}Rω の間に次の関係式が成り立つことがわかる：
g ( R ω ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R ω ( X , Y ) W , Z ) ( X , Y , Z , W ∈ X ( M ) ) g R ω ( X , Y ) Z , W = − g R ω ( X , Y ) W , Z ( X , Y , Z , W ∈ X ( M ) ) g(R^(omega)(X,Y)Z,W)=-g(R^(omega)(X,Y)W,Z)quad(X,Y,Z,W inX(M))g\left(R^{\omega}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W}\right)=-g\left(R^{\omega}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \boldsymbol{W}, \boldsymbol{Z}\right) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W} \in \mathcal{X}(M))g(Rω(X,Y)Z,W)=−g(Rω(X,Y)W,Z)(X,Y,Z,W∈X(M))

6.4 G 6.4 G 6.4 G6.4 G6.4G 構造と G G GGG 接続

この節において, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体上の G G GGG 構造, および G G GGG 接続について述べるこ とにする. M M MMM を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体とし, π : F ( M ) → M π : F ( M ) → M pi:F(M)rarr M\pi: \mathcal{F}(M) \rightarrow Mπ:F(M)→M を M M MMM の枠バンドル とする。枠バンドルは, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) バンドルである。それゆえ, G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) は F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) に自由に作用しており, π π pi\piπ はその作用の軌道写像である。Gを G L ( n , R ) G L ( n , R ) GL(n,R)G L(n, \mathbb{R})GL(n,R) の部分リー群とする。 P P PPP が F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の G G GGG 不変な C r C r C^(r)C^{r}Cr 級部分多様体で π ( P ) = M π ( P ) = M pi(P)=M\pi(P)=Mπ(P)=M となるようなものであるとき, π | P : P → M π P : P → M pi|_(P):P rarr M\left.\pi\right|_{P}: P \rightarrow Mπ|P:P→M は C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の部分 G G GGG バ ンドルになる。一般に, 枠バンドル F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の部分 G G GGG バンドルは, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の G G GGG 構造（ G G G\boldsymbol{G}G-structure of class C r ） C r ） C^(r)）C^{r} ）Cr） とよばれる.
各 G G GGG 構造が何を意味するかを考えてみよう。最初に, n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体 M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 構造を考えてみることにする. π | P : P → M π P : P → M pi|_(P):P rarr M\left.\pi\right|_{P}: P \rightarrow Mπ|P:P→M を M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 構造とする. このとき, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リーマン計量 g g ggg で ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の正規直交枠バンドルが π | P : P → M π P : P → M pi|_(P):P rarr M\left.\pi\right|_{P}: P \rightarrow Mπ|P:P→M と一致するようなものを一意的に構成する ことができる。このように, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 構造と M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リーマン 計量は 1 対 1 に対応することになる。それゆえ, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 構造は, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級リーマン計量を意味することがわかる.
G L ( n , C ) G L ( n , C ) GL(n,C)G L(n, \mathbb{C})GL(n,C) と G L ( 2 n , R ) G L ( 2 n , R ) GL(2n,R)G L(2 n, \mathbb{R})GL(2n,R) の自然な同一視の下, U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) は G L ( 2 n , R ) G L ( 2 n , R ) GL(2n,R)G L(2 n, \mathbb{R})GL(2n,R) の部分リ 一群とみなされる。それゆえ, 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体に対し、その U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 構造が 考えられる. 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体 M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 構造が何を意味するか考 えてみよう. π | P : P → M π P : P → M pi|_(P):P rarr M\left.\pi\right|_{P}: P \rightarrow Mπ|P:P→M を M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 構造とする。このとき, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の概エルミート構造 ( J , g ) ( J , g ) (J,g)(J, g)(J,g) で, ( e 1 , J p ( e 1 ) , … , e n , J p ( e 1 ) ) ( p ∈ M ) e 1 , J p e 1 , … , e n , J p e 1 ( p ∈ M ) (e_(1),J_(p)(e_(1)),dots,e_(n),J_(p)(e_(1)))quad(p in M)\left(\boldsymbol{e}_{1}, J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}\right), \ldots, \boldsymbol{e}_{n}, J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}\right)\right) \quad(p \in M)(e1,Jp(e1),…,en,Jp(e1))(p∈M)
という形の正規直交基底からなる ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の正規直交枠バンドルの部分バンド ル（これは U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) バンドルになる）が π | P : P → M π P : P → M pi|_(P):P rarr M\left.\pi\right|_{P}: P \rightarrow Mπ|P:P→M と一致するようなものを 一意的に構成することができる。このように, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 構造と M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級概エルミート構造は 1 対 1 に対応することになる。それゆえ, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 構造は, M M MMM の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級概エルミート構造を意味する. 以上, 2 つ の例から推察されるように, 多様体 M M MMM の G G GGG 構造は M M MMM の幾何構造を定め, そ れゆえ, G G GGG として様々なリー群を考えることにより, 様々な幾何学を多様体上で展開することができる.
G G GGG 構造は主バンドルなので, その接続が定義される。 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体 M M MMM の G G GGG構造の接続は, G G G\boldsymbol{G}G 接続（G-connection）とよばれる。各 G G GGG 接続は, 自然に M M MMM の枠バンドル F ( M ) F ( M ) F(M)\mathcal{F}(M)F(M) の接続に一意的に拡張され, それゆえ, その拡張され た接続に付随して接ベクトルバンドル T M T M TMT MTM のアフィン接続が定義される。 G G GGG接続が何を意味するかを考えてみよう。まず, G = O ( n ) G = O ( n ) G=O(n)G=O(n)G=O(n) の場合を考えてみ る. π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を M M MMM の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 構造とし，それに付随して定義されるリーマ ン計量を g g ggg とする. また, ω ω omega\omegaω を P P PPP の接続として定義される O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 接続とし, ω ω omega\omegaω に付随して定義される M M MMM のアフィン接続を ∇ ω ∇ ω grad^(omega)\nabla^{\omega}∇ω とする. このとき, 前節で述 べたように ∇ ω g = 0 ∇ ω g = 0 grad^(omega)g=0\nabla^{\omega} g=\mathbf{0}∇ωg=0 が成り立つ. このように, M M MMM の O ( n ) O ( n ) O(n)O(n)O(n) 接続とは, M M MMM の あるリーマン計量 g g ggg を平行にするような M M MMM のアフィン接続と解釈できる.
次に, G = U ( n ) G = U ( n ) G=U(n)G=U(n)G=U(n) の場合を考えてみよう. π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を M M MMM の U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 構造と し、 それに付随して定義される概エルミート構造を ( J , g ) ( J , g ) (J,g)(J, g)(J,g) とする。また, ω ω omega\omegaω を P P PPP の接続として定義される U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 接続とし， ω ω omega\omegaω に付随して定義される接べクト ルバンドル T M T M TMT MTM のアフィン接続を ∇ ω ∇ ω grad^(omega)\nabla^{\omega}∇ω とする. このとき, ∇ ω J = 0 , ∇ ω g = ∇ ω J = 0 , ∇ ω g = grad^(omega)J=0,quadgrad^(omega)g=\nabla^{\omega} J=\mathbf{0}, \quad \nabla^{\omega} g=∇ωJ=0,∇ωg= 0 0 0\mathbf{0}0 が成り立つ. このように, M M MMM の U ( n ) U ( n ) U(n)U(n)U(n) 接続とは, M M MMM のある概エルミート構造 ( J , g ) ( J , g ) (J,g)(J, g)(J,g) に対し, J J JJJ と g g ggg を平行にするような M M MMM のアフィン接続と解釈できる.以上 2 つの例から推察されるように, M M MMM の G G GGG 接続とは, M M MMM のある G G GGG 構造の 定めるテンソル場（または、テンソル場の族）を平行にするようなアフィン接続と解釈できる.

6.5 連続バンドルの分類定理と特性類

この節において, F = R F = R F=R\mathbb{F}=\mathbb{R}F=R, または C と し ， X C と し ， X Cとし，X\mathbb{C} と し ， XCとし，X はパラコンパクトな位相空間， G G GGG は位相群とする. パラコンパクト位相空間上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドル,
向き付けられた C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級実ベクトルバンドル, および, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級 G G GGG バンドルの分類定理，および特性類について述べることにする。

スマン多様体，および，普遍 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドルを定義しよう. m < n m < n m < nm<nm<n とす る。 F m F m F^(m)\mathbb{F}^{m}Fm から F n F n F^(n)\mathbb{F}^{n}Fn への自然な埋め込み ( ( x 1 , … , x m ) ↦ ( x 1 , … , x m , 0 , … , 0 ) ) x 1 , … , x m ↦ x 1 , … , x m , 0 , … , 0 ((x_(1),dots,x_(m))|->(x_(1),dots,x_(m),0,dots,0))\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, 0, \ldots, 0\right)\right)((x1,…,xm)↦(x1,…,xm,0,…,0)) から, G k ( F m ) G k F m G_(k)(F^(m))G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)Gk(Fm) から G k ( F n ) G k F n G_(k)(F^(n))G_{k}\left(\mathbb{F}^{n}\right)Gk(Fn) への埋め込みが定義される。この埋め込みを ι m n F ι m n F iota_(mn)^(F)\iota_{m n}^{\mathbb{F}}ιmnF と表す. このとき, 系列 { L m n F : G k ( F m ) → G k ( F n ) } 1 ≤ m < n < ∞ L m n F : G k F m → G k F n 1 ≤ m < n < ∞ {L_(mn)^(F):G_(k)(F^(m))rarrG_(k)(F^(n))}_(1 <= m < n < oo)\left\{L_{m n}^{\mathbb{F}}: G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right) \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{F}^{n}\right)\right\}_{1 \leq m<n<\infty}{LmnF:Gk(Fm)→Gk(Fn)}1≤m<n<∞ は帰納的系を 与える. この帰納的極限は, 無限次元 F F F\mathbb{F}F グラスマン多様体（infinite dimensional F F F\mathbb{F}F-Grassmannian manifold) とよばれ, G k ( F ∞ ) G k F ∞ G_(k)(F^(oo))G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)Gk(F∞) と表される。次 に, 普遍 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドルを定義しよう.グラスマン多様体 G k ( F m ) G k F m G_(k)(F^(m))G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)Gk(Fm) 上の 自明なベクトルバンドル π : G k ( F m ) × F m → G k ( F m ) π : G k F m × F m → G k F m pi:G_(k)(F^(m))xxF^(m)rarrG_(k)(F^(m))\pi: G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right) \times \mathbb{F}^{m} \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)π:Gk(Fm)×Fm→Gk(Fm) の部分ベクトルバンド ル π m , k F : E k ( F m ) → G k ( F m ) π m , k F : E k F m → G k F m pi_(m,k)^(F):E_(k)(F^(m))rarrG_(k)(F^(m))\pi_{m, k}^{\mathbb{F}}: E_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right) \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)πm,kF:Ek(Fm)→Gk(Fm) を
E k ( F m ) := ⨿ W ∈ G k ( F m ) ( { W } × W ) ( π m , k F := π | E k ( F m ) ) E k F m := ⨿ W ∈ G k F m ( { W } × W ) π m , k F := π E k F m E_(k)(F^(m)):=⨿_(W inG_(k)(F^(m)))({W}xx W)quad(pi_(m,k)^(F):= pi|_(E_(k)(F^(m))))E_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right):=\underset{W \in G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)}{\amalg}(\{W\} \times W) \quad\left(\pi_{m, k}^{\mathbb{F}}:=\left.\pi\right|_{E_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)}\right)Ek(Fm):=⨿W∈Gk(Fm)({W}×W)(πm,kF:=π|Ek(Fm))
によって定義する. このバンドルは, G k ( F m ) G k F m G_(k)(F^(m))G_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)Gk(Fm) 上のトートロジカルバンドル (tautological bundle) とよばれる。 m < n m < n m < nm<nm<n とする。 F m F m F^(m)\mathbb{F}^{m}Fm から F n へ の F n へ の F^(n)への\mathbb{F}^{n} へ のFnへの 自然な埋め込み ( ( x 1 , … , x m ) ↦ ( x 1 , … , x m , 0 , … , 0 ) ) x 1 , … , x m ↦ x 1 , … , x m , 0 , … , 0 ((x_(1),dots,x_(m))|->(x_(1),dots,x_(m),0,dots,0))\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{m}, 0, \ldots, 0\right)\right)((x1,…,xm)↦(x1,…,xm,0,…,0)) から, E k ( F m ) E k F m E_(k)(F^(m))E_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right)Ek(Fm) から E k ( F n ) E k F n E_(k)(F^(n))E_{k}\left(\mathbb{F}^{n}\right)Ek(Fn) への埋め込みが定義される. この埋め込みを ι ~ m , n F ι ~ m , n F widetilde(iota)_(m,n)^(F)\widetilde{\iota}_{m, n}^{\mathbb{F}}ι~m,nF と表す. このとき，系列 { ι ~ m n F : E k ( F m ) → E k ( F n ) } 1 ≤ m < n < ∞ ι ~ m n F : E k F m → E k F n 1 ≤ m < n < ∞ { widetilde(iota)_(mn)^(F):E_(k)(F^(m))rarrE_(k)(F^(n))}_(1 <= m < n < oo)\left\{\widetilde{\iota}_{m n}^{\mathbb{F}}: E_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right) \rightarrow E_{k}\left(\mathbb{F}^{n}\right)\right\}_{1 \leq m<n<\infty}{ι~mnF:Ek(Fm)→Ek(Fn)}1≤m<n<∞ は帰納的系を与える. この帰納的極限を E k ( F ∞ ) E k F ∞ E_(k)(F^(oo))E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)Ek(F∞) と表す. π n , k F ∘ ι ~ m , n F = ι m , n F ∘ π m , k F π n , k F ∘ ι ~ m , n F = ι m , n F ∘ π m , k F pi_(n,k)^(F)@ widetilde(iota)_(m,n)^(F)=iota_(m,n)^(F)@pi_(m,k)^(F)\pi_{n, k}^{\mathbb{F}} \circ \widetilde{\iota}_{m, n}^{\mathbb{F}}=\iota_{m, n}^{\mathbb{F}} \circ \pi_{m, k}^{\mathbb{F}}πn,kF∘ι~m,nF=ιm,nF∘πm,kF が成り立つので,系 { π n , k F } n = 1 ∞ π n , k F n = 1 ∞ {pi_(n,k)^(F)}_(n=1)^(oo)\left\{\pi_{n, k}^{\mathbb{F}}\right\}_{n=1}^{\infty}{πn,kF}n=1∞ の極限写像 π ∞ , k F : E k ( F ∞ ) → G k ( F ∞ ) π ∞ , k F : E k F ∞ → G k F ∞ pi_(oo,k)^(F):E_(k)(F^(oo))rarrG_(k)(F^(oo))\pi_{\infty, k}^{\mathbb{F}}: E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right) \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)π∞,kF:Ek(F∞)→Gk(F∞) が自然に定義される. π ∞ , k F : G k ( F ∞ ) → G k ( F ∞ ) π ∞ , k F : G k F ∞ → G k F ∞ pi_(oo,k)^(F):G_(k)(F^(oo))rarrG_(k)(F^(oo))\pi_{\infty, k}^{\mathbb{F}}: G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right) \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)π∞,kF:Gk(F∞)→Gk(F∞) は, 階数 k k kkk の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンンドルを与え る. このバンドルを, 階数 k k kkk の普遍 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンンドル（the universal F F F\mathbb{F}F-vector bundle of rank k k kkk ) という.
C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級実ベクトルバンドルの向きを定義しておこう. X X XXX とパラコンパクトな 位相空間とし, π : E → X π : E → X pi:E rarr X\pi: E \rightarrow Xπ:E→X を 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級実ベクトルバンドルとする. 各点 p ∈ X p ∈ X p in Xp \in Xp∈X に対し, ファイバー E p E p E_(p)E_{p}Ep の向き O p O p O_(p)O_{p}Op を対応させる対応 O O OOO で, 至る所連続的につながっているようなものをベクトルバンドル E E EEE の向き(an orientation of a vector bundle E E E\boldsymbol{E}E ) という. 向きの与えられた実ベクトルバ ンドルを向き付けられた実ベクトルバンドル（oriented real vector bundle) という。 C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の向き付けられた実ベクトルバンドルに対する分類空間
である無限次元有向実グラスマン多様体，および，向き付けられた普遍実べ クトルバンドルを定義しよう. m < n m < n m < nm<nm<n とする。 R m R m R^(m)\mathbb{R}^{m}Rm から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn への自然な埋め 込みから, G ~ k ( R m ) G ~ k R m widetilde(G)_(k)(R^(m))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)G~k(Rm) から G ~ k ( R n ) G ~ k R n widetilde(G)_(k)(R^(n))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right)G~k(Rn) への埋め込みが定義される. この埋め込み を ι ~ m , n R ι ~ m , n R widetilde(iota)_(m,n)^(R)\widetilde{\iota}_{m, n}^{\mathbb{R}}ι~m,nR と表す. このとき, 系列 { L m , n R , o : G ~ k ( R m ) → G ~ k ( R n ) } 1 ≤ m < n < ∞ L m , n R , o : G ~ k R m → G ~ k R n 1 ≤ m < n < ∞ {L_(m,n)^(R,o): widetilde(G)_(k)(R^(m))rarr widetilde(G)_(k)(R^(n))}_(1 <= m < n < oo)\left\{L_{m, n}^{\mathbb{R}, o}: \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right\}_{1 \leq m<n<\infty}{Lm,nR,o:G~k(Rm)→G~k(Rn)}1≤m<n<∞ は,帰納的系を与える。この帰納的極限は, 無限次元有向グラスマン多様体（infinite dimensional oriented real Grassmannian manifold) とよば れ, G ~ k ( R ∞ ) G ~ k R ∞ widetilde(G)_(k)(R^(oo))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)G~k(R∞) と表される. 向き付けられた普遍実べクトルバンドルを定義し よう. 有向実グラスマン多様体 G ~ k ( R m ) G ~ k R m widetilde(G)_(k)(R^(m))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)G~k(Rm) 上の向き付けられた実ベクトルバン ドル π ~ m , k R : E ~ k ( R m ) → G ~ k ( R m ) π ~ m , k R : E ~ k R m → G ~ k R m widetilde(pi)_(m,k)^(R): widetilde(E)_(k)(R^(m))rarr widetilde(G)_(k)(R^(m))\widetilde{\pi}_{m, k}^{\mathbb{R}}: \widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)π~m,kR:E~k(Rm)→G~k(Rm) を
E ~ k ( R m ) := ⨿ W ∈ G ~ k ( R m ) ( { W } × W ) ( π ~ m , k R := π ~ | E k ( R m ) ) E ~ k R m := ⨿ W ∈ G ~ k R m ( { W } × W ) π ~ m , k R := π ~ E k R m widetilde(E)_(k)(R^(m)):=⨿_(W in widetilde(G)_(k)(R^(m)))({W}xx W)quad( widetilde(pi)_(m,k)^(R):=( widetilde(pi))|_(E_(k)(R^(m))))\widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right):=\underset{W \in \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)}{\amalg}(\{W\} \times W) \quad\left(\widetilde{\pi}_{m, k}^{\mathbb{R}}:=\left.\widetilde{\pi}\right|_{E_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)}\right)E~k(Rm):=⨿W∈G~k(Rm)({W}×W)(π~m,kR:=π~|Ek(Rm))
によって定義する. このバンドルは, G ~ k ( R m ) G ~ k R m widetilde(G)_(k)(R^(m))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)G~k(Rm) 上のトートロジカルバンドル (tautological bundle) とよばれる. m < n m < n m < nm<nm<n とする. R m R m R^(m)\mathbb{R}^{m}Rm から R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn への自然 な埋め込みから, E ~ k ( R m ) E ~ k R m widetilde(E)_(k)(R^(m))\widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{m}\right)E~k(Rm) から E ~ k ( R n ) E ~ k R n widetilde(E)_(k)(R^(n))\widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right)E~k(Rn) への埋め込みが定義される。この埋め 込みを ι ~ m , n R , o ι ~ m , n R , o widetilde(iota)_(m,n)^(R,o)\widetilde{\iota}_{m, n}^{\mathbb{R}, o}ι~m,nR,o と表す。このとき, 系列 { ι ~ m , n R , o : E ~ k ( F m ) → E ~ k ( F n ) } 1 ≤ m < n < ∞ ι ~ m , n R , o : E ~ k F m → E ~ k F n 1 ≤ m < n < ∞ { widetilde(iota)_(m,n)^(R,o): widetilde(E)_(k)(F^(m))rarr widetilde(E)_(k)(F^(n))}_(1 <= m < n < oo)\left\{\widetilde{\iota}_{m, n}^{\mathbb{R}, o}: \widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{F}^{m}\right) \rightarrow \widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{F}^{n}\right)\right\}_{1 \leq m<n<\infty}{ι~m,nR,o:E~k(Fm)→E~k(Fn)}1≤m<n<∞ は, 帰納的系を与える。この帰納的極限を E ~ k ( R ∞ ) E ~ k R ∞ widetilde(E)_(k)(R^(oo))\widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)E~k(R∞) と表す. π ~ n , k R ∘ ι ~ m , n R , o = π ~ n , k R ∘ ι ~ m , n R , o = widetilde(pi)_(n,k)^(R)@ widetilde(iota)_(m,n)^(R,o)=\widetilde{\pi}_{n, k}^{\mathbb{R}} \circ \widetilde{\iota}_{m, n}^{\mathbb{R}, o}=π~n,kR∘ι~m,nR,o= ι m , n R , o ∘ π ~ m , k R ι m , n R , o ∘ π ~ m , k R iota_(m,n)^(R,o)@ widetilde(pi)_(m,k)^(R)\iota_{m, n}^{\mathbb{R}, o} \circ \widetilde{\pi}_{m, k}^{\mathbb{R}}ιm,nR,o∘π~m,kR が成り立つので, 系 { π ~ n , k R } n = 1 ∞ π ~ n , k R n = 1 ∞ { widetilde(pi)_(n,k)^(R)}_(n=1)^(oo)\left\{\widetilde{\pi}_{n, k}^{\mathbb{R}}\right\}_{n=1}^{\infty}{π~n,kR}n=1∞ の極限写像
π ~ ∞ , k R : E ~ k ( R ∞ ) → G ~ k ( R ∞ ) π ~ ∞ , k R : E ~ k R ∞ → G ~ k R ∞ widetilde(pi)_(oo,k)^(R): widetilde(E)_(k)(R^(oo))rarr widetilde(G)_(k)(R^(oo))\widetilde{\pi}_{\infty, k}^{\mathbb{R}}: \widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right) \rightarrow \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)π~∞,kR:E~k(R∞)→G~k(R∞)
が自然に定義される. π ~ ∞ , k R : G ~ k ( R ∞ ) → G ~ k ( R ∞ ) π ~ ∞ , k R : G ~ k R ∞ → G ~ k R ∞ widetilde(pi)_(oo,k)^(R): widetilde(G)_(k)(R^(oo))rarr widetilde(G)_(k)(R^(oo))\widetilde{\pi}_{\infty, k}^{\mathbb{R}}: \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right) \rightarrow \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)π~∞,kR:G~k(R∞)→G~k(R∞) は, 階数 k k kkk の向き付けら れた C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級実ベクトルバンドルを与える。このバンドルを, 階数 k k kkk の向き付 けられた普遍実ベクトルバンドル（the universal oriented real vector bundle of rank k k kkk ) という.
位相空間 X X XXX 上の階数 k k kkk の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドル π 1 : E 1 → X π 1 : E 1 → X pi_(1):E_(1)rarr X\pi_{1}: E_{1} \rightarrow Xπ1:E1→X と π 2 π 2 pi_(2)\pi_{2}π2 : E 2 → X E 2 → X E_(2)rarr XE_{2} \rightarrow XE2→X が同型であるとは, 同相写像 Ψ : E 1 → E 2 Ψ : E 1 → E 2 Psi:E_(1)rarrE_(2)\Psi: E_{1} \rightarrow E_{2}Ψ:E1→E2 で, 次の 2 条件を満たす ようなものが存在することをいう：
(i) π 2 ∘ Ψ = π 1 π 2 ∘ Ψ = π 1 pi_(2)@Psi=pi_(1)\pi_{2} \circ \Psi=\pi_{1}π2∘Ψ=π1;
(ii) 各点 p ∈ X p ∈ X p in Xp \in Xp∈X に対し, Ψ | ( E 1 ) p : ( E 1 ) p → ( E 2 ) p Ψ E 1 p : E 1 p → E 2 p Psi|_((E_(1))_(p)):(E_(1))_(p)rarr(E_(2))_(p)\left.\Psi\right|_{\left(E_{1}\right)_{p}}:\left(E_{1}\right)_{p} \rightarrow\left(E_{2}\right)_{p}Ψ|(E1)p:(E1)p→(E2)p は線形同型写像である.
また，位相空間 X X XXX 上の階数 k k kkk の向き付けられた C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級実ベクトルバンドル π 1 : E 1 → X π 1 : E 1 → X pi_(1):E_(1)rarr X\pi_{1}: E_{1} \rightarrow Xπ1:E1→X と π 2 : E 2 → X π 2 : E 2 → X pi_(2):E_(2)rarr X\pi_{2}: E_{2} \rightarrow Xπ2:E2→X が同型であるとは, 同相写像 Ψ : E 1 → E 2 Ψ : E 1 → E 2 Psi:E_(1)rarrE_(2)\Psi: E_{1} \rightarrow E_{2}Ψ:E1→E2 で,
次の 2 条件を満たすようなものが存在することをいう：
(i) π 2 ∘ Ψ = π 1 π 2 ∘ Ψ = π 1 pi_(2)@Psi=pi_(1)\pi_{2} \circ \Psi=\pi_{1}π2∘Ψ=π1;
(ii) 各点 p ∈ X p ∈ X p in Xp \in Xp∈X に対し, Ψ | ( E 1 ) p : ( E 1 ) p → ( E 2 ) p Ψ E 1 p : E 1 p → E 2 p Psi|_((E_(1))_(p)):(E_(1))_(p)rarr(E_(2))_(p)\left.\Psi\right|_{\left(E_{1}\right)_{p}}:\left(E_{1}\right)_{p} \rightarrow\left(E_{2}\right)_{p}Ψ|(E1)p:(E1)p→(E2)p は向きを保つ線形同型写像である.
X X XXX 上の階数 k k kkk の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドルの同型類の全体を VB k F ( X ) VB k F ( X ) VB_(k)^(F)(X)\mathrm{VB}_{k}^{\mathbb{F}}(X)VBkF(X) と 表し, X X XXX から G k ( F ∞ ) G k F ∞ G_(k)(F^(oo))G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)Gk(F∞) への連続写像のホモトピー類の全体を, [ X , G k ( F ∞ ) ] X , G k F ∞ [X,G_(k)(F^(oo))]\left[X, G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)\right][X,Gk(F∞)] と表す。また, X X XXX 上の階数 k k kkk の向き付けられた C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級実べクトルバンドルの 同型類の全体を VB ~ k R ( X ) VB ~ k R ( X ) widetilde(VB)_(k)^(R)(X)\widetilde{\mathrm{VB}}_{k}^{\mathbb{R}}(X)VB~kR(X) と表し, X X XXX から G ~ k ( R ∞ ) G ~ k R ∞ widetilde(G)_(k)(R^(oo))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)G~k(R∞) への連続写像のホモトピー 類の全体を [ X , G ~ k ( R ∞ ) ] X , G ~ k R ∞ [X, widetilde(G)_(k)(R^(oo))]\left[X, \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)\right][X,G~k(R∞)] と表す. F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドルと向き付けられた実べ クトルバンドルに対し，次の分類定理が成り立つ.
定理 6.5.1（ベクトルバンドルの分類定理） (i) [ X , G k ( F ∞ ) ] X , G k F ∞ [X,G_(k)(F^(oo))]\left[X, G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)\right][X,Gk(F∞)] から VB k F ( X ) VB k F ( X ) VB_(k)^(F)(X)\operatorname{VB}_{k}^{\mathbb{F}}(X)VBkF(X) への写像 Φ F Φ F Phi_(F)\Phi_{\mathbb{F}}ΦF を
Φ F ( [ f ] ) := [ f ∗ E k ( F ∞ ) ] ( [ f ] ∈ [ X , G k ( F ∞ ) ] ) Φ F ( [ f ] ) := f ∗ E k F ∞ [ f ] ∈ X , G k F ∞ Phi_(F)([f]):=[f^(**)E_(k)(F^(oo))]quad([f]in[X,G_(k)(F^(oo))])\Phi_{\mathbb{F}}([f]):=\left[f^{*} E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)\right] \quad\left([f] \in\left[X, G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)\right]\right)ΦF([f]):=[f∗Ek(F∞)]([f]∈[X,Gk(F∞)])
によって定義する. ここで [ f ] [ f ] [f][f][f] は, X X XXX から G k ( F ∞ ) G k F ∞ G_(k)(F^(oo))G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)Gk(F∞) への連続写像 f f fff の属 するホモトピー類を表し, [ f ∗ E k ( F ∞ ) ] f ∗ E k F ∞ [f^(**)E_(k)(F^(oo))]\left[f^{*} E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)\right][f∗Ek(F∞)] は, f f fff による誘導バンドル f ∗ E k ( F ∞ ) f ∗ E k F ∞ f^(**)E_(k)(F^(oo))f^{*} E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)f∗Ek(F∞) の属する同型類を表す。この写像 Φ F Φ F Phi_(F)\Phi_{\mathbb{F}}ΦF は全単射を与える.
(ii) [ X , G ~ k ( R ∞ ) ] X , G ~ k R ∞ [X, widetilde(G)_(k)(R^(oo))]\left[X, \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)\right][X,G~k(R∞)] から VB ~ k R ( X ) VB ~ k R ( X ) widetilde(VB)_(k)^(R)(X)\widetilde{\mathrm{VB}}_{k}^{\mathbb{R}}(X)VB~kR(X) への写像 Φ ~ R Φ ~ R widetilde(Phi)_(R)\widetilde{\Phi}_{\mathbb{R}}Φ~R を
Φ ~ R ( [ f ] ) := [ f ∗ E ~ k ( R ∞ ) ] ( [ f ] ∈ [ X , G ~ k ( R ∞ ) ] ) Φ ~ R ( [ f ] ) := f ∗ E ~ k R ∞ [ f ] ∈ X , G ~ k R ∞ widetilde(Phi)_(R)([f]):=[f^(**) widetilde(E)_(k)(R^(oo))]quad([f]in[X, widetilde(G)_(k)(R^(oo))])\widetilde{\Phi}_{\mathbb{R}}([f]):=\left[f^{*} \widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)\right] \quad\left([f] \in\left[X, \widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)\right]\right)Φ~R([f]):=[f∗E~k(R∞)]([f]∈[X,G~k(R∞)])
によって定義する. ここで, [ f ] , [ f ∗ E ~ k ( R ∞ ) ] [ f ] , f ∗ E ~ k R ∞ [f],[f^(**) widetilde(E)_(k)(R^(oo))][f],\left[f^{*} \widetilde{E}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)\right][f],[f∗E~k(R∞)] は, 上と同様なものを表 す. この写像 Φ ~ R Φ ~ R widetilde(Phi)_(R)\widetilde{\Phi}_{\mathbb{R}}Φ~R は全単射を与える.
この定理の証明の手順を述べることにする。(i) と (ii) の証明の手順はほぼ 同じなので，代表として，（i）の証明の手順を述べることにする.
(Step I) 連続写像 f i : X → G k ( F ∞ ) ( i = 1 , 2 ) f i : X → G k F ∞ ( i = 1 , 2 ) f_(i):X rarrG_(k)(F^(oo))(i=1,2)f_{i}: X \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)(i=1,2)fi:X→Gk(F∞)(i=1,2) がホモトープであることと, f 1 ∗ E k ( F ∞ ) f 1 ∗ E k F ∞ f_(1)^(**)E_(k)(F^(oo))f_{1}^{*} E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)f1∗Ek(F∞) と f 2 ∗ E k ( F ∞ ) f 2 ∗ E k F ∞ f_(2)^(**)E_(k)(F^(oo))f_{2}^{*} E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)f2∗Ek(F∞) が同型であることが同値であることを示す（この事実により， Φ F Φ F Phi_(F)\Phi_{\mathbb{F}}ΦF が well-defined であること，および，単射であることが示され る).
(Step II) X X XXX 上の任意の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級ベクトルバンドル π : E → X π : E → X pi:E rarr X\pi: E \rightarrow Xπ:E→X に対し, 連続写像 f ~ : E → R ∞ f ~ : E → R ∞ tilde(f):E rarrR^(oo)\tilde{f}: E \rightarrow \mathbb{R}^{\infty}f~:E→R∞ で, f ~ f ~ widetilde(f)\widetilde{f}f~ の各ファイバー E p E p E_(p)E_{p}Ep への制限 f ~ | E p f ~ E p ( widetilde(f))|_(E_(p))\left.\widetilde{f}\right|_{E_{p}}f~|Ep が 1 : 1 1 : 1 1:11: 11:1 の F F F\mathbb{F}F 線形写像 になるようなものが存在することを示す.
(Step III) f ~ f ~ tilde(f)\tilde{f}f~ を用いて, 連続写像 f : X → G k ( R ∞ ) f : X → G k R ∞ f:X rarrG_(k)(R^(oo))f: X \rightarrow G_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)f:X→Gk(R∞) を f ( p ) := f ~ ( E p ) ( p ∈ f ( p ) := f ~ E p ( p ∈ f(p):= widetilde(f)(E_(p))quad(p inf(p):=\widetilde{f}\left(E_{p}\right) \quad(p \inf(p):=f~(Ep)(p∈ X）によって定義する. このとき, 誘導バンドル f ∗ E k ( R ∞ ) f ∗ E k R ∞ f^(**)E_(k)(R^(oo))f^{*} E_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)f∗Ek(R∞) が E E EEE と同型であ ることを示す（この事実から， Φ F Φ F Phi_(F)\Phi_{\mathbb{F}}ΦF が全射であることが示される）.
例として, ユークリッド空間内の C r C r C^(r)C^{r}Cr リーマン部分多様体 ( r ≥ 1 ) ( r ≥ 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r≥1) の接べ クトルバンドルと法ベクトルバンドルに対し, (Step II)におけるような連続写像 f ~ f ~ tilde(f)\tilde{f}f~ の構成法, および, (Step III)におけるような f ~ f ~ widetilde(f)\widetilde{f}f~ に付随して定義され る連続写像がどのような写像になるかを説明することにする。 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を f f fff に よってはめ込まれた E n + k E n + k E^(n+k)\mathbb{E}^{n+k}En+k 内の C r C r C^(r)C^{r}Cr リーマン部分多様体 ( r ≥ 1 ) ( r ≥ 1 ) (r >= 1)(r \geq 1)(r≥1) とし, π T π T pi^(T)\pi^{T}πT : T M → M , π ⊥ : T ⊥ M → M T M → M , π ⊥ : T ⊥ M → M TM rarr M,pi^(_|_):T^(_|_)M rarr MT M \rightarrow M, \pi^{\perp}: T^{\perp} M \rightarrow MTM→M,π⊥:T⊥M→M をその接ベクトルバンドル, 法ベクトルバン ドルとする. また, R n + r R n + r R^(n+r)\mathbb{R}^{n+r}Rn+r から R ∞ R ∞ R^(oo)\mathbb{R}^{\infty}R∞ への自然な埋め込み写像をしとする. f ~ T f ~ T widetilde(f)^(T)\widetilde{f}^{T}f~T : T M → R ∞ T M → R ∞ TM rarrR^(oo)T M \rightarrow \mathbb{R}^{\infty}TM→R∞ と f ~ ⊥ : T ⊥ M → R ∞ f ~ ⊥ : T ⊥ M → R ∞ widetilde(f)^(_|_):T^(_|_)M rarrR^(oo)\widetilde{f}^{\perp}: T^{\perp} M \rightarrow \mathbb{R}^{\infty}f~⊥:T⊥M→R∞ を各々,
f ~ T ( v ) := ( ι ∘ d f π T ( v ) ) ( v ) ( v ∈ T M ) f ~ ⊥ ( ξ ) := ι ( ξ ) ( ξ ∈ T ⊥ M ) f ~ T ( v ) := ι ∘ d f π T ( v ) ( v ) ( v ∈ T M ) f ~ ⊥ ( ξ ) := ι ( ξ ) ξ ∈ T ⊥ M {:[ widetilde(f)^(T)(v):=(iota@df_(pi^(T)(v)))(v)quad(v in TM)],[ widetilde(f)^(_|_)(xi):=iota(xi)quad(xi inT^(_|_)M)]:}\begin{aligned} \widetilde{f}^{T}(\boldsymbol{v}) & :=\left(\iota \circ d f_{\pi^{T}(\boldsymbol{v})}\right)(\boldsymbol{v}) \quad(\boldsymbol{v} \in T M) \\ \widetilde{f}^{\perp}(\xi) & :=\iota(\xi) \quad\left(\xi \in T^{\perp} M\right) \end{aligned}f~T(v):=(ι∘dfπT(v))(v)(v∈TM)f~⊥(ξ):=ι(ξ)(ξ∈T⊥M)
と定義する. ここで d f π ( v ) ( v ) d f π ( v ) ( v ) df_(pi(v))(v)d f_{\pi(\boldsymbol{v})}(\boldsymbol{v})dfπ(v)(v) は, T f ( π T ( v ) ) R n + k T f π T ( v ) R n + k T_(f(pi^(T)(v)))R^(n+k)T_{f\left(\pi^{T}(\boldsymbol{v})\right)} \mathbb{R}^{n+k}Tf(πT(v))Rn+k と R n + k R n + k R^(n+k)\mathbb{R}^{n+k}Rn+k の同一視の下, R n + k R n + k R^(n+k)\mathbb{R}^{n+k}Rn+k の元とみなしており, 第 2 式の右辺の ξ ξ xi\xiξ は, T f ( π ⊥ ( ξ ) ) R n + k T f π ⊥ ( ξ ) R n + k T_(f(pi^(_|_)(xi)))R^(n+k)T_{f\left(\pi^{\perp}(\xi)\right)} \mathbb{R}^{n+k}Tf(π⊥(ξ))Rn+k と R n + k R n + k R^(n+k)\mathbb{R}^{n+k}Rn+k の 同一視の下, R n + k R n + k R^(n+k)\mathbb{R}^{n+k}Rn+k の元とみなしている。このとき, 各点 p ∈ M p ∈ M p in Mp \in Mp∈M に対し, f ~ T | T p M = ι ∘ d f p , f ~ ⊥ | T p ⊥ M = ι ∘ ι p ⊥ （ ι p ⊥ : T p ⊥ M f ~ T T p M = ι ∘ d f p , f ~ ⊥ T p ⊥ M = ι ∘ ι p ⊥ （ ι p ⊥ : T p ⊥ M tilde(f)^(T)|_(T_(p)M)=iota@df_(p), quad tilde(f)^(_|_)|_(T_(p)^(_|_)M)=iota@iota_(p)^(_|_)（iota_(p)^(_|_):T_(p)^(_|_)M\left.\tilde{f}^{T}\right|_{T_{p} M}=\iota \circ d f_{p},\left.\quad \tilde{f}^{\perp}\right|_{T_{p}^{\perp} M}=\iota \circ \iota_{p}^{\perp} （ \iota_{p}^{\perp}: T_{p}^{\perp} Mf~T|TpM=ι∘dfp,f~⊥|Tp⊥M=ι∘ιp⊥（ιp⊥:Tp⊥M から R n + r R n + r R^(n+r)\mathbb{R}^{n+r}Rn+r への包含写像）と なるので, f ~ T | T p M , f ~ ⊥ | T p ⊥ M f ~ T T p M , f ~ ⊥ T p ⊥ M tilde(f)^(T)|_(T_(p)M), tilde(f)^(_|_)|_(T_(p)^(_|_)M)\left.\tilde{f}^{T}\right|_{T_{p} M},\left.\tilde{f}^{\perp}\right|_{T_{p}^{\perp} M}f~T|TpM,f~⊥|Tp⊥M が1:1の線形写像であることがわかる. このよ うに, f ~ T , f ~ ⊥ f ~ T , f ~ ⊥ widetilde(f)^(T), widetilde(f)^(_|_)\widetilde{f}^{T}, \widetilde{f}^{\perp}f~T,f~⊥ は各々, T M , T ⊥ M T M , T ⊥ M TM,T^(_|_)MT M, T^{\perp} MTM,T⊥M に対して定義される（Step II）における ような連続写像を与える。これら写像に付随して定義される（Step III）に おける連続写像を f T , f ⊥ f T , f ⊥ f^(T),f^(_|_)f^{T}, f^{\perp}fT,f⊥ とするとき,
f T ( p ) = ι ( d f p ( T p M ) ) = ι ( ν T ( p ) ) , f ⊥ ( p ) = ι ( T p ⊥ M ) = ι ( ν ⊥ ( p ) ) ( p ∈ M ) f T ( p ) = ι d f p T p M = ι ν T ( p ) , f ⊥ ( p ) = ι T p ⊥ M = ι ν ⊥ ( p ) ( p ∈ M ) f^(T)(p)=iota(df_(p)(T_(p)M))=iota(nu_(T)(p)),quadf^(_|_)(p)=iota(T_(p)^(_|_)M)=iota(nu_(_|_)(p))quad(p in M)f^{T}(p)=\iota\left(d f_{p}\left(T_{p} M\right)\right)=\iota\left(\nu_{T}(p)\right), \quad f^{\perp}(p)=\iota\left(T_{p}^{\perp} M\right)=\iota\left(\nu_{\perp}(p)\right) \quad(p \in M)fT(p)=ι(dfp(TpM))=ι(νT(p)),f⊥(p)=ι(Tp⊥M)=ι(ν⊥(p))(p∈M)
が成り立つ. ここで, ν T , ν ⊥ ν T , ν ⊥ nu_(T),nu_(_|_)\nu_{T}, \nu_{\perp}νT,ν⊥ は各々, f f fff の接ガウス写像と法ガウス写像を表 す. このように, f T = ι ∘ ν T , f ⊥ = ι ∘ ν ⊥ f T = ι ∘ ν T , f ⊥ = ι ∘ ν ⊥ f^(T)=iota@nu_(T),f^(_|_)=iota@nu_(_|_)f^{T}=\iota \circ \nu_{T}, f^{\perp}=\iota \circ \nu_{\perp}fT=ι∘νT,f⊥=ι∘ν⊥ が示される.
次に, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の G G GGG バンドルに対する分類空間を定義しよう。最初に, 2 つの 位相空間のジョインを定義しておこう. X , Y X , Y X,YX, YX,Y を位相空間とする. X × Y × X × Y × X xx Y xxX \times Y \timesX×Y×
[0,1] における同値関係 〜 を
( p 1 , q 1 , t 1 ) ∼ ( p 2 , q 2 , t 2 ) ⟺ def { ( p 1 , q 1 , t 1 ) = ( p 2 , q 2 , t 2 ) または p 1 = p 2 かつ t 1 = t 2 = 0 または q 1 = q 2 かつ t 1 = t 2 = 1 p 1 , q 1 , t 1 ∼ p 2 , q 2 , t 2 ⟺  def  p 1 , q 1 , t 1 = p 2 , q 2 , t 2  または  p 1 = p 2  かつ  t 1 = t 2 = 0  または  q 1 = q 2  かつ  t 1 = t 2 = 1 (p_(1),q_(1),t_(1))∼(p_(2),q_(2),t_(2))Longleftrightarrow_(" def "){[(p_(1),q_(1),t_(1))=(p_(2),q_(2),t_(2))],[" または "],[p_(1)=p_(2)quad" かつ "t_(1)=t_(2)=0],[" または "],[q_(1)=q_(2)" かつ "t_(1)=t_(2)=1]:}\left(p_{1}, q_{1}, t_{1}\right) \sim\left(p_{2}, q_{2}, t_{2}\right) \underset{\text { def }}{\Longleftrightarrow}\left\{\begin{array}{c} \left(p_{1}, q_{1}, t_{1}\right)=\left(p_{2}, q_{2}, t_{2}\right) \\ \text { または } \\ p_{1}=p_{2} \quad \text { かつ } t_{1}=t_{2}=0 \\ \text { または } \\ q_{1}=q_{2} \text { かつ } t_{1}=t_{2}=1 \end{array}\right.(p1,q1,t1)∼(p2,q2,t2)⟺ def {(p1,q1,t1)=(p2,q2,t2) または p1=p2 かつ t1=t2=0 または q1=q2 かつ t1=t2=1
によって定義する。この同値関係による商位相空間 ( X × Y × [ 0 , 1 ] ) / ∼ を X ( X × Y × [ 0 , 1 ] ) / ∼ を X (X xx Y xx[0,1])//∼をX(X \times Y \times[0,1]) / \sim を X(X×Y×[0,1])/∼をX と Y Y YYY のジョイン（join）といい, X ∗ Y X ∗ Y X**YX * YX∗Y と表す. ι X X ∗ Y : X → X ∗ Y ι X X ∗ Y : X → X ∗ Y iota_(X)^(X**Y):X rarr X**Y\iota_{X}^{X * Y}: X \rightarrow X * YιXX∗Y:X→X∗Y を
ι X X ∗ Y ( p ) := [ ( p , q , 0 ) ] ( p ∈ X ) ι X X ∗ Y ( p ) := [ ( p , q , 0 ) ] ( p ∈ X ) iota_(X)^(X**Y)(p):=[(p,q,0)]quad(p in X)\iota_{X}^{X * Y}(p):=[(p, q, 0)] \quad(p \in X)ιXX∗Y(p):=[(p,q,0)](p∈X)
で定める. ここで, [ ∙ ] [ ∙ ] [∙][\bullet][∙] は・の属する同値類を表す. k k kkk 個の X X XXX のジョイン X ∗ X ∗ X**X *X∗ ⋯ ∗ X ⋯ ∗ X cdots**X\cdots * X⋯∗X を ∗ k X ∗ k X **^(k)X*^{k} X∗kX と表すことにする。また, 便宜上, X X XXX を ∗ 1 X ∗ 1 X **^(1)X*^{1} X∗1X と表すことにす る。 0 以上の整数 m < n m < n m < nm<nm<n に対し， ι m n : ∗ m X → ∗ n X ι m n : ∗ m X → ∗ n X iota_(m)^(n):**^(m)X rarr**^(n)X\iota_{m}^{n}: *^{m} X \rightarrow *^{n} Xιmn:∗mX→∗nX を ι m := ι ∗ ( n − 1 ) X ∗ n X ∘ ⋯ ∘ ι m := ι ∗ ( n − 1 ) X ∗ n X ∘ ⋯ ∘ iota m:=iota_(**(n-1)X)^(**^(n)X)@cdots@\iota m:=\iota_{*(n-1) X}^{*^{n} X} \circ \cdots \circιm:=ι∗(n−1)X∗nX∘⋯∘ ι ∗ m X ∗ m + 1 X ι ∗ m X ∗ m + 1 X iota_(**^(m)X)^(**^(m+1)X)\iota_{*^{m} X}^{*^{m+1} X}ι∗mX∗m+1X によって定義する。このとき, 系列 { ι m n : ∗ m X → ∗ n X } 0 ≤ m < n < ∞ ι m n : ∗ m X → ∗ n X 0 ≤ m < n < ∞ {iota_(m)^(n):**^(m)X rarr**^(n)X}_(0 <= m < n < oo)\left\{\iota_{m}^{n}: *^{m} X \rightarrow *^{n} X\right\}_{0 \leq m<n<\infty}{ιmn:∗mX→∗nX}0≤m<n<∞ は,帰納的系になる。 位相群 G G GGG に対し, 帰納的系 { ι m n : ∗ m G → ∗ n G } 1 ≤ m < n < ∞ ι m n : ∗ m G → ∗ n G 1 ≤ m < n < ∞ {iota_(m)^(n):**^(m)G rarr**^(n)G}_(1 <= m < n < oo)\left\{\iota_{m}^{n}: *^{m} G \rightarrow *^{n} G\right\}_{1 \leq m<n<\infty}{ιmn:∗mG→∗nG}1≤m<n<∞ の帰納的極限 lim ∗ k G lim ∗ k G lim**^(k)G\lim *^{k} Glim∗kG を E ∞ G E ∞ G E_(oo)^(G)E_{\infty}^{G}E∞G と表す。また, 便宜上, ∗ k G ∗ k G **^(k)G*^{k} G∗kG を E k G E k G E_(k)^(G)E_{k}^{G}EkG と表す. G G GGG の ∗ k G ∗ k G **^(k)G*^{k} G∗kG への作用を
g ⋅ [ ( [ ( ⋯ [ ( [ ( g 1 , g 2 , t 1 ) ] , g 3 , t 2 ) ] , … , g k , t k − 1 ) ] , g k + 1 , t k ) ] := [ ( [ ( ⋯ [ ( [ ( g g 1 , g g 2 , t 1 ) ] , g g 3 , t 2 ) ] , … , g g k , t k − 1 ) ] , g g k + 1 , t k ) ] ( g ∈ G , [ ( [ ( ⋯ [ ( [ ( g 1 , g 2 , t 1 ) ] , g 3 , t 2 ) ] , … , g k , t k − 1 ) ] , g k + 1 , t k ) ] ∈ ∗ k X ) g ⋅ ⋯ g 1 , g 2 , t 1 , g 3 , t 2 , … , g k , t k − 1 , g k + 1 , t k := ⋯ g g 1 , g g 2 , t 1 , g g 3 , t 2 , … , g g k , t k − 1 , g g k + 1 , t k g ∈ G , ⋯ g 1 , g 2 , t 1 , g 3 , t 2 , … , g k , t k − 1 , g k + 1 , t k ∈ ∗ k X {:[g*[([(cdots[([(g_(1),g_(2),t_(1))],g_(3),t_(2))],dots,g_(k),t_(k-1))],g_(k+1),t_(k))]],[quad:=[([(cdots[([(gg_(1),gg_(2),t_(1))],gg_(3),t_(2))],dots,gg_(k),t_(k-1))],gg_(k+1),t_(k))]],[(g in G,quad[([(cdots[([(g_(1),g_(2),t_(1))],g_(3),t_(2))],dots,g_(k),t_(k-1))],g_(k+1),t_(k))]in**^(k)X)]:}\begin{aligned} & g \cdot\left[\left(\left[\left(\cdots\left[\left(\left[\left(g_{1}, g_{2}, t_{1}\right)\right], g_{3}, t_{2}\right)\right], \ldots, g_{k}, t_{k-1}\right)\right], g_{k+1}, t_{k}\right)\right] \\ & \quad:=\left[\left(\left[\left(\cdots\left[\left(\left[\left(g g_{1}, g g_{2}, t_{1}\right)\right], g g_{3}, t_{2}\right)\right], \ldots, g g_{k}, t_{k-1}\right)\right], g g_{k+1}, t_{k}\right)\right] \\ & \left(g \in G, \quad\left[\left(\left[\left(\cdots\left[\left(\left[\left(g_{1}, g_{2}, t_{1}\right)\right], g_{3}, t_{2}\right)\right], \ldots, g_{k}, t_{k-1}\right)\right], g_{k+1}, t_{k}\right)\right] \in *^{k} X\right) \end{aligned}g⋅[([(⋯[([(g1,g2,t1)],g3,t2)],…,gk,tk−1)],gk+1,tk)]:=[([(⋯[([(gg1,gg2,t1)],gg3,t2)],…,ggk,tk−1)],ggk+1,tk)](g∈G,[([(⋯[([(g1,g2,t1)],g3,t2)],…,gk,tk−1)],gk+1,tk)]∈∗kX)
と定義する. この G G GGG 作用の軌道空間 ∗ k X / G ∗ k X / G **^(k)X//G*^{k} X / G∗kX/G を B G k B G k B_(G)^(k)B_{G}^{k}BGk と表し, 軌道写像を π k G π k G pi_(k)^(G)\pi_{k}^{G}πkG と 表す。この G G GGG 作用は自由な作用になるので, 軌道写像 π k G : E k G → B k G π k G : E k G → B k G pi_(k)^(G):E_(k)^(G)rarrB_(k)^(G)\pi_{k}^{G}: E_{k}^{G} \rightarrow B_{k}^{G}πkG:EkG→BkG は G G GGG バンドルになる。 ι m n ι m n iota_(m)^(n)\iota_{m}^{n}ιmn から, B m G B m G B_(m)^(G)B_{m}^{G}BmG から B n G B n G B_(n)^(G)B_{n}^{G}BnG への写像が導かれる。 この写像を得n と表す. このとき, 系列 { ι ¯ m n : B m G → B n G } 1 ≤ m < n < ∞ ι ¯ m n : B m G → B n G 1 ≤ m < n < ∞ { bar(iota)_(m)^(n):B_(m)^(G)rarrB_(n)^(G)}_(1 <= m < n < oo)\left\{\bar{\iota}_{m}^{n}: B_{m}^{G} \rightarrow B_{n}^{G}\right\}_{1 \leq m<n<\infty}{ι¯mn:BmG→BnG}1≤m<n<∞ が帰納的系を与えること が容易に示される. この帰納的極限 lim → B k G lim →   B k G lim_(rarr)B_(k)^(G)\lim _{\rightarrow} B_{k}^{G}lim→BkG を B ∞ G B ∞ G B_(oo)^(G)B_{\infty}^{G}B∞G と表す. π n G ∘ ι m n = ι ¯ m n ∘ π m G π n G ∘ ι m n = ι ¯ m n ∘ π m G pi_(n)^(G)@iota_(m)^(n)= bar(iota)_(m)^(n)@pi_(m)^(G)\pi_{n}^{G} \circ \iota_{m}^{n}=\bar{\iota}_{m}^{n} \circ \pi_{m}^{G}πnG∘ιmn=ι¯mn∘πmG が成り立つので, 系 { π k G } k = 1 ∞ π k G k = 1 ∞ {pi_(k)^(G)}_(k=1)^(oo)\left\{\pi_{k}^{G}\right\}_{k=1}^{\infty}{πkG}k=1∞ の極限写像 π ∞ G : E ∞ G → B ∞ G π ∞ G : E ∞ G → B ∞ G pi_(oo)^(G):E_(oo)^(G)rarrB_(oo)^(G)\pi_{\infty}^{G}: E_{\infty}^{G} \rightarrow B_{\infty}^{G}π∞G:E∞G→B∞G が自然に定義さ れる. π ∞ G : E ∞ G → B ∞ G π ∞ G : E ∞ G → B ∞ G pi_(oo)^(G):E_(oo)^(G)rarrB_(oo)^(G)\pi_{\infty}^{G}: E_{\infty}^{G} \rightarrow B_{\infty}^{G}π∞G:E∞G→B∞G は, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の G G GGG バンドルを与える. このバンドルを
普遍 G G GGG バンンドル（the universal G G G\boldsymbol{G}G-bundle）という。 X X XXX 上の C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の G G GGG バンドルの同型類の全体を GB ( X ) GB ( X ) GB(X)\mathrm{GB}(X)GB(X) と表す.
G G GGG バンドルに対し, 次の分類定理が成り立つ.
定理 6.5.2（G バンドルの分類定理） [ X , B ∞ G ] X , B ∞ G [X,B_(oo)^(G)]\left[X, B_{\infty}^{G}\right][X,B∞G] から GB ( X ) GB ( X ) GB(X)\mathrm{GB}(X)GB(X) への写像 Φ G Φ G Phi_(G)\Phi_{G}ΦG を
Φ G ( [ f ] ) := [ f ∗ E ∞ G ] ( [ f ] ∈ [ X , B ∞ G ] ) Φ G ( [ f ] ) := f ∗ E ∞ G [ f ] ∈ X , B ∞ G Phi_(G)([f]):=[f^(**)E_(oo)^(G)]quad([f]in[X,B_(oo)^(G)])\Phi_{G}([f]):=\left[f^{*} E_{\infty}^{G}\right] \quad\left([f] \in\left[X, B_{\infty}^{G}\right]\right)ΦG([f]):=[f∗E∞G]([f]∈[X,B∞G])
によって定義する。この写像 Φ G Φ G Phi_(G)\Phi_{G}ΦG は，全単射を与える.
次に, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドル, 向き付けられた C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の実ベクトルバ ンドル, および, C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の G G GGG バンドルの特性類を定義しよう. α α alpha\alphaα を分類空間 G k ( F ∞ ) G k F ∞ G_(k)(F^(oo))G_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)Gk(F∞) の特異コホモロジー類とする。 C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の F F F\mathbb{F}F ベクトルバンドル π : E → π : E → pi:E rarr\pi: E \rightarrowπ:E→ X （ E ≡ f ∗ E k ( F ∞ ) X （ E ≡ f ∗ E k F ∞ X（E-=f^(**)E_(k)(F^(oo))X （ E \equiv f^{*} E_{k}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right)X（E≡f∗Ek(F∞) とする）に対し， X X XXX の特異コホモロジー類 f ∗ α f ∗ α f^(**)alphaf^{*} \alphaf∗α を α α alpha\boldsymbol{\alpha}α に 付随する E E E\boldsymbol{E}E の特性類（characteristic class of E E E\boldsymbol{E}E associated to α α alpha\boldsymbol{\alpha}α ) と いう. 同様に, 分類空間 G ~ k ( R ∞ ) G ~ k R ∞ widetilde(G)_(k)(R^(oo))\widetilde{G}_{k}\left(\mathbb{R}^{\infty}\right)G~k(R∞) の各特異コホモロジー類に対し, そのコホ モロジー類に付随する C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の向き付けられた実ベクトルバンドルの特性類 が定義され, 同じく, 分類空間 B ∞ G B ∞ G B_(oo)^(G)B_{\infty}^{G}B∞G の各特異コホモロジー類に対し，そのコ ホモロジー類に付随する C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の G G GGG バンドルの特性類が定義される. 標準的 な特性類として、チャーン類, ポントリャーギン類等がある. これら 2 つの 特性類の定義を述べよう。まず，チャーン類を定義しよう。 U ( k ) U ( k ) U(k)U(k)U(k) バンドルの 分類空間 B ∞ U ( k ) B ∞ U ( k ) B_(oo)^(U(k))B_{\infty}^{U(k)}B∞U(k) と階数 k k kkk の複素ベクトルバンドルの分類空間 G k ( C ∞ ) G k C ∞ G_(k)(C^(oo))G_{k}\left(\mathbb{C}^{\infty}\right)Gk(C∞) は同相 であり, この位相空間の特異コホモロジー環 H ∗ ( B ∞ U ( k ) , Z ) H ∗ B ∞ U ( k ) , Z H^(**)(B_(oo)^(U(k)),Z)H^{*}\left(B_{\infty}^{U(k)}, \mathbb{Z}\right)H∗(B∞U(k),Z) は, ある系 c i ∈ c i ∈ c_(i)inc_{i} \inci∈ H 2 i ( B ∞ U ( k ) ) ( i = 1 , … , k ) H 2 i B ∞ U ( k ) ( i = 1 , … , k ) H^(2i)(B_(oo)^(U(k)))(i=1,dots,k)H^{2 i}\left(B_{\infty}^{U(k)}\right)(i=1, \ldots, k)H2i(B∞U(k))(i=1,…,k) を用いて,
H ∗ ( B ∞ U ( k ) , Z ) ≅ Z [ c 1 , … , c k ] H ∗ B ∞ U ( k ) , Z ≅ Z c 1 , … , c k H^(**)(B_(oo)^(U(k)),Z)~=Z[c_(1),dots,c_(k)]H^{*}\left(B_{\infty}^{U(k)}, \mathbb{Z}\right) \cong \mathbb{Z}\left[c_{1}, \ldots, c_{k}\right]H∗(B∞U(k),Z)≅Z[c1,…,ck]
と表される. c i c i c_(i)c_{i}ci に付随する C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の U ( k ) U ( k ) U(k)U(k)U(k) バンドル P P PPP の特性類を, P P PPP の i i i\boldsymbol{i}i 次 チャーン類（i-th Chern class）といい, c i ( P ) c i ( P ) c_(i)(P)c_{i}(P)ci(P) と表す. また, この特性類 は, P P PPP の同伴複素ベクトルバンドル E := P × ρ C k E := P × ρ C k E:=P xx_(rho)C^(k)E:=P \times{ }_{\rho} \mathbb{C}^{k}E:=P×ρCk の i i iii 次チャーン類ともよば れ, c i ( E ) c i ( E ) c_(i)(E)c_{i}(E)ci(E) とも表される. ここで, ρ ρ rho\rhoρ は,
ρ ( A ) ( z 1 , … , z k ) := ( z 1 , … , z k ) A ( A ∈ U ( k ) , ( z 1 , … , z k ) ∈ C k ) ρ ( A ) z 1 , … , z k := z 1 , … , z k A A ∈ U ( k ) , z 1 , … , z k ∈ C k rho(A)(z_(1),dots,z_(k)):=(z_(1),dots,z_(k))A quad(A in U(k),quad(z_(1),dots,z_(k))inC^(k))\rho(A)\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right):=\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right) A \quad\left(A \in U(k), \quad\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right) \in \mathbb{C}^{k}\right)ρ(A)(z1,…,zk):=(z1,…,zk)A(A∈U(k),(z1,…,zk)∈Ck)
によって定義される U ( k ) U ( k ) U(k)U(k)U(k) の表現を表す. P P PPP は U ( k ) U ( k ) U(k)U(k)U(k) バンドルなので, E E EEE のフ アイバーエルミート計量 g g ggg が自然に定まる。この g g ggg に関する E E EEE の正規直交 i i iii枠からなる複素シュティーフェルバンドル S i ( E ) := ⨿ p ∈ M S i ( E p ) S i ( E ) := ⨿ p ∈ M S i E p S_(i)(E):=⨿_(p in M)S_(i)(E_(p))S_{i}(E):=\amalg_{p \in M} S_{i}\left(E_{p}\right)Si(E):=⨿p∈MSi(Ep) を考えよ
う. ここで, S i ( E p ) S i E p S_(i)(E_(p))S_{i}\left(E_{p}\right)Si(Ep) は ( E p , g p ) E p , g p (E_(p),g_(p))\left(E_{p}, g_{p}\right)(Ep,gp) の正規直交 i i iii 枠からなる複素シュティーフェル多様体を表す．複素シュティーフェルバンドル S i ( E ) S i ( E ) S_(i)(E)S_{i}(E)Si(E) が C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の大域切断を許容する ことと, P P PPP の ( k − i + 1 ) ( k − i + 1 ) (k-i+1)(k-i+1)(k−i+1) 次チャーン類 c k − i + 1 ( P ) c k − i + 1 ( P ) c_(k-i+1)(P)c_{k-i+1}(P)ck−i+1(P) が 0 になることが同値であること が示される. ここで, S i ( E ) S i ( E ) S_(i)(E)S_{i}(E)Si(E) が C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の大域切断を許容することは, E E EEE が i i iii 個の 1 次独立な C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の大域切断を許容することを意味し, 特に, S k ( E ) S k ( E ) S_(k)(E)S_{k}(E)Sk(E) が C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の大域切断を許容することは， E E EEE が自明な複素ベクトルバンドルであること，および， P P PPP が C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の大域的切断を許容することを意味する.このように, c k − i + 1 ( P ) c k − i + 1 ( P ) c_(k-i+1)(P)c_{k-i+1}(P)ck−i+1(P) は S i ( E ) S i ( E ) S_(i)(E)S_{i}(E)Si(E) の障害類とよばれるコホモロジー類であることを注意しておく.
次に,ポントリャーギン類を定義しよう。 P P PPP を C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の O ( k ) O ( k ) O(k)O(k)O(k) バンドルと し， E E EEE を P P PPP 同伴実ベクトルバンドルとする。 E E EEE の複素化としてえられる C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の複素ベクトルバンドル E C E C E^(C)\mathbb{E}^{\mathbb{C}}EC は, ある C 0 C 0 C^(0)C^{0}C0 級の U ( k ) U ( k ) U(k)U(k)U(k) バンドル P ~ P ~ widetilde(P)\widetilde{P}P~ の同伴複素ベクトルバンドルとみなされる。 E C E C E^(C)E^{\mathbb{C}}EC の 2 i 2 i 2i2 i2i 次チャーン類 c 2 i ( E C ) c 2 i E C c_(2i)(E^(C))c_{2 i}\left(E^{\mathbb{C}}\right)c2i(EC) ( = c 2 i ( P ~ ) ) = c 2 i ( P ~ ) (=c_(2i)(( widetilde(P))))\left(=c_{2 i}(\widetilde{P})\right)(=c2i(P~)) は, P ( P ( P(P(P( または E ) E ) E)E)E) の i i i\boldsymbol{i}i 次ポントリャーギン類（ i i i\boldsymbol{i}i-th Pontryagin class）とよばれ, p i ( P ) p i ( P ) p_(i)(P)p_{i}(P)pi(P) (または p i ( E ) p i ( E ) p_(i)(E)p_{i}(E)pi(E) ) と表される.

6.6 チャーン・ヴェイユ理論とガウス・ボンネの定理

この節において, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リー群を構造群にもつ C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級主バン ドルの特性類を, チャーン・ヴエイユ理論に基づいて定義し, 基本的な特性類として, チャーン類, ポントリャーギン類, およびオイラー類を紹介する。最後に, 向き付けられた偶数次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級閉リーマン多様体に対するオイラー 類の積分として記述されるガウス・ボンネの定理を述べ, この定理が 2.9 節と 5.6 節で述べたガウス・ボンネの定理を包括した定理であることを解説する.
この節において, F = R F = R F=R\mathbb{F}=\mathbb{R}F=R, または C C C\mathbb{C}C とする。 M M MMM を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 多様体, G G GGG を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リー群とし, g g g\mathfrak{g}g をのリー代数とする。 S S SSS を g g g\mathfrak{g}g 上の対称な k k kkk 次共変テン ソルで,
S ( Ad ( g ) ( v 1 ) , … , Ad ( g ) ( v k ) ) = S ( v 1 , … , v k ) ( ∀ v 1 , … , v k ∈ g , ∀ g ∈ G ) S Ad ( g ) v 1 , … , Ad ( g ) v k = S v 1 , … , v k ∀ v 1 , … , v k ∈ g , ∀ g ∈ G S(Ad(g)(v_(1)),dots,Ad(g)(v_(k)))=S(v_(1),dots,v_(k))quad(AAv_(1),dots,v_(k)ing,quad AA g in G)S\left(\operatorname{Ad}(g)\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \ldots, \operatorname{Ad}(g)\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\right)=S\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in \mathfrak{g}, \quad \forall g \in G\right)S(Ad(g)(v1),…,Ad(g)(vk))=S(v1,…,vk)(∀v1,…,vk∈g,∀g∈G)
を満たすようなものとし, P : g → R P : g → R P:grarrR\mathcal{P}: \mathfrak{g} \rightarrow \mathbb{R}P:g→R を
P ( v ) := S ( v , … , v ) ( v ∈ g ) P ( v ) := S ( v , … , v ) ( v ∈ g ) P(v):=S(v,dots,v)quad(v ing)\mathcal{P}(\boldsymbol{v}):=S(\boldsymbol{v}, \ldots, \boldsymbol{v}) \quad(\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})P(v):=S(v,…,v)(v∈g)
によって定義する。このとき、明らかに,
P ( Ad ( g ) ( v ) ) = P ( v ) ( ∀ v ∈ g , ∀ g ∈ G ) P ( Ad ( g ) ( v ) ) = P ( v ) ( ∀ v ∈ g , ∀ g ∈ G ) P(Ad(g)(v))=P(v)quad(AA v ing,quad AA g in G)\mathcal{P}(\operatorname{Ad}(g)(\boldsymbol{v}))=\mathcal{P}(\boldsymbol{v}) \quad(\forall \boldsymbol{v} \in \mathfrak{g}, \quad \forall g \in G)P(Ad(g)(v))=P(v)(∀v∈g,∀g∈G)
が成り立つ. このように定義される g g g\mathfrak{g}g 上の関数 P P P\mathcal{P}P を g g g\mathfrak{g}g 上の k k k\boldsymbol{k}k 次不変多項式 （invariant polynomial of degree k k k\boldsymbol{k}k over g g g\mathfrak{g}g ) という. μ μ mu\muμ を実ベクトル空間 V V VVV 上の g g g\mathfrak{g}g に値をとる l l lll 次交代形式（つまり， l l lll 個の V V VVV の直積集合 V × ⋯ × V × ⋯ × V xx cdots xxV \times \cdots \timesV×⋯× V V VVV から g g g\mathfrak{g}g への交代的な多重線形写像）とする。 ( e 1 , … , e m ) e 1 , … , e m (e_(1),dots,e_(m))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{m}\right)(e1,…,em) を g g g\mathfrak{g}g の基底とし， μ = ∑ i = 1 m μ i ⊗ e i （ μ i μ = ∑ i = 1 m   μ i ⊗ e i （ μ i mu=sum_(i=1)^(m)mu_(i)oxe_(i)（mu_(i)\mu=\sum_{i=1}^{m} \mu_{i} \otimes e_{i} （ \mu_{i}μ=∑i=1mμi⊗ei（μi は V V VVV 上の l l lll 次交代形式）とする。 P P P\mathcal{P}P と μ μ mu\muμ に対し, V V VVV 上の k l k l klk lkl 次交代形式 P ( μ ) P ( μ ) P(mu)\mathcal{P}(\mu)P(μ) を
P ( μ ) = ∑ i 1 = 1 m ⋯ ∑ i k = 1 m ( μ i 1 ∧ ⋯ ∧ μ i k ) ⊗ S ( e i 1 , … e i k ) P ( μ ) = ∑ i 1 = 1 m   ⋯ ∑ i k = 1 m   μ i 1 ∧ ⋯ ∧ μ i k ⊗ S e i 1 , … e i k P(mu)=sum_(i_(1)=1)^(m)cdotssum_(i_(k)=1)^(m)(mu_(i_(1))^^cdots^^mu_(i_(k)))ox S(e_(i_(1)),dotse_(i_(k)))\mathcal{P}(\mu)=\sum_{i_{1}=1}^{m} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{m}\left(\mu_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge \mu_{i_{k}}\right) \otimes S\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)P(μ)=∑i1=1m⋯∑ik=1m(μi1∧⋯∧μik)⊗S(ei1,…eik)
によって定義する．容易に, P ( μ ) P ( μ ) P(mu)\mathcal{P}(\mu)P(μ) が g g g\mathfrak{g}g の基底 ( e 1 , … , e m ) e 1 , … , e m (e_(1),dots,e_(m))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{m}\right)(e1,…,em) のとり方によらず に定まる, つまり, well-defined であることが示される.
π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の G G GGG バンドルとする. この G G GGG バンドルの C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続 ω ω omega\omegaω をとり， Ω Ω Omega\OmegaΩ をその曲率形式とする。 Ω Ω Omega\OmegaΩ は, C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級テンソリアル 2 次微分形式なので, Ad ( P ) Ad ( P ) Ad(P)\operatorname{Ad}(P)Ad(P) に値をとる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 2 次微分形式とみなされる. u ∈ u ∈ u inu \inu∈ π − 1 ( p ) π − 1 ( p ) pi^(-1)(p)\pi^{-1}(p)π−1(p) に対し, Ad ( P ) Ad ( P ) Ad(P)\operatorname{Ad}(P)Ad(P) の p p ppp 上のファイバー Ad ( P ) p Ad ( P ) p Ad(P)_(p)\operatorname{Ad}(P)_{p}Ad(P)p から g g g\mathfrak{g}g への線形同型写像 η u η u eta_(u)\eta_{u}ηu が
η u ( u ⋅ v ) := v ( v ∈ g ) η u ( u ⋅ v ) := v ( v ∈ g ) eta_(u)(u*v):=v quad(v ing)\eta_{u}(u \cdot \boldsymbol{v}):=\boldsymbol{v} \quad(\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})ηu(u⋅v):=v(v∈g)
で定義される。 もう 1 つ u ^ ∈ π − 1 ( p ) u ^ ∈ π − 1 ( p ) hat(u)inpi^(-1)(p)\hat{u} \in \pi^{-1}(p)u^∈π−1(p) をとり, 同じように線形同型写像 η u ^ η u ^ eta_( hat(u))\eta_{\hat{u}}ηu^ : Ad ( P ) p → g Ad ( P ) p → g Ad(P)_(p)rarrg\operatorname{Ad}(P)_{p} \rightarrow \mathfrak{g}Ad(P)p→g を定義する. このとき, u ^ = u g ( g ∈ G ) u ^ = u g ( g ∈ G ) hat(u)=ug quad(g in G)\hat{u}=u g \quad(g \in G)u^=ug(g∈G) として,
η u ^ − 1 ( v ) = u ^ ⋅ v = u g ⋅ v = u ⋅ Ad ( g ) ( v ) = η u − 1 ( Ad ( g ) ( v ) ) ( v ∈ g ) η u ^ − 1 ( v ) = u ^ ⋅ v = u g ⋅ v = u ⋅ Ad ( g ) ( v ) = η u − 1 ( Ad ( g ) ( v ) ) ( v ∈ g ) eta_( hat(u))^(-1)(v)= hat(u)*v=ug*v=u*Ad(g)(v)=eta_(u)^(-1)(Ad(g)(v))quad(v ing)\eta_{\hat{u}}^{-1}(\boldsymbol{v})=\hat{u} \cdot \boldsymbol{v}=u g \cdot \boldsymbol{v}=u \cdot \operatorname{Ad}(g)(\boldsymbol{v})=\eta_{u}^{-1}(\operatorname{Ad}(g)(\boldsymbol{v})) \quad(\boldsymbol{v} \in \mathfrak{g})ηu^−1(v)=u^⋅v=ug⋅v=u⋅Ad(g)(v)=ηu−1(Ad(g)(v))(v∈g)
つまり,
(6.6.1) η u = Ad ( g ) ∘ η u ^ (6.6.1) η u = Ad ( g ) ∘ η u ^ {:(6.6.1)eta_(u)=Ad(g)@eta_( hat(u)):}\begin{equation*} \eta_{u}=\operatorname{Ad}(g) \circ \eta_{\hat{u}} \tag{6.6.1} \end{equation*}(6.6.1)ηu=Ad(g)∘ηu^
が示される. M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 2 k 2 k 2k2 k2k 次微分形式 P ( Ω ) P ( Ω ) P(Omega)\mathcal{P}(\Omega)P(Ω) を次式によって定義する：
P ( Ω ) p := P ( η u ∘ Ω ^ p ) ( p ∈ M , u ∈ π − 1 ( p ) ) P ( Ω ) p := P η u ∘ Ω ^ p p ∈ M , u ∈ π − 1 ( p ) P(Omega)_(p):=P(eta_(u)@ widehat(Omega)_(p))quad(p in M,u inpi^(-1)(p))\mathcal{P}(\Omega)_{p}:=\mathcal{P}\left(\eta_{u} \circ \widehat{\Omega}_{p}\right) \quad\left(p \in M, u \in \pi^{-1}(p)\right)P(Ω)p:=P(ηu∘Ω^p)(p∈M,u∈π−1(p))
ここで Ω ^ Ω ^ widehat(Omega)\widehat{\Omega}Ω^ は, Ω Ω Omega\OmegaΩ に対応する M M MMM 上の Ad ( P ) Ad ( P ) Ad(P)\operatorname{Ad}(P)Ad(P) に値をとる C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 2 次微分形式を 表す. 式 (6.6.1) と P P P\mathcal{P}P の Ad ( G ) Ad ( G ) Ad(G)\operatorname{Ad}(G)Ad(G) 不変性を用いて, P ( Ω ) p P ( Ω ) p P(Omega)_(p)\mathcal{P}(\Omega)_{p}P(Ω)p が u ∈ π − 1 ( p ) u ∈ π − 1 ( p ) u inpi^(-1)(p)u \in \pi^{-1}(p)u∈π−1(p) のと り方によらずに定まる, つまり, well-defined であることが示される。 P ( Ω ) P ( Ω ) P(Omega)\mathcal{P}(\Omega)P(Ω) について次の事実が示される：
(i) d P ( Ω ) = 0 d P ( Ω ) = 0 dP(Omega)=0d \mathcal{P}(\Omega)=0dP(Ω)=0;
(ii) P P PPP の 2 つの接続 ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2 omega_(1),omega_(2)\omega_{1}, \omega_{2}ω1,ω2 に対し, それらの曲率形式を Ω 1 , Ω 2 Ω 1 , Ω 2 Omega_(1),Omega_(2)\Omega_{1}, \Omega_{2}Ω1,Ω2 としたと き, d θ = P ( Ω 1 ) − P ( Ω 2 ) d θ = P Ω 1 − P Ω 2 d theta=P(Omega_(1))-P(Omega_(2))d \theta=\mathcal{P}\left(\Omega_{1}\right)-\mathcal{P}\left(\Omega_{2}\right)dθ=P(Ω1)−P(Ω2) となる M M MMM 上の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級 ( 2 k − 1 ) ( 2 k − 1 ) (2k-1)(2 k-1)(2k−1) 次微分形式 θ θ theta\thetaθ が存在する.
それゆえ, M M MMM の 2 k 2 k 2k2 k2k 次特異コホモロジー類 [ P ( Ω ) ] [ P ( Ω ) ] [P(Omega)][\mathcal{P}(\Omega)][P(Ω)] が定義され, これは P P PPP の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続 ω ω omega\omegaω のとり方によらないことがわかる. さらに, このコホモロジー類 は, P P PPP の特性類であることが示される. この特性類 [ P ( Ω ) ] [ P ( Ω ) ] [P(Omega)][\mathcal{P}(\Omega)][P(Ω)] を P P P\mathcal{P}P に付随する P P PPP の特性類（the characteristic class of P P P\boldsymbol{P}P associated to P P P\mathcal{P}P ) という.
次に, チャーン類とポントリャーギン類の曲率形式を用いた表示を与えよ う. 最初に, チャーン類の表示を与えよう. m m mmm 次ユニタリー群 U ( m ) U ( m ) U(m)U(m)U(m) のリー 代数である s u ( m ) s u ( m ) su(m)\mathfrak{s u}(m)su(m) 上の k k kkk 次不変多項式 P k c h ( k = 1 , … , m ) P k c h ( k = 1 , … , m ) P_(k)^(ch)(k=1,dots,m)\mathcal{P}_{k}^{c h}(k=1, \ldots, m)Pkch(k=1,…,m) を
det ( E m + s − 1 2 π A ) = 1 + ∑ k = 1 m s k P k c h ( A ) ( A ∈ s u ( m ) ) det E m + s − 1 2 π A = 1 + ∑ k = 1 m   s k P k c h ( A ) ( A ∈ s u ( m ) ) det(E_(m)+(ssqrt(-1))/(2pi)A)=1+sum_(k=1)^(m)s^(k)P_(k)^(ch)(A)quad(A insu(m))\operatorname{det}\left(E_{m}+\frac{s \sqrt{-1}}{2 \pi} A\right)=1+\sum_{k=1}^{m} s^{k} \mathcal{P}_{k}^{c h}(A) \quad(A \in \mathfrak{s u}(m))det(Em+s−12πA)=1+∑k=1mskPkch(A)(A∈su(m))
によって定義する。 M M MMM を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級多様体とし, π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の U ( m ) U ( m ) U(m)U(m)U(m) バンドルとする。上述の s u ( m ) s u ( m ) su(m)\mathfrak{s u}(m)su(m) 上の k k kkk 次不変多項式 P k c h P k c h P_(k)^(ch)\mathcal{P}_{k}^{c h}Pkch に付随する P P PPP の特性類は, P P PPP の k k kkk 次チャーン類 c k ( P ) c k ( P ) c_(k)(P)c_{k}(P)ck(P) と一致する. このように, k k kkk 次チャ ーン類の曲率形式を用いた表示が与えられる.
次に, ポントリャーギン類の曲率形式を用いた表示を与えよう. m m mmm 次直交群 O ( m ) O ( m ) O(m)O(m)O(m) と m m mmm 次特殊直交群 S O ( m ) S O ( m ) SO(m)S O(m)SO(m) のリー代数である s o ( m ) s o ( m ) so(m)\mathfrak{s o}(m)so(m) 上の 2 k 2 k 2k2 k2k 次不変多項式 P k p o ( k = 1 , … , [ m 2 ] ) P k p o k = 1 , … , m 2 P_(k)^(po)(k=1,dots,[(m)/(2)])\mathcal{P}_{k}^{p o}\left(k=1, \ldots,\left[\frac{m}{2}\right]\right)Pkpo(k=1,…,[m2]) を
det ( E m + s 2 π A ) = 1 + ∑ k = 1 [ m 2 ] s 2 k P k p o ( A ) ( A ∈ s o ( m ) ) det E m + s 2 π A = 1 + ∑ k = 1 m 2   s 2 k P k p o ( A ) ( A ∈ s o ( m ) ) det(E_(m)+(s)/(2pi)A)=1+sum_(k=1)^([(m)/(2)])s^(2k)P_(k)^(po)(A)quad(A inso(m))\operatorname{det}\left(E_{m}+\frac{s}{2 \pi} A\right)=1+\sum_{k=1}^{\left[\frac{m}{2}\right]} s^{2 k} \mathcal{P}_{k}^{p o}(A) \quad(A \in \mathfrak{s o}(m))det(Em+s2πA)=1+∑k=1[m2]s2kPkpo(A)(A∈so(m))
によって定義する。ここで, det ( E m + s 2 π A ) det E m + s 2 π A det(E_(m)+(s)/(2pi)A)\operatorname{det}\left(E_{m}+\frac{s}{2 \pi} A\right)det(Em+s2πA) の に関する奇数次の項は,
すべて消えることを注意しておく。実際このことは, A ∈ s o ( m ) A ∈ s o ( m ) A inso(m)A \in \mathfrak{s o}(m)A∈so(m), つまり, t A = − A t A = − A ^(t)A=-A{ }^{t} A=-AtA=−A なので,
det ( E m + s 2 π A ) = det ( E m + s 2 π t A ) = det ( E m − s 2 π A ) det E m + s 2 π A = det E m + s 2 π t A = det E m − s 2 π A det(E_(m)+(s)/(2pi)A)=det(E_(m)+(s)/(2pi)^(t)A)=det(E_(m)-(s)/(2pi)A)\operatorname{det}\left(E_{m}+\frac{s}{2 \pi} A\right)=\operatorname{det}\left(E_{m}+\frac{s}{2 \pi}^{t} A\right)=\operatorname{det}\left(E_{m}-\frac{s}{2 \pi} A\right)det(Em+s2πA)=det(Em+s2πtA)=det(Em−s2πA)
が成り立つことから示される. M M MMM を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級多様体とし, π : P → M π : P → M pi:P rarr M\pi: P \rightarrow Mπ:P→M を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の O ( m ) O ( m ) O(m)O(m)O(m) バンドル, または, S O ( m ) S O ( m ) SO(m)S O(m)SO(m) バンドルとする.上述の s o ( m ) s o ( m ) so(m)\mathfrak{s o}(m)so(m)上の 2 k 2 k 2k2 k2k 次不変多項式 P k p o P k p o P_(k)^(po)\mathcal{P}_{k}^{p o}Pkpo に付随する P P PPP の特性類は P P PPP の k k kkk 次ポントリャーギ ン類 p k ( P ) p k ( P ) p_(k)(P)p_{k}(P)pk(P) と一致する. このように, k k kkk 次ポントリヤーギン類の曲率形式を 用いた表示が与えられる。
次に, オイラー類を定義しよう. s o ( 2 m ) s o ( 2 m ) so(2m)\mathfrak{s o}(2 m)so(2m) 上の m m mmm 次不変多項式 P e P e P^(e)\mathcal{P}^{e}Pe を
P e ( A ) := ( − 1 ) m 2 m m ! ∑ σ ∈ S 2 m sgn σ ⋅ a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 m − 1 ) σ ( 2 m ) ( A = ( a i j ) ∈ s o ( 2 m ) ) P e ( A ) := ( − 1 ) m 2 m m ! ∑ σ ∈ S 2 m   sgn σ ⋅ a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 m − 1 ) σ ( 2 m ) A = a i j ∈ s o ( 2 m ) {:[P^(e)(A):=((-1)^(m))/(2^(m)m!)sum_(sigma inS_(2m))sgn sigma*a_(sigma(1)sigma(2))a_(sigma(3)sigma(4))cdotsa_(sigma(2m-1)sigma(2m))],[(A=(a_(ij))inso(2m))]:}\begin{array}{r} \mathcal{P}^{e}(A):=\frac{(-1)^{m}}{2^{m} m!} \sum_{\sigma \in S_{2 m}} \operatorname{sgn} \sigma \cdot a_{\sigma(1) \sigma(2)} a_{\sigma(3) \sigma(4)} \cdots a_{\sigma(2 m-1) \sigma(2 m)} \\ \left(A=\left(a_{i j}\right) \in \mathfrak{s o}(2 m)\right) \end{array}Pe(A):=(−1)m2mm!∑σ∈S2msgnσ⋅aσ(1)σ(2)aσ(3)σ(4)⋯aσ(2m−1)σ(2m)(A=(aij)∈so(2m))
によって定める. ここで,
P e ( A ) 2 = 4 π 2 P m p o ( A ) ( A ∈ s o ( 2 m ) ) P e ( A ) 2 = 4 π 2 P m p o ( A ) ( A ∈ s o ( 2 m ) ) P^(e)(A)^(2)=4pi^(2)P_(m)^(po)(A)quad(A inso(2m))\mathcal{P}^{e}(A)^{2}=4 \pi^{2} P_{m}^{p o}(A) \quad(A \in \mathfrak{s o}(2 m))Pe(A)2=4π2Pmpo(A)(A∈so(2m))
が成り立つことを注意しておく。 M M MMM を n n nnn 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級多様体とし， π : P → π : P → pi:P rarr\pi: P \rightarrowπ:P→ M M MMM を C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級の O ( 2 m ) O ( 2 m ) O(2m)O(2 m)O(2m) バンドル, または, S O ( 2 m ) S O ( 2 m ) SO(2m)S O(2 m)SO(2m) バンドルとする.上述の s o ( 2 m ) s o ( 2 m ) so(2m)\mathfrak{s o}(2 m)so(2m) 上の m m mmm 次不変多項式 P e P e P^(e)\mathcal{P}^{e}Pe に付随する P P PPP の特性類を P P PPP のオイラー類 （Euler class）といい, e ( P ) e ( P ) e(P)e(P)e(P) と表す。定義から明らかなように, e ( P ) ∈ e ( P ) ∈ e(P)ine(P) \ine(P)∈ H 2 m ( M , R ) H 2 m ( M , R ) H^(2m)(M,R)H^{2 m}(M, \mathbb{R})H2m(M,R) である. 特に, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が向き付け可能な 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン多様体であるとき, M M MMM の向き付け可能性から， M M MMM の正規直交枠バンドル O ( M ) O ( M ) O(M)\mathcal{O}(M)O(M) は 2 つの連結成分からなることがわかる。 その連結成分の 1 つを O ( M ) + O ( M ) + O(M)_(+)\mathcal{O}(M)_{+}O(M)+と する. これは S O ( 2 n ) S O ( 2 n ) SO(2n)S O(2 n)SO(2n) バンドルである. 特に, O ( M ) + O ( M ) +  O(M)_("+ ")\mathcal{O}(M)_{\text {+ }}O(M)+  のオイラー類を M M MMM の オイラー類といい, e ( M ) e ( M ) e(M)e(M)e(M) と表す.
オイラー標数について, 次の積分公式が成り立つ.
定理 6.6.1（ガウス・ボンネの定理）向き付けられた 2 n 2 n 2n2 n2n 次元 C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 閉リーマ ン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) に対し，次の積分公式が成り立つ：
∫ M P e ( Ω ) = χ ( M ) ∫ M   P e ( Ω ) = χ ( M ) int_(M)P^(e)(Omega)=chi(M)\int_{M} \mathcal{P}^{e}(\Omega)=\chi(M)∫MPe(Ω)=χ(M)
ここで Ω Ω Omega\OmegaΩ は, O ( M ) + O ( M ) + O(M)_(+)\mathcal{O}(M)_{+}O(M)+の任意にとった接続の曲率形式を表す.
( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が f f fff にってはめ込まれた E 2 n + 1 E 2 n + 1 E^(2n+1)\mathbb{E}^{2 n+1}E2n+1 内の向き付けられた C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ リーマン 超曲面の場合, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のオイラー類は,
e ( M ) = [ 2 Vol ( S 2 n ( 1 ) ) det A d V g ] e ( M ) = 2 Vol S 2 n ( 1 ) det A d V g e(M)=[(2)/(Vol(S^(2n)(1)))detAdV_(g)]e(M)=\left[\frac{2}{\operatorname{Vol}\left(S^{2 n}(1)\right)} \operatorname{det} \mathcal{A} d V_{g}\right]e(M)=[2Vol(S2n(1))detAdVg]
によって与えられる。ここで, A A A\mathcal{A}A は, リーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の形作用素を表 す. 特に, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の向き付けられた C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 曲面の場合,
e ( M ) = [ 1 2 π K d A ] e ( M ) = 1 2 π K d A e(M)=[(1)/(2pi)KdA]e(M)=\left[\frac{1}{2 \pi} K d A\right]e(M)=[12πKdA]
となる。ここで, K , d A K , d A K,dAK, d AK,dA は, 曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のガウス曲率, 面積要素を表す. こ れらの事実から, 上述の定理が, 定理 2.9.2 と定理 5.6.5を包括した一般的結果であることを理解してもらえるであろう.
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索 引

英数字

( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k) 次テンソル 80
( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k) 次テンソル空間 83
( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k) 次テンソル場 85
( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル 80
( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル空間 83
( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 201
1 次独立 9
1 点和 318
1 の分割 153
1 パラメーター部分群 349
2 次導関数 14
2 次偏導関数 18
2 重㧖れ積リーマン多様体 219
3 次導関数 14
3 次偏導関数 18
5 項の補題 294
C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級変形 261
C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 級法変形 262
C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 接続 356
C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 変形 121
C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 法変形 121
C r ′ C r ′ C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr′ 分割 57
C r C r C^(r)C^{r}Cr 埋め込み 181
C r C r C^(r)C^{r}Cr 回転面 50
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 18
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級1 パラメーター変換群 194
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数 164
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級局所 1 パラメーター変換群 194
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級特異 k k kkk チェイン 289
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級特異 k k kkk チェイン上の積分 291
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の流れ 194
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ベクトル場 230
C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 3 , 104 , 165 3 , 104 , 165 3,104,1653,104,1653,104,165
C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造 54,155
C r C r C^(r)C^{r}Cr 沈め込み 181 C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像 163
C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 20
C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則局所超曲面 50
C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線 40
C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場 105
C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 155
C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面 54
C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 50 50 quad50\quad 5050
C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型 164
C r C r C^(r)C^{r}Cr 同型写像 164
C r C r C^(r)C^{r}Cr 同値 156
C r C r C^(r)C^{r}Cr はめ込み 180
C r C r C^(r)C^{r}Cr 微分同相 164
C r C r C^(r)C^{r}Cr 微分同相写像 164
C r C r C^(r)C^{r}Cr 閉多様体 155
C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 20
C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 35
C r C r C^(r)C^{r}Cr 法変形 36
C r C r C^(r)C^{r}Cr リー群 319
C s C s C^(s)C^{s}Cs 切断 189
CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 285
G G GGG 構造 361
G G GGG 接続 362
G G GGG バンドル 322
G G GGG バンドルの分類定理 368
Hopf-Rinow の定理 238
i i iii 次チャーン類 368
i i iii 次ポントリャーギン類 369
Koszul の公式 222
k k kkk 境界輪体 278
k k kkk コチェイン 279
k k kkk 骨格 282
k k kkk チェイン 278,285
k k kkk 次 CW コホモロジー群 287
k k kkk 次 CW ホモロジー群 286
k k kkk 次外積バンドル 204
k k kkk 次完全微分形式 288
k k kkk 次共変テンソル 80
k k kkk 次共変テンソル場 85,200
k k kkk 次共変テンソルバンドル 203
k k kkk 次交代形式 83
k k kkk 次コチェイン群 278
k k kkk 次コホモロジー群 279
k k kkk 次相対特異ホモロジー群 316
k k kkk 次対称形式 83
k k kkk 次単体コホモロジー群 287
k k kkk 次単体ホモロジー群 287
k k kkk 次チェイン群 278,285
k k kkk 次導関数 14
k k kkk 次ド・ラームコホモロジー群 288
k k kkk 次特異コホモロジー群 281
k k kkk 次特異チェイン群 279
k k kkk 次特異ホモロジー群 146,280
k k kkk 次微分形式 85,203
k k kkk 次不変多項式 370
k k kkk 次閉微分形式 288
k k kkk 次ベッチ数 146
k k kkk 次ホモロジー群 278
k k kkk 胞体 282
k k kkk 胞体を接着してえられる空間 301
k k kkk 余境界輪体 279
k k kkk 余輪体 279
k k kkk 輪体 278
l l lll 回偏微分可能性 18
l l lll 次偏導関数 18
m m mmm 角形 136
n n nnn 次元実射影空間 158
n n nnn 次元双曲空間 244
n n nnn 次元複素射影空間 162
n n nnn 次元複素多様体 161
n n nnn 次シンプレクティック群 353
n n nnn 次特殊線形群 351
n n nnn 次特殊直交群 352
n n nnn 次特殊ユニタリー群 352
( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元ローレンツ空間 244
r r rrr 回連続偏微分可能 18
u i u i u_(i)u_{i}ui 曲線 51

あ 行

アフィン空間 2
アフィン接続 219
アフィン接続多様体 219
安定 274
イソトロピー部分群 320
位置ベクトル 2
一般線形群 319
陰関数定理（全射型） 183
陰関数定理（単射型） 184
埋め込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr 部分多様体 188
エネルギー 35
エネルギー汎関数 35
鉛直分布 356
オイラー標数 147,280
オイラー類 372

か 行

開基 152
階数 k k kkk の普遍 F F F\mathbb{F}F ベクトルバンンドル 363 階数 k k kkk の向き付けられた普遍実ベクトルバ ンドル 364
外積 5
回転 30
開被覆 151
外微分 132,209
外微分作用素 209
概複素構造 92
開部分多様体 160
ガウス・クロネッカー曲率 103
ガウス・ボンネ型定理 332 , 343 332 , 343 quad332,343\quad 332,343332,343
ガウス・ボンネの定理 334 , 345 , 372 334 , 345 , 372 334,345,372334,345,372334,345,372
—（局所版） 137
一（大域版） 148
ガウス曲率 103 , 242 103 , 242 quad103,242\quad 103,242103,242
ガウス写像 329
ガウスの公式 101
ガウスの発散定理 66 , 225 66 , 225 quad66,225\quad 66,22566,225
ガウスの方程式 258
形作用素 98 , 257 , 258 98 , 257 , 258 quad98,257,258\quad 98,257,25898,257,258
形テンソル場 256
完備 196
基底 9
軌道 320
軌道空間 320
軌道写像 320
帰納的極限 310
帰納的系 310
逆関数定理 182
逆ベクトル 1
逆向き 9
境界 279
境界固定の C ∞ C ∞ C^(oo)C^{\infty}C∞ 変形 262
境界作用素 280,286
共変外微分作用素 358
共変微分 95 , 105 , 222 95 , 105 , 222 95,105,22295,105,22295,105,222
極限写像 311
極限値 13
極小 124
極小はめ込み 256
極小はめ込みの指数 274
局所コンパクト空間 152
局所座標 54,155
局所座標関数 155
局所座標近傍 54,155
局所座標変換 54
局所自明化写像 189,322
局所正規直交法枠場 327
局所有限 152
極大な C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造 155
曲率形式 358
曲率テンソル場 240 , 245 , 358 240 , 245 , 358 240,245,358240,245,358240,245,358
キリング形式 355
区分的に C r ′ C r ′ C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr′ 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 56
区分的に C r ′ C r ′ C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr′ 級の境界をもつ区分的に
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面 57
区分的に C r ′ C r ′ C^(r^('))C^{r^{\prime}}Cr′ 級の境界をもつ有界閉領域 56
区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域
46
区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線 20
区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な曲線 46
区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則な単純閉曲線 46
グラフ超曲面 50
グラミアン 12
クリストッフェルの記号 107,222
結合係数 286
勾配ベクトル場 26,225
勾配流 274
コダッチの方程式 259
コチェイン複体 278
弧長によってパラメーター付けされた C r C r C^(r)C^{r}Cr
曲線 41
コンパクト型半単純リー群 355
コンパクト型半単純リー代数 355
コンパクト空間 152
コンパクト部分集合 152

さ 行

サードの定理 177
細分 152
サイモンズの定理 273
佐々木計量 330
座標基底 169
座標基底場 51
座標曲線 51
座標変換 52
三角形分割 147
次元 9
指数 180
指数写像 232
自然基底 170
自然基底場 51
自然に定まる概複素構造 92
自然に定まる単位法ベクトル場 53
実グラスマン多様体 159
実ベクトルバンドル 189
弱位相性条件 285
主曲率 101,259
主曲率空間 101
主曲率ベクトル 101, 259
種数 g g ggg の閉曲面 148
主バンドル 322
主方向 101
ジョイン 367
焦点 335
焦半径 335
常螺旋 45,117
推移的に作用する 321
随伴群 355
随伴表現 354
随伴ベクトルバンドル 358
水平分布 356
水平リフト 330
数ベクトル空間 2
スカラー n n nnn 重積 8
スカラー曲率 242
スカラー值第 2 基本形式 258
スカラー場 19
ストークスの定理 62 , 132 , 210 62 , 132 , 210 62,132,21062,132,21062,132,210
正規直交法枠 327
正規直交法枠バンドル 327
正規直交枠バンドル 326
正則局所部分多様体 185
正則値 28,177
正則点 28,177
正則部分多様体 185
正定値性条件 88
正の局所チャート 205
正の向き 10
積多様体 161
積分曲線 195
積胞体複体 284
積リーマン多様体 219
接ガウス写像 329
接空間 4 , 51 , 54 , 168 4 , 51 , 54 , 168 4,51,54,1684,51,54,1684,51,54,168
切除可能な対 292
接続係数 107,221
接バンドル 19
接ベクトル 4 , 40 , 51 , 54 , 166 , 168 4 , 40 , 51 , 54 , 166 , 168 4,40,51,54,166,1684,40,51,54,166,1684,40,51,54,166,168
接ベクトル場 74 , 105 , 188 74 , 105 , 188 74,105,18874,105,18874,105,188接ベクトルバンドル 193
線形作用 320
線積分 20
線素 20
双曲点 103
測地 m m mmm 角形 136
測地線 37 , 107 , 231 37 , 107 , 231 37,107,23137,107,23137,107,231
測地多角形 144
測地的完備 238
測地的極座標 138
測地的曲率 136
測地変形 248
速度ベクトル 40 , 166 40 , 166 quad40,166\quad 40,16640,166
速度ベクトル場 105,231

た 行

第 1 基本形式 89
第 1 曲率 42,114
第 1 接触空間 42,114
第 1 変分公式 36 , 121 , 263 36 , 121 , 263 36,121,26336,121,26336,121,263
第 1 法線ベクトル場 42 , 114 42 , 114 quad42,114\quad 42,11442,114
第 2 可算公理 152
第 2 基本形式 99,255
第 2 曲率 43,114
第 2 接触空間 43,115
第 2 変分公式 39 , 125 , 268 39 , 125 , 268 39,125,26839,125,26839,125,268
第 2 法線ベクトル場 43 , 114 43 , 114 quad43,114\quad 43,11443,114
第 3 曲率 43,115
第 3 接触空間 44,115
第 3 法線ベクトル場 44,115
第 i i iii 曲率 44,115
第 i i iii 接触空間 116
第 i i iii 次平均曲率 103
第 i i iii 法線ベクトル場 44,115
退化次数 180
対称性条件 88
体積 120
体積汎関数 121, 262
体積要素 119, 224
楕円点 103
単位接ベクトル場 42
単位接ベクトルバンドル 325
単位法ベクトル場 53
単位法ベクトルバンドル 327
単純リー群 356
断面曲率 242
チェイン複体 278
超曲面積 59 , 62 , 120 59 , 62 , 120 quad59,62,120\quad 59,62,12059,62,120
頂点 147
重複度 336
直積リー群 355
定曲率空間 242
テンソリアル k k kkk 次微分形式 358
ド・ラームの定理 291
等位集合 26
導関数 14
等径部分多様体 260
等高超曲面 28
等焦部分多様体 260
等長埋め込み 218
等長的に作用する 321
等長変換群 321
同伴ベクトルバンドル 328
トートロジカルバンドル 363
特異 k k kkk 単体 279
特異 k k kkk チェイン 279
特異リーマン葉層構造 321
特性写像 282
特性類 368,371
時計回り 10

な行

内角 137
内角の和の積分表示公式 144
内積 5
内部自己同型写像 348
長さ 35
長さ汎関数 35
滑らかに作用する 320
捻れ０のアフィン接続 221
抳れ積リーマン多様体 219
抳れテンソル場 221

は 行

ハウスドルフ空間 151
発散 34 , 97 , 224 34 , 97 , 224 34,97,22434,97,22434,97,224
はめ込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面 187
はめ込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr 部分多様体 187
はめ込まれたリーマン超曲面 258
パラコンパクト空間 152
パレ・スメール条件 306
半単純リー群 355
半単純リー代数 355
反時計回り 10
引き戻し 204
引き戻し接続 246
非コンパクト型半単純リー群 355
非退化 180
非退化臨界点 180
左移動 348
左手系 10
左不変ベクトル場 348
微分 173
微分係数 14
表現 320
標準 k k kkk 単体 279
ファイバー 322
ファイバーバンドル 322
複素グラスマン多様体 163
複素構造 161
負の向き 10
部分多様体片 185
部分被覆 152
部分胞体複体 282
普遍 G G GGG バンンドル 367
ブラケット積 197,348
フルネの公式 45
フルネ枠 45,116
平均曲率 103,258
平均曲率ベクトル場 103,256
平均曲率流 275
平行移動 111 , 232 , 247 , 357 111 , 232 , 247 , 357 111,232,247,357111,232,247,357111,232,247,357
平行切断 246
平行ベクトル場 107,231
平坦 240
平坦な空間 242
閉包有限性条件 285
ベクトル空間 1
ベクトル値関数 13
ベクトル場 19,188
ベクトルバンドルの分類定理 365
ベクトルバンドルの向き 363
ヘッシアン 178
辺 147
変位レトラクション 299
変位レトラクト 299
変換関数 190,322
偏微分係数 17
変分ベクトル場 36 , 121 , 248 , 262 36 , 121 , 248 , 262 quad36,121,248,262\quad 36,121,248,26236,121,248,262
法がウス写像 330
法空間 52 , 55 , 252 52 , 55 , 252 52,55,25252,55,25252,55,252
方向微分 94 , 171 , 188 94 , 171 , 188 94,171,18894,171,18894,171,188
方向微分係数 30
法指数写像 335
法接続 257
胞体複体 282
胞体分割 282
胞体分割可能な位相空間 282
放物点 103
法ベクトル 52 , 55 , 252 52 , 55 , 252 52,55,25252,55,25252,55,252
法ベクトル場 253
法ベクトルバンドル 253
法枠バンドル 326
ホモトープ 299
ホモトピー 299
ホモトピー同値 299
ホモトピー同値写像 299
ホワイトヘッドの定理 310

ま 行

マイヤー・ヴイートリス完全系列 292
右移動 348
右手系 10
向き 9向き付け可能 205
向き付け可能な C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面 55
向き付け不可能 205
向き付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面 55
向き付けられた実ベクトルバンドル 363
向き付けられた多様体 205
向きの定める単位法ベクトル場 56
向きを定める C r C r C^(r)C^{r}Cr 構造 55
無限次元 F F F\mathbb{F}F グラスマン多様体 363
無限次元有向グラスマン多様体 364
面 147
面積汎関数 121
面積分 59,62
面積要素 119
モース関数 301
モースの基本定理 306
モースの不等式 315
モースの補題 296
モース理論 296

や 行

ヤコビ行列 50,175
ヤコビ作用素 274
ヤコビの恒等式 199
ヤコビ場 247
ヤコビ方程式 248
ユークリッド幾何学 13
ユークリッド距離位相 154
ユークリッド空間 13
ユークリッド計量 13
有限部分被覆 152
有限胞体複体 282
有向実グラスマン多様体 160
誘導されるリーマン計量 217
誘導接続 246
誘導実ベクトルバンドル 246
誘導リーマン計量 89
余境界作用素 281,286
余次元 187,258

ら 行

ラプラシアン 225
リー群作用 320
リー群準同型写像 347
リー群同型写像 347
リー群の指数写像 349
リー代数 348
リー代数準同型写像 348
リー代数同型写像 348
リー微分 197
リー変換群 320
リーマン距離関数 234
リーマン計量 216
リーマン接続 222
リーマン対称空間 260
リーマン体積要素 224
リーマン多様体 216
リーマン超曲面 89,217
リーマン部分多様体 217
リーマン面 162
リッチテンソル場 242
リッチの方程式 259
流線 194
両側不変なリーマン計量 349
両端固定の C r C r C^(r)C^{r}Cr 変形 36
臨界値 28,177
臨界点 28,177
臨界点 p p ppp の指数 180
零化空間 335
零ベクトル 1
零ベクトル場 107
レヴイ・チビタ接続 222

わ 行

ワインガルテンの公式 99,257
枠バンドル 324
Memorandum

〈著者紹介〉

小池直之（こいけなおゆき）
1991 年 東京理科大学大学院 理学研究科数学専攻 博士課程修了
専 門 微分幾何学
現 在 東京理科大学 理学部第一部数学科 教授
著書『平均曲率流一部分多様体の時間発展』（共立出版，2019）
『理論物理に潜む部分多様体幾何一一般相対性理論・ゲージ理論との 関わり』（共立出版, 2021）

積分公式で啓く ベクトル解析と微分幾何学

ーストークスの定理から変分公式まで一 Vector Analysis & Differential Geometry Enlightened by Integral Formulas -From Stokes' Theorem to Variational Formula2022 年 9 月 15 日 初版 1 刷発行 2023 年 5 月 15 日 初版 2 刷発行 ISBN 978-4-320-11475-3著 者 小池直之 2022
発行者 南條光章
発行所 共立出版株式会社
〒112-0006
東京都文京区小日向 4-6-19
電話番号 03-3947-2511（代表）
振替口座 00110-2-57035
www.kyoritsu-pub.co.jp
印刷 大日本法令印刷
製 本 加藤製本
一般社団法人自然科学書協会
会員
Printed in Japan

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小池值之著

理論物理に潜む 部分多様体幾何

一般相対性理論・ゲージ理論との関わり
部分多様体幾何学や，各種の部分多様体のモデルを与え るリー群作用の軌道幾何学を解説する。
擬ユークリッド空間内の曲線論・超曲面論，内在的に定義される多様体の理論という基礎理論の略説から始め，擬リーマン多様体の理論，カラビ・ヤウ構造の擬リーマン対称空間上で の構成法，無限次元部分多様体論へと到達する。
【目次】
理論物理学と関わる部分多様体幾何・リー群作用／擬ユークリッド空間内の曲線論／擬ユー クリッド空間内の超曲面論／多様体論／擬リーマン多様体論／他
A5判・438頁・定価6270円(税込) ISBN978-4-320-11440-1

平均曲率流

部分多様体の封間発展
平均曲率流をはめ込み写像の時間発展として取り 扱う，微分幾何学的アプローチについて解説した 待望の和書。幾何学と解析学の懸け橋となる。
リーマン部分多様体論をはじめ, 平均曲率流にまつわる微分幾何学の基礎知識を網羅してい る。平均曲率流と密接に関係し合うリッチ流や，ミラー対称性と関わるラグランジュ平均曲率流も紹介。各所に図を配置して，イメージを持てるよう工夫している。
【目次】
バックグラウンド／微分幾何学における基礎概念および事実／平均曲率流／ユークリッド 空間内の超曲面を発する平均曲率流／強凸閉超曲面を発する平均曲率流／他
A5判・376頁・定価5280円(税込) ISBN978-4-320-11376-3